Номер 16, страница 173 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

16. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через середины ребер $AA_1$, $CC_1$ и точку на ребре $DD_1$, отстоящую от вершины $D$ на 0,25. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, что означает длина ребра куба $a = 1$.

Сечение проходит через три точки:

• Точка $M$ - середина ребра $AA_1$.

• Точка $N$ - середина ребра $CC_1$.

• Точка $P$ - на ребре $DD_1$, отстоящая от вершины $D$ на 0,25.

Перевод в систему СИ:

Длина ребра куба $a = 1$ (условная единица длины).

Поскольку куб единичный, длины отрезков выражаются как доли от длины ребра:

• $AM = \frac{1}{2} a = 0,5 \cdot 1 = 0,5$.

• $CN = \frac{1}{2} a = 0,5 \cdot 1 = 0,5$.

• $DP = 0,25 \cdot a = 0,25 \cdot 1 = 0,25$.

Все данные уже в удобном для расчетов виде.

Найти:

Площадь полученного сечения.

Решение:

Введем декартову систему координат с началом в точке $D(0,0,0)$. Оси $x$, $y$, $z$ направим по ребрам $DA$, $DC$, $DD_1$ соответственно. Длина ребра куба $a=1$.

Координаты вершин куба:

• $D=(0,0,0)$

• $A=(1,0,0)$

• $C=(0,1,0)$

• $B=(1,1,0)$

• $D_1=(0,0,1)$

• $A_1=(1,0,1)$

• $C_1=(0,1,1)$

• $B_1=(1,1,1)$

Найдем координаты заданных точек сечения:

• Точка $M$ - середина $AA_1$. $M=\left(\frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = (1,0,0,5)$.

• Точка $N$ - середина $CC_1$. $N=\left(\frac{0+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = (0,1,0,5)$.

• Точка $P$ - на ребре $DD_1$ на расстоянии 0,25 от $D$. $P=(0,0,0,25)$.

Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки $P(0,0,0,25)$, $M(1,0,0,5)$, $N(0,1,0,5)$.

Вектор $\vec{PM} = M - P = (1-0, 0-0, 0,5-0,25) = (1,0,0,25)$.

Вектор $\vec{PN} = N - P = (0-0, 1-0, 0,5-0,25) = (0,1,0,25)$.

Вектор нормали к плоскости $\vec{k} = \vec{PM} \times \vec{PN}$:

$\vec{k} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 0,25 \\ 0 & 1 & 0,25 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 0,25 - 0,25 \cdot 1) - \mathbf{j}(1 \cdot 0,25 - 0,25 \cdot 0) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0)$

$\vec{k} = -0,25\mathbf{i} - 0,25\mathbf{j} + 1\mathbf{k} = (-0,25; -0,25; 1)$.

Для удобства, можем умножить вектор нормали на -4, получим $\vec{n} = (1,1,-4)$.

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D_0 = 0$. Используя $\vec{n}=(1,1,-4)$ и точку $P(0,0,0,25)$:

$1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - 4 \cdot 0,25 + D_0 = 0$

$-1 + D_0 = 0 \Rightarrow D_0 = 1$.

Уравнение плоскости: $x + y - 4z + 1 = 0$.

Найдем четвертую точку сечения. Поскольку точки $M$, $N$, $P$ находятся на вертикальных ребрах, и плоскость пересекает эти ребра, логично предположить, что она пересечет и четвертое вертикальное ребро $BB_1$.

Ребро $BB_1$ имеет координаты $(1,1,z)$ для $0 \le z \le 1$. Подставим в уравнение плоскости:

$1 + 1 - 4z + 1 = 0$

$3 - 4z = 0 \Rightarrow 4z = 3 \Rightarrow z = \frac{3}{4} = 0,75$.

Таким образом, четвертой точкой сечения является точка $Q(1,1,0,75)$ на ребре $BB_1$.

Изображение сечения:

Сечением является четырехугольник $PMQN$ с вершинами:

• $P(0,0,0,25)$ на ребре $DD_1$.

• $M(1,0,0,5)$ на ребре $AA_1$.

• $Q(1,1,0,75)$ на ребре $BB_1$.

• $N(0,1,0,5)$ на ребре $CC_1$.

