Номер 46, страница 175 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

46. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершины $B, C_1$ и середину ребра $AD$. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Длина ребра куба $a = 1$. Сечение проходит через вершины $B$, $C_1$ и середину ребра $AD$. Пусть середина ребра $AD$ будет точкой $M$.

Перевод в систему СИ:

Длина ребра $a = 1$ (единица длины). Поскольку в задаче не указаны конкретные единицы измерения, площадь будет выражена в квадратных единицах длины. Перевод в стандартные единицы СИ не требуется.

Найти:

Площадь сечения.

Решение:

Для решения задачи введем декартову систему координат. Пусть вершина $A$ куба совпадает с началом координат $(0,0,0)$. Ребра $AB$, $AD$, $AA_1$ направим вдоль осей $Ox$, $Oy$, $Oz$ соответственно. Тогда координаты вершин куба:

• $A = (0,0,0)$
• $B = (1,0,0)$
• $C = (1,1,0)$
• $D = (0,1,0)$
• $A_1 = (0,0,1)$
• $B_1 = (1,0,1)$
• $C_1 = (1,1,1)$
• $D_1 = (0,1,1)$

Точка $M$ является серединой ребра $AD$. Координаты $A(0,0,0)$ и $D(0,1,0)$. Следовательно, координаты точки $M$: $M = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (0, 0.5, 0)$.

Таким образом, сечение проходит через три заданные точки: $B(1,0,0)$, $C_1(1,1,1)$ и $M(0,0.5,0)$.

Определим уравнение плоскости, проходящей через эти три точки. Найдем два вектора, лежащих в этой плоскости: $\vec{MB} = B - M = (1-0, 0-0.5, 0-0) = (1, -0.5, 0)$ $\vec{MC_1} = C_1 - M = (1-0, 1-0.5, 1-0) = (1, 0.5, 1)$

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости найдем как векторное произведение $\vec{MB} \times \vec{MC_1}$: $\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -0.5 & 0 \\ 1 & 0.5 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-0.5 \cdot 1 - 0 \cdot 0.5) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) + \mathbf{k}(1 \cdot 0.5 - (-0.5) \cdot 1)$ $\vec{n} = -0.5\mathbf{i} - 1\mathbf{j} + (0.5 + 0.5)\mathbf{k} = (-0.5, -1, 1)$. Для удобства расчетов умножим нормальный вектор на $-2$, чтобы получить целые коэффициенты: $\vec{n'} = (1, 2, -2)$.

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Подставим $A=1, B=2, C=-2$: $x + 2y - 2z + D = 0$. Для нахождения $D$ подставим координаты одной из точек, например, $B(1,0,0)$: $1 + 2(0) - 2(0) + D = 0 \Rightarrow 1 + D = 0 \Rightarrow D = -1$. Таким образом, уравнение плоскости сечения: $x + 2y - 2z - 1 = 0$.

Найдем остальные точки пересечения этой плоскости с ребрами куба. Рассмотрим ребро $DD_1$, которое является частью задней грани куба ($x=0, y=1, z \in [0,1]$). Подставим $x=0$ и $y=1$ в уравнение плоскости: $0 + 2(1) - 2z - 1 = 0 \Rightarrow 2 - 2z - 1 = 0 \Rightarrow 1 - 2z = 0 \Rightarrow z = 0.5$. Получаем точку $N(0,1,0.5)$. Эта точка лежит на ребре $DD_1$, так как $0.5 \in [0,1]$.

Сечением куба является четырехугольник $BMNC_1$ с вершинами: $B = (1,0,0)$ $M = (0,0.5,0)$ $N = (0,1,0.5)$ $C_1 = (1,1,1)$

Вычислим длины сторон этого четырехугольника: Длина $BM = \sqrt{(0-1)^2 + (0.5-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 0.5^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 0.25} = \sqrt{1.25} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$. Длина $MN = \sqrt{(0-0)^2 + (1-0.5)^2 + (0.5-0)^2} = \sqrt{0^2 + 0.5^2 + 0.5^2} = \sqrt{0.25 + 0.25} = \sqrt{0.5} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Длина $NC_1 = \sqrt{(1-0)^2 + (1-1)^2 + (1-0.5)^2} = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0.5^2} = \sqrt{1 + 0.25} = \sqrt{1.25} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$. Длина $C_1B = \sqrt{(1-1)^2 + (0-1)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

