Номер 37, страница 175 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

37. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершины $A_1$, $B$ и середину ребра $CD$. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Сторона куба $a = 1$.

Сечение проходит через вершины $A_1$, $B$ и середину ребра $CD$.

Перевод в СИ:

Сторона куба $a = 1$ (единица длины). Все вычисления будут в этих условных единицах.

Найти:

Площадь сечения.

Решение:

Обозначим координаты вершин куба, приняв вершину $A$ за начало координат $(0,0,0)$. Тогда:

$A=(0,0,0)$, $B=(1,0,0)$, $C=(1,1,0)$, $D=(0,1,0)$

$A_1=(0,0,1)$, $B_1=(1,0,1)$, $C_1=(1,1,1)$, $D_1=(0,1,1)$

Точки, через которые проходит сечение:

$A_1=(0,0,1)$

$B=(1,0,0)$

Середина ребра $CD$, обозначим ее $M$. Координаты $M$:

$M = \left(\frac{x_C+x_D}{2}, \frac{y_C+y_D}{2}, \frac{z_C+z_D}{2}\right) = \left(\frac{1+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, 1, 0\right)$

Таким образом, сечение определяется точками $A_1(0,0,1)$, $B(1,0,0)$ и $M(1/2,1,0)$.

Для построения сечения найдем уравнение плоскости, проходящей через эти три точки.

Общее уравнение плоскости $Ax+By+Cz=D$.

Подставим координаты точек:

Для $A_1(0,0,1): A \cdot 0 + B \cdot 0 + C \cdot 1 = D \Rightarrow C = D$

Для $B(1,0,0): A \cdot 1 + B \cdot 0 + C \cdot 0 = D \Rightarrow A = D$

Для $M(1/2,1,0): A \cdot \frac{1}{2} + B \cdot 1 + C \cdot 0 = D \Rightarrow \frac{A}{2} + B = D$

Из первых двух уравнений $A=C=D$. Подставим $A=D$ в третье уравнение:

$\frac{D}{2} + B = D \Rightarrow B = D - \frac{D}{2} \Rightarrow B = \frac{D}{2}$

Пусть $D=2$ (для удобства, чтобы избежать дробей). Тогда $A=2$, $B=1$, $C=2$.

Уравнение плоскости сечения: $2x+y+2z=2$.

Теперь найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами куба.

1. Точки $A_1(0,0,1)$, $B(1,0,0)$ и $M(1/2,1,0)$ уже известны.

2. Найдем точку пересечения с ребром $DD_1$. Ребро $DD_1$ имеет $x=0$, $y=1$.

Подставим в уравнение плоскости: $2(0) + 1 + 2z = 2 \Rightarrow 1+2z=2 \Rightarrow 2z=1 \Rightarrow z=1/2$.

Получаем точку $K=(0,1,1/2)$. Эта точка лежит на ребре $DD_1$ (так как $0 \le 1/2 \le 1$).

Таким образом, сечением является четырехугольник $A_1BMK$.

Вычислим длины сторон этого четырехугольника:

$A_1=(0,0,1)$, $B=(1,0,0)$, $M=(1/2,1,0)$, $K=(0,1,1/2)$

$A_1B = \sqrt{(1-0)^2 + (0-0)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+0+1} = \sqrt{2}$

$BM = \sqrt{(1/2-1)^2 + (1-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{(-1/2)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1/4+1+0} = \sqrt{5/4} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

$MK = \sqrt{(0-1/2)^2 + (1-1)^2 + (1/2-0)^2} = \sqrt{(-1/2)^2 + 0^2 + (1/2)^2} = \sqrt{1/4+0+1/4} = \sqrt{1/2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$KA_1 = \sqrt{(0-0)^2 + (0-1)^2 + (1-1/2)^2} = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + (1/2)^2} = \sqrt{0+1+1/4} = \sqrt{5/4} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

Мы видим, что $A_1B = \sqrt{2}$, $MK = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $BM = KA_1 = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Проверим параллельность сторон. Вектор $\vec{A_1B} = (1,0,-1)$. Вектор $\vec{MK} = (0-1/2, 1-1, 1/2-0) = (-1/2, 0, 1/2)$.

