Номер 13, страница 173 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

13. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через середины ребер $BB_1$, $DD_1$ и точку на ребре $AA_1$, отстоящую от вершины A на 0,25. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Это означает, что длина ребра куба $a = 1$.

Сечение проходит через три точки:

• Точка $K$ на ребре $AA_1$, отстоящая от вершины $A$ на $0.25$. То есть $AK = 0.25$.
• Точка $M$ - середина ребра $BB_1$.
• Точка $N$ - середина ребра $DD_1$.

Перевод в систему СИ:

Длина ребра куба $a = 1$ (условная единица длины).

Расстояние $AK = 0.25$ (условной единицы длины).

Найти:

Площадь сечения.

Решение:

1. Введем систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$. Оси $x, y, z$ направим вдоль ребер $AB, AD, AA_1$ соответственно.

Координаты вершин куба:

• $A = (0,0,0)$
• $B = (1,0,0)$
• $C = (1,1,0)$
• $D = (0,1,0)$
• $A_1 = (0,0,1)$
• $B_1 = (1,0,1)$
• $C_1 = (1,1,1)$
• $D_1 = (0,1,1)$

2. Найдем координаты заданных точек:

• Точка $K$ на $AA_1$ ($x=0, y=0$) на расстоянии $0.25$ от $A$: $K = (0,0,0.25)$.
• Точка $M$ - середина $BB_1$: $B=(1,0,0)$, $B_1=(1,0,1)$. $M = \left(\frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = (1,0,0.5)$.
• Точка $N$ - середина $DD_1$: $D=(0,1,0)$, $D_1=(0,1,1)$. $N = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = (0,1,0.5)$.

3. Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки $K(0,0,0.25)$, $M(1,0,0.5)$, $N(0,1,0.5)$.

Пусть уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$.

• Для $K(0,0,0.25)$: $A(0) + B(0) + C(0.25) + D = 0 \implies 0.25C + D = 0 \implies C = -4D$.
• Для $M(1,0,0.5)$: $A(1) + B(0) + C(0.5) + D = 0 \implies A + 0.5C + D = 0$. Подставим $C = -4D$: $A + 0.5(-4D) + D = 0 \implies A - 2D + D = 0 \implies A - D = 0 \implies A = D$.
• Для $N(0,1,0.5)$: $A(0) + B(1) + C(0.5) + D = 0 \implies B + 0.5C + D = 0$. Подставим $C = -4D$: $B + 0.5(-4D) + D = 0 \implies B - 2D + D = 0 \implies B - D = 0 \implies B = D$.

Подставим $A=D, B=D, C=-4D$ в уравнение плоскости:

$Dx + Dy - 4Dz + D = 0$.

Разделим на $D$ (предполагая $D \ne 0$):

$x + y - 4z + 1 = 0$.

4. Найдем точки пересечения этой плоскости с другими ребрами куба.

Остальные ребра:

• Ребро $CC_1$: $x=1, y=1, z \in [0,1]$. Подставим в уравнение плоскости: $1 + 1 - 4z + 1 = 0 \implies 3 - 4z = 0 \implies z = 3/4 = 0.75$.Таким образом, четвертая вершина сечения - точка $P(1,1,0.75)$. Эта точка лежит на ребре $CC_1$, так как $0 \le 0.75 \le 1$.

При проверке других ребер ($AB, AD, BC, CD, A_1B_1, A_1D_1, B_1C_1, C_1D_1$), выясняется, что точки пересечения с плоскостью находятся за пределами диапазона $[0,1]$ для соответствующей координаты, то есть за пределами куба.

Таким образом, вершины сечения: $K(0,0,0.25)$, $M(1,0,0.5)$, $P(1,1,0.75)$, $N(0,1,0.5)$.

5. Определим вид сечения и его площадь.

Сечение $KMNP$ является четырехугольником.

Найдем векторы сторон:

• $\vec{KM} = M - K = (1-0, 0-0, 0.5-0.25) = (1, 0, 0.25)$.
• $\vec{NP} = P - N = (1-0, 1-1, 0.75-0.5) = (1, 0, 0.25)$.

Так как $\vec{KM} = \vec{NP}$, стороны $KM$ и $NP$ параллельны и равны по длине. Следовательно, четырехугольник $KMNP$ является параллелограммом.

Площадь параллелограмма можно найти как модуль векторного произведения двух смежных сторон. Возьмем $\vec{KM}$ и $\vec{KN}$.

• $\vec{KM} = (1, 0, 0.25)$.
• $\vec{KN} = N - K = (0-0, 1-0, 0.5-0.25) = (0, 1, 0.25)$.

Векторное произведение $\vec{KM} \times \vec{KN}$:

$\vec{KM} \times \vec{KN} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 0.25 \\ 0 & 1 & 0.25 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 0.25 - 0.25 \cdot 1) - \mathbf{j}(1 \cdot 0.25 - 0.25 \cdot 0) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) =$

$= \mathbf{i}(-0.25) - \mathbf{j}(0.25) + \mathbf{k}(1) = (-0.25, -0.25, 1)$.

Площадь $S$ равна модулю этого вектора:

$S = \left| \vec{KM} \times \vec{KN} \right| = \sqrt{(-0.25)^2 + (-0.25)^2 + 1^2} = \sqrt{\left(-\frac{1}{4}\right)^2 + \left(-\frac{1}{4}\right)^2 + 1^2} =$

$= \sqrt{\frac{1}{16} + \frac{1}{16} + 1} = \sqrt{\frac{2}{16} + 1} = \sqrt{\frac{1}{8} + 1} = \sqrt{\frac{1+8}{8}} = \sqrt{\frac{9}{8}} = \frac{3}{\sqrt{8}} = \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$.

Также можно найти площадь сечения через проекцию на координатную плоскость. Проекция сечения $KMNP$ на плоскость $xy$ это квадрат с вершинами $K_{xy}(0,0)$, $M_{xy}(1,0)$, $P_{xy}(1,1)$, $N_{xy}(0,1)$. Площадь этой проекции $S_{xy} = 1 \cdot 1 = 1$.

Нормальный вектор плоскости сечения $x + y - 4z + 1 = 0$ равен $\vec{n}=(1,1,-4)$.

Модуль нормального вектора $|\vec{n}| = \sqrt{1^2+1^2+(-4)^2} = \sqrt{1+1+16} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.

Косинус угла $\gamma$ между плоскостью сечения и плоскостью $xy$ (которая имеет нормальный вектор $\vec{k}=(0,0,1)$) вычисляется по формуле:

$\cos \gamma = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{k}|}{|\vec{n}| \cdot |\vec{k}|} = \frac{|(1,1,-4) \cdot (0,0,1)|}{3\sqrt{2} \cdot 1} = \frac{|-4|}{3\sqrt{2}} = \frac{4}{3\sqrt{2}}$.

Площадь сечения $S = \frac{S_{xy}}{|\cos \gamma|} = \frac{1}{\frac{4}{3\sqrt{2}}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$.

Ответ:

Площадь сечения равна $\frac{3\sqrt{2}}{4}$.