Номер 53, страница 175 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

53. Изобразите сечение единичного куба $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$, проходящее через вершину A и середины ребер $BC, A_1 B_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Сторона куба $a = 1$.

Сечение проходит через вершину $A$, середину ребра $BC$ (обозначим ее $M$), и середину ребра $A_1B_1$ (обозначим ее $N$).

Перевод в СИ:

Поскольку куб единичный, все измерения выражены в "единицах длины". Площадь будет в "единицах площади", поэтому дополнительного перевода в систему СИ не требуется.

Найти:

Площадь сечения.

Решение:

1.Определение координат вершин куба и заданных точек.

Разместим куб в декартовой системе координат так, чтобы вершина $A$ находилась в начале координат $(0,0,0)$.

Тогда координаты вершин куба: $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$, $A_1(0,0,1)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$, $D_1(0,1,1)$.

Середина ребра $BC$, точка $M$: $M = \left(\frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (1, 0.5, 0)$.

Середина ребра $A_1B_1$, точка $N$: $N = \left(\frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{1+1}{2}\right) = (0.5, 0, 1)$.

Сечение проходит через точки $A(0,0,0)$, $M(1, 0.5, 0)$, $N(0.5, 0, 1)$.

2.Нахождение уравнения плоскости сечения.

Пусть уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$.

Поскольку плоскость проходит через $A(0,0,0)$, то $D=0$. Уравнение становится $Ax + By + Cz = 0$.

Подставим координаты точки $M(1, 0.5, 0)$: $A(1) + B(0.5) + C(0) = 0 \Rightarrow A + 0.5B = 0 \Rightarrow B = -2A$.

Подставим координаты точки $N(0.5, 0, 1)$: $A(0.5) + B(0) + C(1) = 0 \Rightarrow 0.5A + C = 0 \Rightarrow C = -0.5A$.

Для удобства выберем $A=2$. Тогда $B = -4$, $C = -1$.

Уравнение плоскости сечения: $2x - 4y - z = 0$.

3.Определение всех вершин сечения.

Найдем точки пересечения плоскости $2x - 4y - z = 0$ с ребрами куба:

• С ребрами, исходящими из $A$ (лежащими на осях координат):

  • Ребро $AB$ ($y=0, z=0$): $2x - 0 - 0 = 0 \Rightarrow x=0$. Это точка $A(0,0,0)$.

  • Ребро $AD$ ($x=0, z=0$): $0 - 4y - 0 = 0 \Rightarrow y=0$. Это точка $A(0,0,0)$.

  • Ребро $AA_1$ ($x=0, y=0$): $0 - 0 - z = 0 \Rightarrow z=0$. Это точка $A(0,0,0)$.

• С ребрами на грани $z=0$ (нижнее основание):

  • Ребро $BC$ ($x=1, z=0$): $2(1) - 4y - 0 = 0 \Rightarrow 2 - 4y = 0 \Rightarrow y = 0.5$. Это точка $M(1, 0.5, 0)$.

  • Ребро $CD$ ($y=1, z=0$): $2x - 4(1) - 0 = 0 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2$. Точка $(2,1,0)$ лежит вне куба ($0 \le x \le 1$).

• С ребрами на грани $x=1$ (правая грань $BB_1C_1C$):

  • Ребро $BB_1$ ($y=0, x=1$): $2(1) - 0 - z = 0 \Rightarrow z = 2$. Точка $(1,0,2)$ лежит вне куба ($0 \le z \le 1$).

  • Ребро $CC_1$ ($y=1, x=1$): $2(1) - 4(1) - z = 0 \Rightarrow -2 - z = 0 \Rightarrow z = -2$. Точка $(1,1,-2)$ лежит вне куба ($0 \le z \le 1$).

  • Ребро $B_1C_1$ ($z=1, x=1$): $2(1) - 4y - 1 = 0 \Rightarrow 1 - 4y = 0 \Rightarrow y = 0.25$. Это точка $P(1, 0.25, 1)$.

• С ребрами на грани $z=1$ (верхнее основание $A_1B_1C_1D_1$):

  • Ребро $A_1B_1$ ($y=0, z=1$): $2x - 0 - 1 = 0 \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x = 0.5$. Это точка $N(0.5, 0, 1)$.

  • Ребро $C_1D_1$ ($y=1, z=1$): $2x - 4(1) - 1 = 0 \Rightarrow 2x = 5 \Rightarrow x = 2.5$. Точка $(2.5,1,1)$ лежит вне куба.