Так как $\vec{A_1B} = -2 \vec{MK}$, векторы коллинеарны, а значит, стороны $A_1B$ и $MK$ параллельны.

Следовательно, четырехугольник $A_1BMK$ является равнобокой трапецией с основаниями $A_1B$ и $MK$.

Длины оснований: $b_1 = A_1B = \sqrt{2}$, $b_2 = MK = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Длина боковой стороны: $c = BM = KA_1 = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Для нахождения площади трапеции $S = \frac{b_1+b_2}{2}h$, где $h$ - высота трапеции.

В равнобокой трапеции высота $h$ может быть найдена по формуле: $h^2 = c^2 - \left(\frac{b_1-b_2}{2}\right)^2$.

$\frac{b_1-b_2}{2} = \frac{\sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

$h^2 = \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^2 = \frac{5}{4} - \frac{2}{16} = \frac{5}{4} - \frac{1}{8} = \frac{10}{8} - \frac{1}{8} = \frac{9}{8}$.

$h = \sqrt{\frac{9}{8}} = \frac{3}{\sqrt{8}} = \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$.

Площадь трапеции:

$S = \frac{\sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4} = \frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{2} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4} = \frac{3\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4} = \frac{9 \cdot (\sqrt{2})^2}{16} = \frac{9 \cdot 2}{16} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}$.

Альтернативный способ (с использованием векторного произведения):

Разобьем трапецию $A_1BMK$ на два треугольника: $\triangle A_1BM$ и $\triangle A_1MK$.

Для $\triangle A_1BM$:

$\vec{A_1B} = B - A_1 = (1-0, 0-0, 0-1) = (1,0,-1)$

$\vec{A_1M} = M - A_1 = (1/2-0, 1-0, 0-1) = (1/2,1,-1)$

Площадь треугольника $S_{\triangle A_1BM} = \frac{1}{2} |\vec{A_1B} \times \vec{A_1M}|$.

$\vec{A_1B} \times \vec{A_1M} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & -1 \\ 1/2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 - (-1)) - \mathbf{j}(-1 - (-1/2)) + \mathbf{k}(1 - 0) = \mathbf{i}(1) - \mathbf{j}(-1/2) + \mathbf{k}(1) = (1, 1/2, 1)$.

$|\vec{A_1B} \times \vec{A_1M}| = \sqrt{1^2 + (1/2)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1/4 + 1} = \sqrt{9/4} = 3/2$.

$S_{\triangle A_1BM} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$.

Для $\triangle A_1MK$:

$\vec{A_1M} = (1/2,1,-1)$ (уже вычислено)

$\vec{A_1K} = K - A_1 = (0-0, 1-0, 1/2-1) = (0,1,-1/2)$

Площадь треугольника $S_{\triangle A_1MK} = \frac{1}{2} |\vec{A_1M} \times \vec{A_1K}|$.

$\vec{A_1M} \times \vec{A_1K} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1/2 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -1/2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-1/2 - (-1)) - \mathbf{j}(-1/4 - 0) + \mathbf{k}(1/2 - 0) = \mathbf{i}(1/2) - \mathbf{j}(-1/4) + \mathbf{k}(1/2) = (1/2, 1/4, 1/2)$.

$|\vec{A_1M} \times \vec{A_1K}| = \sqrt{(1/2)^2 + (1/4)^2 + (1/2)^2} = \sqrt{1/4 + 1/16 + 1/4} = \sqrt{4/16 + 1/16 + 4/16} = \sqrt{9/16} = 3/4$.

$S_{\triangle A_1MK} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{8}$.

Общая площадь сечения:

$S = S_{\triangle A_1BM} + S_{\triangle A_1MK} = \frac{3}{4} + \frac{3}{8} = \frac{6}{8} + \frac{3}{8} = \frac{9}{8}$.

Результаты, полученные двумя способами, совпадают.

Ответ:

Площадь сечения равна $\frac{9}{8}$.