Номер 6, страница 173 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

6. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершину $B$ и середины ребер $A_1B_1$, $CD$. Найдите его площадь.

Дано

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, что означает длина ребра куба $a=1$.

Сечение проходит через:

• Вершину $B$

• Середину ребра $A_1B_1$ (обозначим её $M$)

• Середину ребра $CD$ (обозначим её $N$)

Перевод в СИ

Задача является геометрической и не содержит физических величин, требующих перевода в систему СИ. Длина ребра куба $a=1$ (единица длины).

Найти

• Изобразить сечение.

• Найти площадь сечения.

Решение

Для удобства введем декартову систему координат. Пусть вершина $A$ куба находится в начале координат $(0,0,0)$, а его рёбра $AB$, $AD$, $AA_1$ лежат соответственно вдоль осей $Ox$, $Oy$, $Oz$. Так как куб единичный, длина его ребра равна 1.

Координаты вершин куба:

• $A(0,0,0)$

• $B(1,0,0)$

• $C(1,1,0)$

• $D(0,1,0)$

• $A_1(0,0,1)$

• $B_1(1,0,1)$

• $C_1(1,1,1)$

• $D_1(0,1,1)$

Координаты заданных точек для сечения:

• Вершина $B$: $B(1,0,0)$.

• Середина ребра $A_1B_1$: $M = \left(\frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{1+1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, 0, 1\right)$.

• Середина ребра $CD$: $N = \left(\frac{1+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, 1, 0\right)$.

Изобразите сечение

Для построения сечения соединим заданные точки:

• Отрезок $BM$: Точки $B(1,0,0)$ и $M(1/2,0,1)$ лежат в одной грани $ABB_1A_1$ (так как их $y$-координата равна 0). Этот отрезок является частью сечения.

• Отрезок $BN$: Точки $B(1,0,0)$ и $N(1/2,1,0)$ лежат в одной грани $ABCD$ (так как их $z$-координата равна 0). Этот отрезок является частью сечения.

• Отрезок $MN$: Точки $M(1/2,0,1)$ и $N(1/2,1,0)$ имеют одинаковую $x$-координату ($x=1/2$). Этот отрезок соединяет точку на верхнем ребре куба с точкой на нижнем ребре куба и проходит через внутреннюю часть куба. Он также является частью сечения.

Так как точки $B$, $M$, $N$ не лежат на одной прямой и образуют замкнутый контур, сечением является треугольник $BMN$.

Ответ:

Сечение единичного куба, проходящее через вершину $B$ и середины рёбер $A_1B_1$ и $CD$, представляет собой треугольник $BMN$. Для его изображения необходимо начертить куб, отметить вершину $B$, середину $M$ ребра $A_1B_1$ и середину $N$ ребра $CD$, а затем соединить эти три точки отрезками $BM$, $BN$ и $MN$.

Найдите его площадь.

Для нахождения площади треугольника $BMN$ вычислим длины его сторон, используя формулу расстояния между двумя точками в пространстве:

• Длина стороны $BM$:

  $|BM| = \sqrt{\left(\frac{1}{2}-1\right)^2 + (0-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 1} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

• Длина стороны $BN$:

  $|BN| = \sqrt{\left(\frac{1}{2}-1\right)^2 + (1-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 1} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

• Длина стороны $MN$:

  $|MN| = \sqrt{\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\right)^2 + (1-0)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2}$

Поскольку $|BM| = |BN|$, треугольник $BMN$ является равнобедренным. Площадь равнобедренного треугольника можно найти как половину произведения длины основания на высоту, опущенную на это основание. В данном случае в качестве основания возьмем $MN$.

Найдем координаты середины отрезка $MN$, обозначим её $K$: $K = \left(\frac{1/2+1/2}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{1+0}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$.

Вычислим длину высоты $BK$, которая соединяет вершину $B$ с серединой основания $K$: $|BK| = \sqrt{\left(\frac{1}{2}-1\right)^2 + \left(\frac{1}{2}-0\right)^2 + \left(\frac{1}{2}-0\right)^2} = \sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь вычислим площадь треугольника $BMN$: $S_{BMN} = \frac{1}{2} \cdot |MN| \cdot |BK| = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4}$

Альтернативный способ вычисления площади - через векторное произведение: $S_{BMN} = \frac{1}{2} |\vec{BM} \times \vec{BN}|$.

Векторы сторон: $\vec{BM} = M - B = \left(\frac{1}{2}-1, 0-0, 1-0\right) = \left(-\frac{1}{2}, 0, 1\right)$ $\vec{BN} = N - B = \left(\frac{1}{2}-1, 1-0, 0-0\right) = \left(-\frac{1}{2}, 1, 0\right)$

Векторное произведение $\vec{BM} \times \vec{BN}$: $\vec{BM} \times \vec{BN} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1/2 & 0 & 1 \\ -1/2 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 0 - 1 \cdot 1) - \mathbf{j}\left(-\frac{1}{2} \cdot 0 - 1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\right) + \mathbf{k}\left(-\frac{1}{2} \cdot 1 - 0 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\right)$ $= \mathbf{i}(-1) - \mathbf{j}\left(\frac{1}{2}\right) + \mathbf{k}\left(-\frac{1}{2}\right) = \left(-1, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\right)$

Модуль полученного вектора: $|\vec{BM} \times \vec{BN}| = \sqrt{(-1)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{1 + \frac{2}{4}} = \sqrt{1 + \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$

Площадь треугольника $S_{BMN}$: $S_{BMN} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{1}{2} \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \frac{\sqrt{3}\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4}$

Ответ:

Площадь сечения составляет $\frac{\sqrt{6}}{4}$.