Номер 24, страница 174 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

24. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через середины ребер $AD$, $B_1C_1$ и точку на ребре $BC$, отстоящую от вершины $B$ на $0,75$. Найдите его площадь.

Дано:
Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, что означает длина его ребра $a = 1$.
Сечение проходит через следующие точки:

1. Середина ребра $AD$ (обозначим ее $M$).

2. Середина ребра $B_1C_1$ (обозначим ее $N$).

3. Точка на ребре $BC$, отстоящая от вершины $B$ на 0,75 (обозначим ее $P$).

Перевод в систему СИ:
Данные задачи представлены в безразмерных единицах (единичный куб, относительные расстояния), поэтому перевод в систему СИ не требуется. Длина ребра куба $a = 1$ (условная единица длины).

Найти:
Площадь сечения куба.

Решение:

1. Определение координат точек.

Установим декартову систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$. Оси $x, y, z$ направим вдоль ребер $AB, AD, AA_1$ соответственно. Так как куб единичный, длина каждого ребра равна 1.

Координаты вершин куба:

$A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$

$A_1(0,0,1)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$, $D_1(0,1,1)$

Координаты заданных точек:

Точка $M$ - середина ребра $AD$. Ребро $AD$ лежит на оси $y$ (от $A(0,0,0)$ до $D(0,1,0)$). Поэтому $M = (0, 0.5, 0)$.

Точка $N$ - середина ребра $B_1C_1$. Ребро $B_1C_1$ параллельно оси $y$ и находится в плоскости $z=1, x=1$ (от $B_1(1,0,1)$ до $C_1(1,1,1)$). Поэтому $N = (1, 0.5, 1)$.

Точка $P$ на ребре $BC$ отстоит от вершины $B$ на 0,75. Ребро $BC$ параллельно оси $y$ и находится в плоскости $z=0, x=1$ (от $B(1,0,0)$ до $C(1,1,0)$). $P$ имеет координаты $x=1, z=0$, а $y$-координата равна $0 + 0.75 = 0.75$. Поэтому $P = (1, 0.75, 0)$.

2. Построение сечения.

Сечение проходит через точки $M(0, 0.5, 0)$, $N(1, 0.5, 1)$, $P(1, 0.75, 0)$.

Определим уравнение плоскости, проходящей через эти три точки. Для этого найдем два вектора, лежащих в этой плоскости, например, $\vec{MP}$ и $\vec{MN}$.

$\vec{MP} = P - M = (1, 0.75, 0) - (0, 0.5, 0) = (1, 0.25, 0)$.

$\vec{MN} = N - M = (1, 0.5, 1) - (0, 0.5, 0) = (1, 0, 1)$.

Вектор нормали к плоскости $\vec{n}$ перпендикулярен обоим векторам. Его можно найти как их векторное произведение:

$\vec{n} = \vec{MP} \times \vec{MN} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0.25 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0.25 \cdot 1 - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) + \mathbf{k}(1 \cdot 0 - 0.25 \cdot 1) = (0.25, -1, -0.25)$.

Для удобства вычислений умножим координаты вектора нормали на 4 (это не меняет направление нормали, а лишь ее длину): $\vec{n} = (1, -4, -1)$.

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Подставим координаты вектора нормали: $1x - 4y - 1z + D = 0$.

Используем координаты точки $M(0, 0.5, 0)$ для нахождения $D$: $1(0) - 4(0.5) - 1(0) + D = 0 \Rightarrow -2 + D = 0 \Rightarrow D = 2$.

Таким образом, уравнение плоскости сечения: $x - 4y - z + 2 = 0$.

Теперь найдем точки пересечения этой плоскости с другими ребрами куба.

У нас уже есть точки $M$ на $AD$, $P$ на $BC$, $N$ на $B_1C_1$.

1. Пересечение с ребром $A_1D_1$ (для точек на этом ребре $x=0$ и $z=1$):

$0 - 4y - 1 + 2 = 0 \Rightarrow -4y + 1 = 0 \Rightarrow y = 0.25$.

Точка $Q(0, 0.25, 1)$. Эта точка лежит на ребре $A_1D_1$, так как $0 \le 0.25 \le 1$.

Таким образом, сечение является четырехугольником $MPNQ$ с вершинами:

$M(0, 0.5, 0)$

$P(1, 0.75, 0)$

$N(1, 0.5, 1)$

$Q(0, 0.25, 1)$

Сечение визуально будет представлять собой плоскую фигуру, проходящую через указанные точки на соответствующих ребрах куба.

3. Вычисление площади сечения.

Чтобы вычислить площадь четырехугольника $MPNQ$, сначала определим его тип. Найдем векторы его сторон:

$\vec{MP} = P - M = (1, 0.75, 0) - (0, 0.5, 0) = (1, 0.25, 0)$.

$\vec{QN} = N - Q = (1, 0.5, 1) - (0, 0.25, 1) = (1, 0.25, 0)$.

Поскольку $\vec{MP} = \vec{QN}$, стороны $MP$ и $QN$ параллельны и равны по длине.

$\vec{MQ} = Q - M = (0, 0.25, 1) - (0, 0.5, 0) = (0, -0.25, 1)$.

$\vec{PN} = N - P = (1, 0.5, 1) - (1, 0.75, 0) = (0, -0.25, 1)$.

Поскольку $\vec{MQ} = \vec{PN}$, стороны $MQ$ и $PN$ также параллельны и равны по длине.

Так как противоположные стороны четырехугольника попарно параллельны и равны, $MPNQ$ является параллелограммом.

Площадь параллелограмма можно найти как модуль векторного произведения двух смежных сторон. Возьмем стороны $\vec{MP}$ и $\vec{MQ}$.

$\vec{MP} = (1, 0.25, 0)$.

$\vec{MQ} = (0, -0.25, 1)$.

Векторное произведение $\vec{MP} \times \vec{MQ}$:

$\vec{MP} \times \vec{MQ} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0.25 & 0 \\ 0 & -0.25 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0.25 \cdot 1 - 0 \cdot (-0.25)) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(1 \cdot (-0.25) - 0.25 \cdot 0)$

$= (0.25, -1, -0.25)$.

Площадь $S$ параллелограмма равна модулю этого векторного произведения:

$S = |\vec{MP} \times \vec{MQ}| = \sqrt{(0.25)^2 + (-1)^2 + (-0.25)^2}$.

Для точных вычислений переведем десятичные дроби в обыкновенные: $0.25 = \frac{1}{4}$.

$S = \sqrt{\left(\frac{1}{4}\right)^2 + (-1)^2 + \left(-\frac{1}{4}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{16} + 1 + \frac{1}{16}}$.

$S = \sqrt{\frac{2}{16} + 1} = \sqrt{\frac{1}{8} + 1} = \sqrt{\frac{1+8}{8}} = \sqrt{\frac{9}{8}}$.

Извлечем корень:

$S = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{8}} = \frac{3}{\sqrt{4 \cdot 2}} = \frac{3}{2\sqrt{2}}$.

Для устранения иррациональности в знаменателе умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$S = \frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$.

Ответ: $S = \frac{3\sqrt{2}}{4}$.