Номер 17, страница 174 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

17. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через середины ребер $A_1B$, $CD$ и точку на ребре $AB$, отстоящую от вершины $A$ на 0,25. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ со стороной $a=1$.

Сечение проходит через три точки:

• Середина ребра $A_1B_1$, обозначим ее $M_1$.
• Середина ребра $CD$, обозначим ее $M_2$.
• Точка на ребре $AB$, отстоящая от вершины $A$ на $0.25$, обозначим ее $P$.

Перевод в СИ:

Поскольку куб является "единичным", его сторона $a = 1$ (условная единица длины). Все расчеты будут производиться в этих условных единицах, без привязки к конкретным метрическим единицам.

Найти:

• Изобразить сечение.
• Площадь сечения.

Решение:

Для удобства введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$. Ось $x$ направим вдоль ребра $AB$, ось $y$ вдоль ребра $AD$, и ось $z$ вдоль ребра $AA_1$. Так как куб единичный, длина каждого ребра равна 1.

Координаты вершин куба, важных для задачи:

• $A=(0,0,0)$
• $B=(1,0,0)$
• $D=(0,1,0)$
• $C=(1,1,0)$
• $A_1=(0,0,1)$
• $B_1=(1,0,1)$
• $D_1=(0,1,1)$
• $C_1=(1,1,1)$

Определим координаты заданных точек:

• Точка $P$ на ребре $AB$ отстоит от $A$ на $0.25$: $P=(0.25, 0, 0)$.
• Точка $M_1$ - середина ребра $A_1B_1$: $M_1 = \left(\frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{1+1}{2}\right) = (0.5, 0, 1)$.
• Точка $M_2$ - середина ребра $CD$: $M_2 = \left(\frac{1+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (0.5, 1, 0)$.

Изобразить сечение:

Построение сечения производится по следующим шагам:

1. На ребре $AB$ отметьте точку $P$ так, чтобы $AP=0.25$.
2. На ребре $A_1B_1$ отметьте точку $M_1$ как его середину.
3. На ребре $CD$ отметьте точку $M_2$ как его середину.
4. Проведите отрезок $PM_1$. Этот отрезок лежит в грани $ABB_1A_1$ и является частью искомого сечения.
5. Проведите отрезок $PM_2$. Этот отрезок лежит в грани $ABCD$ и является частью искомого сечения.
6. Так как грань $CDD_1C_1$ параллельна грани $ABB_1A_1$, то линия пересечения плоскости сечения с гранью $CDD_1C_1$ должна быть параллельна отрезку $PM_1$. Проведем через точку $M_2$ (которая принадлежит грани $CDD_1C_1$) прямую, параллельную $PM_1$. Эта прямая пересечет ребро $C_1D_1$ в некоторой точке $Q$.
   Для определения координат точки $Q$: Вектор $\vec{PM_1} = (0.5-0.25, 0-0, 1-0) = (0.25, 0, 1)$. Точка $M_2$ имеет координаты $(0.5, 1, 0)$. Пусть $Q=(x_Q, y_Q, z_Q)$. Поскольку $Q$ лежит на ребре $C_1D_1$, ее координаты будут $(x_Q, 1, 1)$, где $0 \le x_Q \le 1$. Вектор $\vec{M_2Q} = (x_Q-0.5, 1-1, 1-0) = (x_Q-0.5, 0, 1)$. Так как $\vec{M_2Q}$ должен быть параллелен $\vec{PM_1}$, то $\vec{M_2Q} = k \cdot \vec{PM_1}$ для некоторого скаляра $k$. Из этого следует: $(x_Q-0.5, 0, 1) = k(0.25, 0, 1)$. Сравнивая z-координаты, получаем $1 = k \cdot 1$, откуда $k=1$. Сравнивая x-координаты, получаем $x_Q-0.5 = 1 \cdot 0.25$, откуда $x_Q = 0.5 + 0.25 = 0.75$. Таким образом, координаты точки $Q=(0.75, 1, 1)$. Точка $Q$ действительно лежит на ребре $C_1D_1$.
7. Проведите отрезок $M_1Q$.
8. Проведите отрезок $M_2Q$.

Полученное сечение - это четырехугольник $PM_1QM_2$ с вершинами $P(0.25,0,0)$, $M_1(0.5,0,1)$, $Q(0.75,1,1)$, $M_2(0.5,1,0)$.

Найти его площадь:

Для нахождения площади сечения определим тип четырехугольника $PM_1QM_2$. Вычислим длины его сторон:

• $PM_1 = \sqrt{(0.5-0.25)^2 + (0-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{0.25^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{0.0625 + 1} = \sqrt{1.0625}$.
• $M_1Q = \sqrt{(0.75-0.5)^2 + (1-0)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{0.25^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{0.0625 + 1} = \sqrt{1.0625}$.
• $QM_2 = \sqrt{(0.5-0.75)^2 + (1-1)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{(-0.25)^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{0.0625 + 1} = \sqrt{1.0625}$.
• $M_2P = \sqrt{(0.25-0.5)^2 + (0-1)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{(-0.25)^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{0.0625 + 1} = \sqrt{1.0625}$.

Так как все стороны равны, четырехугольник $PM_1QM_2$ является ромбом (или квадратом). Площадь ромба можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$, где $d_1$ и $d_2$ - длины его диагоналей.

Вычислим длины диагоналей:

• Диагональ $PQ = \sqrt{(0.75-0.25)^2 + (1-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{0.5^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{0.25 + 1 + 1} = \sqrt{2.25} = 1.5$.
• Диагональ $M_1M_2 = \sqrt{(0.5-0.5)^2 + (1-0)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

Поскольку диагонали не равны ($1.5 \ne \sqrt{2}$), четырехугольник является ромбом, но не квадратом.

Площадь ромба $S = \frac{1}{2} \cdot PQ \cdot M_1M_2 = \frac{1}{2} \cdot 1.5 \cdot \sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$.

Ответ:

Площадь сечения равна $\frac{3\sqrt{2}}{4}$ квадратных единиц.