Сравним векторы $MN$ и $BC_1$: $\vec{MN} = (0-0, 1-0.5, 0.5-0) = (0, 0.5, 0.5)$. $\vec{BC_1} = (1-1, 1-0, 1-0) = (0, 1, 1)$. Так как $\vec{BC_1} = 2 \cdot \vec{MN}$, стороны $MN$ и $BC_1$ параллельны. Также $BM = NC_1 = \frac{\sqrt{5}}{2}$. Следовательно, четырехугольник $BMNC_1$ является равнобедренной трапецией с основаниями $MN$ и $BC_1$.

Площадь трапеции $S = \frac{1}{2}(a+b)h$, где $a$ и $b$ - длины оснований, $h$ - высота. Длины оснований: $a = |BC_1| = \sqrt{2}$, $b = |MN| = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Длина боковых сторон: $c = |BM| = |NC_1| = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Для равнобедренной трапеции, высота $h$ может быть найдена по теореме Пифагора. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной, высотой и отрезком на большем основании. Длина этого отрезка равна $\frac{a-b}{2}$. $x = \frac{\sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$. Высота $h^2 = c^2 - x^2$: $h^2 = \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^2 = \frac{5}{4} - \frac{2}{16} = \frac{5}{4} - \frac{1}{8} = \frac{10}{8} - \frac{1}{8} = \frac{9}{8}$. $h = \sqrt{\frac{9}{8}} = \frac{3}{\sqrt{8}} = \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$.

Теперь вычислим площадь сечения $S$: $S = \frac{1}{2} \left(\sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \left(\frac{3\sqrt{2}}{4}\right)$ $S = \frac{1}{2} \left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right) \left(\frac{3\sqrt{2}}{4}\right)$ $S = \frac{1}{2} \frac{3 \cdot 3 \cdot (\sqrt{2})^2}{2 \cdot 4} = \frac{1}{2} \frac{9 \cdot 2}{8} = \frac{1}{2} \frac{18}{8} = \frac{1}{2} \frac{9}{4} = \frac{9}{8}$.

Для проверки можно использовать метод проекции. Площадь сечения $S$ связана с площадью ее проекции $S_{пр}$ на координатную плоскость формулой $S = S_{пр} / |\cos \gamma|$, где $\gamma$ - угол между плоскостью сечения и плоскостью проекции. Нормальный вектор плоскости сечения $\vec{n} = (1, 2, -2)$. Его модуль $|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+4+4} = \sqrt{9} = 3$. Вектор нормали к плоскости $xy$ равен $\vec{k} = (0,0,1)$. $|\cos \gamma| = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{k}|}{|\vec{n}| \cdot |\vec{k}|} = \frac{|(1,2,-2) \cdot (0,0,1)|}{3 \cdot 1} = \frac{|-2|}{3} = \frac{2}{3}$.

Проекция вершин сечения на плоскость $xy$ (координаты $(x,y)$): $B_{xy} = (1,0)$ $M_{xy} = (0,0.5)$ $N_{xy} = (0,1)$ $C_{1xy} = (1,1)$ Проекция является трапецией с параллельными сторонами $M_{xy}N_{xy}$ (на линии $x=0$) и $B_{xy}C_{1xy}$ (на линии $x=1$). Длины параллельных сторон в плоскости $xy$: $|M_{xy}N_{xy}| = |1 - 0.5| = 0.5$. $|B_{xy}C_{1xy}| = |1 - 0| = 1$. Высота этой трапеции в плоскости $xy$ - это расстояние между линиями $x=0$ и $x=1$, которое равно $1$. Площадь проекции $S_{xy} = \frac{1}{2}(0.5 + 1) \cdot 1 = \frac{1}{2}(1.5) = 0.75 = \frac{3}{4}$.

Тогда площадь сечения $S = S_{xy} / |\cos \gamma| = \frac{3}{4} / \frac{2}{3} = \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{8}$. Оба метода дают одинаковый результат.

Ответ: $9/8$.