Для построения сечения в кубе:

1. Отложите на ребре $DD_1$ от вершины $D$ отрезок $DP = 0,25$.

2. Отложите на ребре $AA_1$ от вершины $A$ отрезок $AM = 0,5$ (середина $AA_1$).

3. Отложите на ребре $BB_1$ от вершины $B$ отрезок $BQ = 0,75$.

4. Отложите на ребре $CC_1$ от вершины $C$ отрезок $CN = 0,5$ (середина $CC_1$).

5. Соедините последовательно точки $P$, $M$, $Q$, $N$, $P$. Полученный четырехугольник $PMQN$ является искомым сечением.

Нахождение площади сечения:

Проверим тип четырехугольника $PMQN$.

Вектор $\vec{PM} = M - P = (1-0, 0-0, 0,5-0,25) = (1,0,0,25)$.

Вектор $\vec{NQ} = Q - N = (1-0, 1-1, 0,75-0,5) = (1,0,0,25)$.

Так как $\vec{PM} = \vec{NQ}$, четырехугольник $PMQN$ является параллелограммом.

Площадь параллелограмма можно найти как модуль векторного произведения двух смежных сторон, например, $\vec{PN}$ и $\vec{PM}$.

Вектор $\vec{PN} = (0,1,0,25)$.

Вектор $\vec{PM} = (1,0,0,25)$.

$S_{PMQN} = |\vec{PN} \times \vec{PM}|$.

$\vec{PN} \times \vec{PM} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 1 & 0,25 \\ 1 & 0 & 0,25 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 0,25 - 0,25 \cdot 0) - \mathbf{j}(0 \cdot 0,25 - 0,25 \cdot 1) + \mathbf{k}(0 \cdot 0 - 1 \cdot 1)$

$= 0,25\mathbf{i} + 0,25\mathbf{j} - 1\mathbf{k} = (0,25; 0,25; -1)$.

Модуль этого вектора равен:

$S = \sqrt{(0,25)^2 + (0,25)^2 + (-1)^2} = \sqrt{\left(\frac{1}{4}\right)^2 + \left(\frac{1}{4}\right)^2 + 1^2}$

$S = \sqrt{\frac{1}{16} + \frac{1}{16} + 1} = \sqrt{\frac{2}{16} + 1} = \sqrt{\frac{1}{8} + 1} = \sqrt{\frac{1+8}{8}} = \sqrt{\frac{9}{8}}$

$S = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{8}} = \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$.

Альтернативный метод: площадь проекции на координатную плоскость.

Проекция параллелограмма $PMQN$ на плоскость $xy$ (плоскость основания куба $ABCD$) представляет собой четырехугольник $P'M'Q'N'$ с координатами:

• $P'(0,0)$ (проекция $P(0,0,0,25)$)

• $M'(1,0)$ (проекция $M(1,0,0,5)$)

• $Q'(1,1)$ (проекция $Q(1,1,0,75)$)

• $N'(0,1)$ (проекция $N(0,1,0,5)$)

Это квадрат со стороной 1, его площадь $A_{xy} = 1 \cdot 1 = 1$.

Вектор нормали к плоскости сечения $\vec{n} = (1,1,-4)$. Модуль $|\vec{n}| = \sqrt{1^2+1^2+(-4)^2} = \sqrt{1+1+16} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.

Вектор нормали к плоскости $xy$ это $\vec{k}=(0,0,1)$. Модуль $|\vec{k}|=1$.

Косинус угла $\gamma$ между плоскостью сечения и плоскостью $xy$ равен:

$\cos \gamma = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{k}|}{|\vec{n}| \cdot |\vec{k}|} = \frac{|(1,1,-4) \cdot (0,0,1)|}{3\sqrt{2} \cdot 1} = \frac{|-4|}{3\sqrt{2}} = \frac{4}{3\sqrt{2}}$.

Площадь сечения $S$ связана с площадью проекции $A_{xy}$ формулой $A_{xy} = S \cos \gamma$.

$S = \frac{A_{xy}}{\cos \gamma} = \frac{1}{\frac{4}{3\sqrt{2}}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$.

Оба метода дают одинаковый результат.

Ответ:

Площадь сечения составляет $\frac{3\sqrt{2}}{4}$.