Номер 39, страница 175 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

39. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершины $A$, $B_1$ и середину ребра $CD$. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Длина ребра куба $a = 1$.

Сечение проходит через вершину $A$, вершину $B_1$ и середину ребра $CD$ (обозначим ее $K$).

Перевод в СИ:

Длина ребра куба $a = 1$ (единица длины).

Найти:

Площадь сечения.

Решение:

1. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A$. Ось $Ox$ направим вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ вдоль ребра $AD$, ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$.

Поскольку куб единичный, длина его ребра равна 1. Координаты вершин куба:$A=(0,0,0)$$B=(1,0,0)$, $C=(1,1,0)$, $D=(0,1,0)$$A_1=(0,0,1)$, $B_1=(1,0,1)$, $C_1=(1,1,1)$, $D_1=(0,1,1)$

2. Определим координаты заданных точек сечения:Вершина $A = (0,0,0)$.Вершина $B_1 = (1,0,1)$.Середина ребра $CD$. Координаты $C=(1,1,0)$ и $D=(0,1,0)$.Точка $K$, как середина ребра $CD$, имеет координаты: $K = \left(\frac{1+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (0.5, 1, 0)$.

3. Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки $A(0,0,0)$, $B_1(1,0,1)$, $K(0.5,1,0)$.Общее уравнение плоскости: $Ax+By+Cz=D$.Поскольку плоскость проходит через начало координат $A(0,0,0)$, то $D=0$. Уравнение примет вид $Ax+By+Cz=0$.Подставим координаты $B_1(1,0,1)$: $A(1) + B(0) + C(1) = 0 \implies A+C=0 \implies C=-A$.Подставим координаты $K(0.5,1,0)$: $A(0.5) + B(1) + C(0) = 0 \implies 0.5A+B=0 \implies B=-0.5A$.Для простоты выберем $A=2$. Тогда $C=-2$, $B=-1$.Уравнение плоскости сечения: $2x - y - 2z = 0$.

4. Построение сечения и нахождение всех его вершин:a) Точки $A(0,0,0)$ и $K(0.5,1,0)$ лежат в плоскости основания $ABCD$. Отрезок $AK$ является частью сечения.b) Точки $A(0,0,0)$ и $B_1(1,0,1)$ лежат в плоскости грани $ABB_1A_1$. Отрезок $AB_1$ является частью сечения.c) Для нахождения остальных вершин сечения, пересечем плоскость $2x-y-2z=0$ с ребрами куба: * Пересечение с ребром $CC_1$. Ребро $CC_1$ имеет координаты $x=1, y=1$, при $0 \le z \le 1$. Подставим в уравнение плоскости: $2(1) - 1 - 2z = 0 \implies 1 - 2z = 0 \implies z = 0.5$. Точка $L=(1,1,0.5)$ лежит на ребре $CC_1$ (так как $0 \le 0.5 \le 1$). Отрезок $KL$ является частью сечения. * Пересечение с ребром $DD_1$. Ребро $DD_1$ имеет координаты $x=0, y=1$, при $0 \le z \le 1$. Подставим в уравнение плоскости: $2(0) - 1 - 2z = 0 \implies -1 - 2z = 0 \implies z = -0.5$. Эта точка лежит вне ребра $DD_1$ (так как $z < 0$), поэтому сечение не пересекает это ребро внутри куба. * Пересечение с ребром $C_1D_1$. Ребро $C_1D_1$ имеет координаты $0 \le x \le 1, y=1, z=1$. Подставим в уравнение плоскости: $2x - 1 - 2(1) = 0 \implies 2x - 3 = 0 \implies x = 1.5$. Эта точка лежит вне ребра $C_1D_1$ (так как $x > 1$), поэтому сечение не пересекает это ребро внутри куба.Таким образом, вершины сечения: $A(0,0,0)$, $K(0.5,1,0)$, $L(1,1,0.5)$, $B_1(1,0,1)$.Соединяя эти точки последовательно, получаем многоугольник $AKLB_1$.Чтобы убедиться в параллельности сторон, рассмотрим векторы $\vec{KL}$ и $\vec{AB_1}$:$\vec{KL} = (1-0.5, 1-1, 0.5-0) = (0.5, 0, 0.5)$.$\vec{AB_1} = (1-0, 0-0, 1-0) = (1, 0, 1)$.Видно, что $\vec{KL} = 0.5 \cdot \vec{AB_1}$. Это означает, что сторона $KL$ параллельна стороне $AB_1$.Следовательно, сечение $AKLB_1$ является трапецией.

5. Вычислим площадь трапеции $AKLB_1$.Площадь плоского многоугольника в трехмерном пространстве, заданного координатами вершин, можно вычислить, разбив его на треугольники, или используя формулу через векторное произведение диагоналей для выпуклого четырехугольника.Диагоналями трапеции $AKLB_1$ являются $AL$ и $KB_1$.Вычислим векторы диагоналей:$\vec{AL} = (1-0, 1-0, 0.5-0) = (1,1,0.5)$.$\vec{KB_1} = (1-0.5, 0-1, 1-0) = (0.5, -1, 1)$.Площадь сечения $S$ равна половине модуля векторного произведения этих диагоналей:$S = \frac{1}{2} |\vec{AL} \times \vec{KB_1}|$.Вычислим векторное произведение:$\vec{AL} \times \vec{KB_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 0.5 \\ 0.5 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 1 - 0.5 \cdot (-1)) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 0.5 \cdot 0.5) + \mathbf{k}(1 \cdot (-1) - 1 \cdot 0.5)$$= \mathbf{i}(1 + 0.5) - \mathbf{j}(1 - 0.25) + \mathbf{k}(-1 - 0.5)$$= (1.5, -0.75, -1.5)$.Найдем модуль этого вектора:$|\vec{AL} \times \vec{KB_1}| = \sqrt{(1.5)^2 + (-0.75)^2 + (-1.5)^2} = \sqrt{2.25 + 0.5625 + 2.25} = \sqrt{5.0625}$.Значение $\sqrt{5.0625} = 2.25$.Таким образом, площадь сечения $S = \frac{1}{2} \cdot 2.25 = 1.125$.

Ответ: $1.125$.