Номер 32, страница 174 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

32. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершины $B$, $D$ и середину ребра $C_1D_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является единичным, что означает длина его ребра $a=1$. Сечение проходит через вершины $B$, $D$ и точку $M$, которая является серединой ребра $C_1D_1$.

Перевод в СИ:

Поскольку задача относится к геометрии и не содержит физических величин, требующих перевода в систему СИ, и куб "единичный" (длина ребра равна 1 условной единице), то перевод не требуется. Длина ребра куба $a = 1$.

Найти:

Площадь сечения $S$.

Решение:

Изобразите сечение:

1. Для удобства представим куб в декартовой системе координат. Пусть вершина $A$ имеет координаты $(0,0,0)$, тогда вершины куба с ребром $a=1$ будут: $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$,
$A_1(0,0,1)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$, $D_1(0,1,1)$. 2. Заданные точки сечения: $B(1,0,0)$ и $D(0,1,0)$. Точка $M$ – середина ребра $C_1D_1$. Координаты $C_1(1,1,1)$ и $D_1(0,1,1)$, поэтому координаты $M$ будут $(\frac{1+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{1+1}{2}) = (\frac{1}{2}, 1, 1)$. 3. Соединим точки $B$ и $D$. Отрезок $BD$ лежит в плоскости основания $ABCD$ и является его диагональю. 4. Соединим точки $D$ и $M$. Отрезок $DM$ лежит в боковой грани $CDD_1C_1$. 5. Поскольку плоскости $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ параллельны, линии пересечения секущей плоскости с этими гранями также будут параллельны. Отрезок $BD$ является линией пересечения с нижней гранью. Следовательно, в верхней грани $A_1B_1C_1D_1$ должна быть линия, параллельная $BD$ и проходящая через $M$.
Вектор $\vec{BD} = D-B = (0-1, 1-0, 0-0) = (-1, 1, 0)$.
Найдем точку $P$ на верхней грани, такую что отрезок $MP$ параллелен $BD$. Координаты $M(\frac{1}{2}, 1, 1)$. Двигаясь от $M$ в направлении вектора, коллинеарного $\vec{BD}$, мы найдем вторую точку $P$ на верхней грани.
Рассмотрим симметрию. Если $M$ — середина $C_1D_1$, то, чтобы сечение было симметричным относительно диагональной плоскости $ACC_1A_1$, вторая точка в верхней грани должна быть серединой $B_1C_1$. Обозначим эту точку $P$. Координаты $B_1(1,0,1)$ и $C_1(1,1,1)$, поэтому $P$ имеет координаты $(\frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{1+1}{2}) = (1, \frac{1}{2}, 1)$.
Проверим параллельность $MP$ и $BD$: Вектор $\vec{MP} = P-M = (1-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}-1, 1-1) = (\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0)$. Поскольку $\vec{BD} = -2\vec{MP}$, отрезки $BD$ и $MP$ параллельны. 6. Соединим точки $B$ и $P$. Отрезок $BP$ лежит в боковой грани $BCC_1B_1$. 7. Таким образом, сечение представляет собой четырехугольник $BDMP$ с вершинами $B(1,0,0)$, $D(0,1,0)$, $M(\frac{1}{2}, 1, 1)$ и $P(1, \frac{1}{2}, 1)$.
Длина отрезка $BD = \sqrt{(0-1)^2+(1-0)^2+(0-0)^2} = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$.
Длина отрезка $MP = \sqrt{(1-\frac{1}{2})^2+(\frac{1}{2}-1)^2+(1-1)^2} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2+(-\frac{1}{2})^2+0^2} = \sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Длины боковых сторон: $DM = \sqrt{(\frac{1}{2}-0)^2+(1-1)^2+(1-0)^2} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2+0^2+1^2} = \sqrt{\frac{1}{4}+1} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
$BP = \sqrt{(1-1)^2+(\frac{1}{2}-0)^2+(1-0)^2} = \sqrt{0^2+(\frac{1}{2})^2+1^2} = \sqrt{\frac{1}{4}+1} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
Поскольку $BD \parallel MP$ и $DM = BP$, то сечение $BDMP$ является равнобедренной трапецией.

Ответ: Сечение — равнобедренная трапеция $BDMP$ с вершинами $B$, $D$, $M$, $P$, где $M$ — середина $C_1D_1$, а $P$ — середина $B_1C_1$.

Найдите его площадь:

Сечение $BDMP$ является равнобедренной трапецией. Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}(b_1+b_2)h$, где $b_1$ и $b_2$ – длины параллельных оснований, а $h$ – высота трапеции.
Основания трапеции: $b_1 = BD = \sqrt{2}$ и $b_2 = MP = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Высоту $h$ трапеции найдем как расстояние между серединами оснований (так как трапеция равнобедренная, это расстояние равно высоте трапеции).
Середина основания $BD$: $O_{BD} = (\frac{1+0}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}) = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0)$.
Середина основания $MP$: $O_{MP} = (\frac{\frac{1}{2}+1}{2}, \frac{1+\frac{1}{2}}{2}, \frac{1+1}{2}) = (\frac{3/2}{2}, \frac{3/2}{2}, 1) = (\frac{3}{4}, \frac{3}{4}, 1)$.
Высота трапеции $h = |O_{BD}O_{MP}| = \sqrt{(\frac{3}{4}-\frac{1}{2})^2 + (\frac{3}{4}-\frac{1}{2})^2 + (1-0)^2}$.
$h = \sqrt{(\frac{3-2}{4})^2 + (\frac{3-2}{4})^2 + 1^2} = \sqrt{(\frac{1}{4})^2 + (\frac{1}{4})^2 + 1^2}$.
$h = \sqrt{\frac{1}{16} + \frac{1}{16} + 1} = \sqrt{\frac{2}{16} + 1} = \sqrt{\frac{1}{8} + 1} = \sqrt{\frac{1+8}{8}} = \sqrt{\frac{9}{8}}$.
$h = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{8}} = \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$.
Теперь вычислим площадь трапеции $S$:
$S = \frac{1}{2}(BD+MP)h = \frac{1}{2}\left(\sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{3\sqrt{2}}{4}\right)$.
$S = \frac{1}{2}\left(\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{3\sqrt{2}}{4}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{3\sqrt{2}}{4}\right)$.
$S = \frac{1}{2} \cdot \frac{3\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2}}{2 \cdot 4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{9 \cdot 2}{8} = \frac{1}{2} \cdot \frac{18}{8} = \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{4} = \frac{9}{8}$.

Ответ: Площадь сечения составляет $S = \frac{9}{8}$.