• С ребрами на грани $y=0$ (передняя грань $AA_1D_1D$):

  • Ребро $A_1D_1$ ($x=0, z=1$): $0 - 4y - 1 = 0 \Rightarrow y = -0.25$. Точка $(0,-0.25,1)$ лежит вне куба ($0 \le y \le 1$).

Таким образом, вершины сечения: $A(0,0,0)$, $M(1, 0.5, 0)$, $P(1, 0.25, 1)$, $N(0.5, 0, 1)$. Сечение является четырехугольником $AMNP$.

Для изображения сечения необходимо соединить эти точки: отрезок $AM$ лежит на нижней грани, $MP$ на правой грани, $PN$ на верхней грани, и $NA$ на передней грани куба.

4.Определение типа четырехугольника и расчет его площади.

Рассмотрим векторы сторон: $\vec{AM} = (1, 0.5, 0)$ и $\vec{NP} = (1-0.5, 0.25-0, 1-1) = (0.5, 0.25, 0)$.

Заметим, что $\vec{AM} = 2 \cdot \vec{NP}$. Это означает, что сторона $AM$ параллельна стороне $NP$. Следовательно, сечение $AMNP$ является трапецией с основаниями $AM$ и $NP$.

Длины оснований:

$AM = |\vec{AM}| = \sqrt{1^2 + (0.5)^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 0.25} = \sqrt{1.25} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

$NP = |\vec{NP}| = \sqrt{(0.5)^2 + (0.25)^2 + 0^2} = \sqrt{0.25 + 0.0625} = \sqrt{0.3125} = \sqrt{\frac{5}{16}} = \frac{\sqrt{5}}{4}$.

Для вычисления площади трапеции воспользуемся методом проекции. Площадь сечения $S$ связана с площадью ее проекции $S_{xy}$ на плоскость $xy$ по формуле $S = \frac{S_{xy}}{\cos \gamma}$, где $\gamma$ — угол между плоскостью сечения и плоскостью $xy$.

Нормальный вектор плоскости сечения $2x - 4y - z = 0$ есть $\vec{n} = (2, -4, -1)$.

Модуль нормального вектора: $|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-4)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4+16+1} = \sqrt{21}$.

Нормальный вектор к плоскости $xy$ есть $\vec{k} = (0,0,1)$.

Косинус угла $\gamma$: $\cos \gamma = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{k}|}{|\vec{n}| \cdot |\vec{k}|} = \frac{|2 \cdot 0 + (-4) \cdot 0 + (-1) \cdot 1|}{\sqrt{21} \cdot 1} = \frac{|-1|}{\sqrt{21}} = \frac{1}{\sqrt{21}}$.

Проекции вершин сечения на плоскость $xy$:

$A'(0,0)$, $M'(1, 0.5)$, $P'(1, 0.25)$, $N'(0.5, 0)$.

Вычислим площадь проекции $A'N'P'M'$ с помощью формулы Гаусса (правило землемера). Вершины в порядке обхода: $A'(0,0)$, $N'(0.5,0)$, $P'(1, 0.25)$, $M'(1, 0.5)$.

$S_{xy} = \frac{1}{2} |(x_{A'}y_{N'} + x_{N'}y_{P'} + x_{P'}y_{M'} + x_{M'}y_{A'}) - (y_{A'}x_{N'} + y_{N'}x_{P'} + y_{P'}x_{M'} + y_{M'}x_{A'})|$

$S_{xy} = \frac{1}{2} |(0 \cdot 0 + 0.5 \cdot 0.25 + 1 \cdot 0.5 + 1 \cdot 0) - (0 \cdot 0.5 + 0 \cdot 1 + 0.25 \cdot 1 + 0.5 \cdot 0)|$

$S_{xy} = \frac{1}{2} |(0 + 0.125 + 0.5 + 0) - (0 + 0 + 0.25 + 0)|$

$S_{xy} = \frac{1}{2} |0.625 - 0.25| = \frac{1}{2} |0.375| = 0.1875$.

Площадь сечения $S = \frac{S_{xy}}{\cos \gamma} = \frac{0.1875}{1/\sqrt{21}} = 0.1875 \cdot \sqrt{21}$.

Переведем $0.1875$ в дробь: $0.1875 = \frac{1875}{10000} = \frac{3 \cdot 625}{16 \cdot 625} = \frac{3}{16}$.

Таким образом, $S = \frac{3\sqrt{21}}{16}$.

Ответ:

Площадь сечения равна $\frac{3\sqrt{21}}{16}$.