Номер 52, страница 175 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

52. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершины $D, A_1$ и середину ребра $CC_1$. Найдите его площадь.

Дано:

• Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, то есть длина ребра $a = 1$.
• Сечение проходит через вершины $D$, $A_1$.
• Сечение проходит через середину ребра $CC_1$, обозначим эту точку $M$.

Перевод в СИ:

Данные не требуют перевода в систему СИ, так как куб является единичным, и его размеры выражены в относительных единицах длины.

Найти:

Изобразить сечение.

Площадь сечения.

Решение:

Изобразите сечение

Для построения сечения куба, проходящего через заданные точки $D$, $A_1$ и $M$ (середину ребра $CC_1$), удобно использовать метод координат.

Пусть вершина $D$ куба находится в начале координат, то есть $D=(0,0,0)$. Тогда координаты других вершин куба (с ребром $a=1$) будут:

• $A=(1,0,0)$
• $B=(1,1,0)$
• $C=(0,1,0)$
• $D=(0,0,0)$
• $A_1=(1,0,1)$
• $B_1=(1,1,1)$
• $C_1=(0,1,1)$
• $D_1=(0,0,1)$

Заданные точки, через которые проходит сечение:

• $D=(0,0,0)$
• $A_1=(1,0,1)$
• $M$ — середина ребра $CC_1$. Координаты $C=(0,1,0)$ и $C_1=(0,1,1)$. Соответственно, $M=(0, \frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}) = (0,1,1/2)$.

Итак, сечение проходит через точки $D(0,0,0)$, $A_1(1,0,1)$, $M(0,1,1/2)$.

Найдем уравнение плоскости, проходящей через эти три точки. Векторы, лежащие в этой плоскости: $\vec{DA_1} = A_1 - D = (1-0, 0-0, 1-0) = (1,0,1)$ $\vec{DM} = M - D = (0-0, 1-0, 1/2-0) = (0,1,1/2)$

Вектор нормали к плоскости $\vec{n} = \vec{DA_1} \times \vec{DM}$ находится как: $\vec{n} = \det \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1/2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1/2 - 1 \cdot 1) - \mathbf{j}(1 \cdot 1/2 - 1 \cdot 0) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0)$ $\vec{n} = (-1, -1/2, 1)$. Для удобства можно взять нормаль, умноженную на $-2$: $\vec{n'} = (2,1,-2)$.

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D_0 = 0$. Подставим $\vec{n'} = (2,1,-2)$: $2x + y - 2z + D_0 = 0$. Поскольку точка $D(0,0,0)$ лежит в плоскости, подставим ее координаты: $2(0) + 0 - 2(0) + D_0 = 0 \Rightarrow D_0 = 0$. Уравнение плоскости сечения: $2x + y - 2z = 0$.

Теперь найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами куба:

• Ребро $A_1D_1$ (прямая $y=0, z=1$): $2x + 0 - 2(1) = 0 \Rightarrow 2x - 2 = 0 \Rightarrow x=1$. Это точка $A_1(1,0,1)$, уже известная.
• Ребро $D_1C_1$ (прямая $x=0, z=1$): $2(0) + y - 2(1) = 0 \Rightarrow y - 2 = 0 \Rightarrow y=2$. Эта точка $(0,2,1)$ лежит вне куба, так как $y$-координата превышает 1.
• Ребро $B_1C_1$ (прямая $y=1, z=1$): $2x + 1 - 2(1) = 0 \Rightarrow 2x - 1 = 0 \Rightarrow x=1/2$. Это точка $N(1/2,1,1)$. Эта точка лежит на ребре $B_1C_1$.
• Ребро $BB_1$ (прямая $x=1, y=1$): $2(1) + 1 - 2z = 0 \Rightarrow 3 - 2z = 0 \Rightarrow z=3/2$. Эта точка $(1,1,3/2)$ лежит вне куба, так как $z$-координата превышает 1.

Таким образом, вершины сечения внутри куба — это $D(0,0,0)$, $A_1(1,0,1)$, $M(0,1,1/2)$ и $N(1/2,1,1)$. Сечение является четырехугольником $DA_1NM$.

Для изображения сечения необходимо соединить эти вершины:

• Отрезок $DA_1$ находится на грани $ADD_1A_1$.
• Отрезок $A_1N$ находится на верхней грани $A_1B_1C_1D_1$.
• Отрезок $NM$ находится на грани $BCC_1B_1$.
• Отрезок $MD$ находится внутри куба, соединяя вершину $D$ с точкой $M$.

Сечение $DA_1NM$ — это плоский четырехугольник.

Ответ:
Сечение представляет собой четырехугольник $DA_1NM$ с вершинами $D(0,0,0)$, $A_1(1,0,1)$, $N(1/2,1,1)$ и $M(0,1,1/2)$.

Найдите его площадь

Найдем длины сторон четырехугольника $DA_1NM$:

• $DA_1 = \sqrt{(1-0)^2 + (0-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{1^2+0^2+1^2} = \sqrt{2}$.
• $A_1N = \sqrt{(1/2-1)^2 + (1-0)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{(-1/2)^2+1^2+0^2} = \sqrt{1/4+1} = \sqrt{5/4} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
• $NM = \sqrt{(0-1/2)^2 + (1-1)^2 + (1/2-1)^2} = \sqrt{(-1/2)^2+0^2+(-1/2)^2} = \sqrt{1/4+1/4} = \sqrt{1/2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
• $MD = \sqrt{(0-0)^2 + (0-1)^2 + (0-1/2)^2} = \sqrt{0^2+(-1)^2+(-1/2)^2} = \sqrt{1+1/4} = \sqrt{5/4} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Замечаем, что $DA_1 = \sqrt{2}$ и $NM = \frac{\sqrt{2}}{2}$, а $A_1N = MD = \frac{\sqrt{5}}{2}$. Проверим параллельность сторон $DA_1$ и $NM$: Вектор $\vec{DA_1} = (1,0,1)$. Вектор $\vec{NM} = (0-1/2, 1-1, 1/2-1) = (-1/2, 0, -1/2)$. Так как $\vec{DA_1} = -2 \vec{NM}$, то $DA_1$ параллелен $NM$. Следовательно, четырехугольник $DA_1NM$ является равнобедренной трапецией с основаниями $DA_1$ и $NM$.

Длины оснований: $b_1 = DA_1 = \sqrt{2}$, $b_2 = NM = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Длина боковой стороны: $c = MD = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Высота $h$ равнобедренной трапеции определяется по формуле: $h = \sqrt{c^2 - \left(\frac{b_1-b_2}{2}\right)^2}$. Вычислим $\frac{b_1-b_2}{2}$: $\frac{\sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$. Теперь вычислим высоту $h$: $h = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^2} = \sqrt{\frac{5}{4} - \frac{2}{16}} = \sqrt{\frac{5}{4} - \frac{1}{8}} = \sqrt{\frac{10}{8} - \frac{1}{8}} = \sqrt{\frac{9}{8}}$. $h = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{8}} = \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$.

Площадь трапеции $S$ вычисляется по формуле: $S = \frac{b_1+b_2}{2} \cdot h$. $S = \frac{\sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4} = \frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{2} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4} = \frac{3\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4}$. $S = \frac{3 \cdot 3 \cdot (\sqrt{2})^2}{4 \cdot 4} = \frac{9 \cdot 2}{16} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}$.

Ответ:
Площадь сечения составляет $\frac{9}{8}$ или $1.125$ квадратных единиц.