Номер 10, страница 173 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

10. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершину $D$ и середины ребер $BC, A_1D_1$. Найдите его площадь.

Дано:
Единичный куб $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$. Длина ребра куба $a = 1$.
Сечение проходит через:
- вершину $D$.
- середину ребра $BC$, обозначим ее $M$.
- середину ребра $A_1 D_1$, обозначим ее $N$.

Перевод в СИ:
Длина ребра куба $a = 1$ (единица длины).

Найти:
Изобразите сечение: Описание и построение сечения куба.
Найдите его площадь: Вычисление площади сечения.

Решение:

Изобразите сечение
Для удобства введем декартову систему координат. Пусть вершина $A$ имеет координаты $(0,0,0)$, а ребра $AB$, $AD$, $AA_1$ лежат вдоль осей $Ox$, $Oy$, $Oz$ соответственно. Длина ребра куба $a=1$. Тогда координаты вершин куба:
$A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$
$A_1(0,0,1)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$, $D_1(0,1,1)$
Заданные точки сечения:
1. Вершина $D$ имеет координаты $D(0,1,0)$.
2. Середина ребра $BC$. Координаты $B(1,0,0)$ и $C(1,1,0)$.
Пусть $M$ — середина $BC$: $M = \left(\frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (1, 0.5, 0)$.
3. Середина ребра $A_1 D_1$. Координаты $A_1(0,0,1)$ и $D_1(0,1,1)$.
Пусть $N$ — середина $A_1 D_1$: $N = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{1+1}{2}\right) = (0, 0.5, 1)$.

Сечение является плоскостью, проходящей через три точки $D(0,1,0)$, $M(1,0.5,0)$ и $N(0,0.5,1)$. Найдем уравнение этой плоскости в общем виде $Ax + By + Cz + K = 0$.
Подставляем координаты точек:
Для $D(0,1,0)$: $A(0) + B(1) + C(0) + K = 0 \Rightarrow B + K = 0 \Rightarrow B = -K$.
Для $M(1,0.5,0)$: $A(1) + B(0.5) + C(0) + K = 0 \Rightarrow A + 0.5B + K = 0$. Подставляем $B=-K$: $A - 0.5K + K = 0 \Rightarrow A + 0.5K = 0 \Rightarrow A = -0.5K$.
Для $N(0,0.5,1)$: $A(0) + B(0.5) + C(1) + K = 0 \Rightarrow 0.5B + C + K = 0$. Подставляем $B=-K$: $0.5(-K) + C + K = 0 \Rightarrow C + 0.5K = 0 \Rightarrow C = -0.5K$.
Для упрощения выберем $K = -2$. Тогда $A = 1$, $B = 2$, $C = 1$.
Уравнение плоскости сечения: $x + 2y + z - 2 = 0$.

Теперь найдем точки пересечения этой плоскости с остальными ребрами куба.
1. Пересечение с ребром $BB_1$. Это ребро лежит на прямой $x=1, y=0$. Точки на ребре имеют вид $(1,0,z)$ при $0 \le z \le 1$.
Подставляем в уравнение плоскости: $1 + 2(0) + z - 2 = 0 \Rightarrow z - 1 = 0 \Rightarrow z = 1$.
Точка пересечения $P_1(1,0,1)$. Это вершина $B_1$.

2. Пересечение с ребром $CC_1$. Это ребро лежит на прямой $x=1, y=1$. Точки на ребре имеют вид $(1,1,z)$ при $0 \le z \le 1$.
Подставляем: $1 + 2(1) + z - 2 = 0 \Rightarrow 1 + 2 + z - 2 = 0 \Rightarrow z + 1 = 0 \Rightarrow z = -1$.
Поскольку $z = -1$ не лежит в интервале $[0,1]$, плоскость не пересекает ребро $CC_1$.

3. Пересечение с ребром $AA_1$. Это ребро лежит на прямой $x=0, y=0$. Точки на ребре имеют вид $(0,0,z)$ при $0 \le z \le 1$.
Подставляем: $0 + 2(0) + z - 2 = 0 \Rightarrow z - 2 = 0 \Rightarrow z = 2$.
Поскольку $z = 2$ не лежит в интервале $[0,1]$, плоскость не пересекает ребро $AA_1$.

Таким образом, вершины сечения: $D(0,1,0)$, $M(1,0.5,0)$, $B_1(1,0,1)$, $N(0,0.5,1)$.
Сечение является четырехугольником $DMB_1N$.
Проверим тип четырехугольника.
Вектор $\vec{DN} = (0-0, 0.5-1, 1-0) = (0, -0.5, 1)$.
Вектор $\vec{MB_1} = (1-1, 0-0.5, 1-0) = (0, -0.5, 1)$.
Поскольку векторы $\vec{DN}$ и $\vec{MB_1}$ равны, стороны $DN$ и $MB_1$ параллельны и равны по длине. Следовательно, четырехугольник $DMB_1N$ является параллелограммом.
Ответ: Сечение представляет собой параллелограмм $DMB_1N$ с вершинами $D(0,1,0)$, $M(1,0.5,0)$, $B_1(1,0,1)$, $N(0,0.5,1)$.

Найдите его площадь
Площадь параллелограмма $DMB_1N$ можно вычислить как модуль векторного произведения двух векторов, образующих его смежные стороны, например $\vec{DM}$ и $\vec{DN}$.
Вектор $\vec{DM} = (1-0, 0.5-1, 0-0) = (1, -0.5, 0)$.
Вектор $\vec{DN} = (0-0, 0.5-1, 1-0) = (0, -0.5, 1)$.
Вычислим векторное произведение:
$\vec{DM} \times \vec{DN} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -0.5 & 0 \\ 0 & -0.5 & 1 \end{vmatrix}$
$= \mathbf{i}(-0.5 \cdot 1 - 0 \cdot (-0.5)) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(1 \cdot (-0.5) - 0 \cdot (-0.5))$
$= \mathbf{i}(-0.5) - \mathbf{j}(1) + \mathbf{k}(-0.5) = (-0.5, -1, -0.5)$.
Площадь $S$ равна модулю этого вектора:
$S = \left \| \vec{DM} \times \vec{DN} \right \| = \sqrt{(-0.5)^2 + (-1)^2 + (-0.5)^2} = \sqrt{0.25 + 1 + 0.25} = \sqrt{1.5}$.
$S = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.

Альтернативный способ: определить, является ли параллелограмм ромбом, и использовать формулу площади через диагонали.
Длины смежных сторон:
$|DM| = \sqrt{1^2 + (-0.5)^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 0.25} = \sqrt{1.25}$.
$|DN| = \sqrt{0^2 + (-0.5)^2 + 1^2} = \sqrt{0.25 + 1} = \sqrt{1.25}$.
Поскольку смежные стороны $DM$ и $DN$ равны, параллелограмм $DMB_1N$ является ромбом.
Длины диагоналей ромба:
Диагональ $DB_1$: $D(0,1,0)$, $B_1(1,0,1)$.
$d_1 = |DB_1| = \sqrt{(1-0)^2 + (0-1)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1+1+1} = \sqrt{3}$.
Диагональ $MN$: $M(1,0.5,0)$, $N(0,0.5,1)$.
$d_2 = |MN| = \sqrt{(0-1)^2 + (0.5-0.5)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1+0+1} = \sqrt{2}$.
Площадь ромба $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.
Оба метода дают одинаковый результат.
Ответ: Площадь сечения составляет $\frac{\sqrt{6}}{2}$ квадратных единиц.