Номер 12, страница 173 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

12. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершину $C$ и середины ребер $AD, B_1C_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с длиной ребра $a = 1$.

Сечение проходит через вершину $C$, середину $M$ ребра $AD$ и середину $N$ ребра $B_1C_1$.

Найти:

Площадь сечения.

Решение

Изображение сечения

Для построения сечения и нахождения его площади используем метод координат.Разместим куб в декартовой системе координат так, чтобы вершина $A$ находилась в начале координат $(0,0,0)$. Тогда координаты остальных вершин будут:

• $A(0,0,0)$
• $B(1,0,0)$
• $C(1,1,0)$
• $D(0,1,0)$
• $A_1(0,0,1)$
• $B_1(1,0,1)$
• $C_1(1,1,1)$
• $D_1(0,1,1)$

По условию, сечение проходит через вершину $C(1,1,0)$.

Середина ребра $AD$ ($M$) имеет координаты: $M\left(\frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (0, 0.5, 0)$.

Середина ребра $B_1C_1$ ($N$) имеет координаты: $N\left(\frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{1+1}{2}\right) = (1, 0.5, 1)$.

Таким образом, у нас есть три точки сечения: $C(1,1,0)$, $M(0,0.5,0)$, $N(1,0.5,1)$.Для определения полного многоугольника сечения, найдем уравнение плоскости, проходящей через эти три точки. Общее уравнение плоскости: $Ax + By + Cz + D = 0$.

Подставим координаты точек:

Для $C(1,1,0)$: $A(1) + B(1) + C(0) + D = 0 \implies A + B + D = 0 \quad (1)$

Для $M(0,0.5,0)$: $A(0) + B(0.5) + C(0) + D = 0 \implies 0.5B + D = 0 \implies B = -2D \quad (2)$

Для $N(1,0.5,1)$: $A(1) + B(0.5) + C(1) + D = 0 \implies A + 0.5B + C + D = 0 \quad (3)$

Из $(2)$ выразим $B$ через $D$. Подставим $B = -2D$ в $(1)$: $A + (-2D) + D = 0 \implies A - D = 0 \implies A = D$.Теперь подставим $A = D$ и $B = -2D$ в $(3)$: $D + 0.5(-2D) + C + D = 0 \implies D - D + C + D = 0 \implies C + D = 0 \implies C = -D$.

Если принять $D = 1$ (для удобства), то $A=1$, $B=-2$, $C=-1$.Уравнение плоскости сечения: $x - 2y - z + 1 = 0$.

Теперь найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами куба, чтобы определить все вершины сечения.Мы уже знаем $C$, $M$, $N$. Проверим другие ребра:

• Ребро $AA_1$: $x=0, y=0$. Подставим в уравнение плоскости: $0 - 2(0) - z + 1 = 0 \implies -z + 1 = 0 \implies z = 1$. Это точка $(0,0,1)$, которая является вершиной $A_1$. Таким образом, $A_1$ также является вершиной сечения.
• Ребро $BB_1$: $x=1, y=0$. Подставим: $1 - 2(0) - z + 1 = 0 \implies 2 - z = 0 \implies z = 2$. Так как $0 \le z \le 1$ для ребра $BB_1$, сечение не пересекает это ребро.
• Ребро $DD_1$: $x=0, y=1$. Подставим: $0 - 2(1) - z + 1 = 0 \implies -1 - z = 0 \implies z = -1$. Так как $0 \le z \le 1$ для ребра $DD_1$, сечение не пересекает это ребро.
• Ребро $A_1D_1$: $z=1, x=0$. Подставим: $0 - 2y - 1 + 1 = 0 \implies -2y = 0 \implies y = 0$. Это точка $(0,0,1)$, которая является вершиной $A_1$. Уже найдено.
• Ребро $CD$: $z=0, y=1$. Подставим: $x - 2(1) - 0 + 1 = 0 \implies x - 1 = 0 \implies x = 1$. Это точка $(1,1,0)$, которая является вершиной $C$. Уже найдено.

Итак, вершины сечения: $C(1,1,0)$, $M(0,0.5,0)$, $N(1,0.5,1)$, $A_1(0,0,1)$.Соединим эти точки в порядке обхода: $A_1 \to M \to C \to N \to A_1$.Полученное сечение представляет собой четырехугольник $A_1MCN$.

Ответ: Сечение представляет собой четырехугольник $A_1MCN$.

Нахождение площади

Вычислим длины сторон четырехугольника $A_1MCN$:

• $A_1M$: $A_1(0,0,1)$, $M(0,0.5,0)$. Длина $A_1M = \sqrt{(0-0)^2 + (0.5-0)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{0^2 + (0.5)^2 + (-1)^2} = \sqrt{0.25 + 1} = \sqrt{1.25} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
• $MC$: $M(0,0.5,0)$, $C(1,1,0)$. Длина $MC = \sqrt{(1-0)^2 + (1-0.5)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{1^2 + (0.5)^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 0.25} = \sqrt{1.25} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
• $CN$: $C(1,1,0)$, $N(1,0.5,1)$. Длина $CN = \sqrt{(1-1)^2 + (0.5-1)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{0^2 + (-0.5)^2 + 1^2} = \sqrt{0.25 + 1} = \sqrt{1.25} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
• $NA_1$: $N(1,0.5,1)$, $A_1(0,0,1)$. Длина $NA_1 = \sqrt{(0-1)^2 + (0-0.5)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-0.5)^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 0.25} = \sqrt{1.25} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Так как все стороны четырехугольника $A_1MCN$ равны ($A_1M = MC = CN = NA_1 = \frac{\sqrt{5}}{2}$), то этот четырехугольник является ромбом.Площадь ромба можно найти как половину произведения его диагоналей.

Вычислим длины диагоналей ромба:

• Диагональ $MN$: $M(0,0.5,0)$, $N(1,0.5,1)$. Длина $MN = \sqrt{(1-0)^2 + (0.5-0.5)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}$.
• Диагональ $A_1C$: $A_1(0,0,1)$, $C(1,1,0)$. Длина $A_1C = \sqrt{(1-0)^2 + (1-0)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$.

Площадь ромба $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$, где $d_1$ и $d_2$ - длины диагоналей.

$S = \frac{1}{2} \cdot MN \cdot A_1C = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{\sqrt{6}}{2}$.