Номер 47, страница 175 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

47. Изобразите сечение единичного куба $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$, проходящее через вершины $C$, $B_1$ и середину ребра $AD$. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Длина ребра куба $a = 1$.
Сечение проходит через вершину $C$, вершину $B_1$ и середину ребра $AD$, обозначим ее $M$.

Найти:

Изобразить сечение и найти его площадь $S_{сеч}$.

Решение:

Для удобства расчетов введем систему координат с началом в точке $A$. Ось $x$ направим по $AB$, ось $y$ по $AD$, ось $z$ по $AA_1$. Так как куб единичный, координаты вершин будут: $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$, $A_1(0,0,1)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$, $D_1(0,1,1)$.

Точки, через которые проходит сечение: $C(1,1,0)$
$B_1(1,0,1)$
$M$ - середина ребра $AD$. Координаты $A(0,0,0)$ и $D(0,1,0)$, поэтому $M(\frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}) = M(0, 0.5, 0)$.

Изображение сечения:

Сечение плоскостью, проходящей через три точки, является многоугольником. Для построения сечения в кубе, необходимо найти все точки пересечения плоскости сечения с ребрами куба.

Используем координатный метод для нахождения всех вершин сечения. Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки $M(0, 0.5, 0)$, $C(1,1,0)$, $B_1(1,0,1)$. Векторы, лежащие в плоскости: $\vec{MC} = C - M = (1-0, 1-0.5, 0-0) = (1, 0.5, 0)$
$\vec{MB_1} = B_1 - M = (1-0, 0-0.5, 1-0) = (1, -0.5, 1)$

Вектор нормали к плоскости $\vec{n} = \vec{MC} \times \vec{MB_1}$: $ \vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0.5 & 0 \\ 1 & -0.5 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0.5 \cdot 1 - 0 \cdot (-0.5)) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) + \mathbf{k}(1 \cdot (-0.5) - 0.5 \cdot 1) = (0.5, -1, -1) $ Для удобства можно взять вектор нормали $2\vec{n} = (1, -2, -2)$.

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Подставим координаты вектора нормали: $x - 2y - 2z + D = 0$. Для нахождения $D$ подставим координаты одной из точек, например $M(0, 0.5, 0)$: $0 - 2(0.5) - 2(0) + D = 0$
$-1 + D = 0 \implies D = 1$.

Уравнение плоскости сечения: $x - 2y - 2z + 1 = 0$.

Найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами куба. Уже известны $M(0, 0.5, 0)$ на $AD$ и $C(1,1,0)$ на $BC$. Также $B_1(1,0,1)$ на $A_1B_1$. Рассмотрим другие ребра куба:

• Ребро $AA_1$: $x=0, y=0, z \in [0,1]$. Подставляем в уравнение плоскости: $0 - 2(0) - 2z + 1 = 0 \implies -2z + 1 = 0 \implies z = 0.5$. Получаем точку $P(0,0,0.5)$. Эта точка лежит на ребре $AA_1$.
• Другие ребра: $CD$, $D_1D$, $A_1D_1$ и т.д. не дают новых точек, лежащих внутри ребер куба.

Таким образом, вершины сечения: $M(0, 0.5, 0)$, $C(1,1,0)$, $B_1(1,0,1)$ и $P(0,0,0.5)$. Сечение является четырехугольником $MCB_1P$.

Для изображения сечения: 1. Начертите куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. 2. Отметьте вершину $C$ на основании $ABCD$. 3. Отметьте вершину $B_1$ на верхней грани $A_1B_1C_1D_1$. 4. Отметьте точку $M$ как середину ребра $AD$. 5. Отметьте точку $P$ как середину ребра $AA_1$. 6. Соедините последовательно точки $M$, $C$, $B_1$, $P$ и $M$. Полученный четырехугольник $MCB_1P$ является искомым сечением. Отрезки $MC$ и $MP$ лежат на гранях куба $ABCD$ и $ADD_1A_1$ соответственно. Отрезок $CB_1$ лежит на грани $BCC_1B_1$. Отрезок $PB_1$ соединяет точки $P$ на $AA_1$ и $B_1$ на $A_1B_1$.

Ответ: Описание построения сечения приведено выше.

Найдите его площадь:

Найдем длины сторон четырехугольника $MCB_1P$: $|MC| = \sqrt{(1-0)^2 + (1-0.5)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{1^2 + 0.5^2} = \sqrt{1 + 0.25} = \sqrt{1.25} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$
$|CB_1| = \sqrt{(1-1)^2 + (0-1)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{0+1+1} = \sqrt{2}$
$|B_1P| = \sqrt{(0-1)^2 + (0-0)^2 + (0.5-1)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + (-0.5)^2} = \sqrt{1 + 0.25} = \sqrt{1.25} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$
$|PM| = \sqrt{(0-0)^2 + (0.5-0)^2 + (0-0.5)^2} = \sqrt{0^2 + 0.5^2 + (-0.5)^2} = \sqrt{0.25+0.25} = \sqrt{0.5} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Четырехугольник $MCB_1P$ имеет стороны $MC = PB_1 = \frac{\sqrt{5}}{2}$, $CB_1 = \sqrt{2}$, $PM = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Заметим, что $\vec{PM} = M - P = (0, 0.5, -0.5)$ и $\vec{B_1C} = C - B_1 = (0, 1, -1)$. Так как $\vec{B_1C} = 2 \vec{PM}$, то стороны $PM$ и $B_1C$ параллельны. Следовательно, четырехугольник $MCB_1P$ является равнобедренной трапецией с основаниями $PM$ и $CB_1$. Длины оснований: $b_1 = |CB_1| = \sqrt{2}$, $b_2 = |PM| = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Длина боковых сторон: $c = |MC| = |PB_1| = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Для нахождения площади трапеции $S = \frac{b_1+b_2}{2}h$, где $h$ - высота трапеции. В равнобедренной трапеции высота $h$ может быть найдена по теореме Пифагора. Опустим перпендикуляры из концов меньшего основания на большее. Длина отрезка на большем основании, отсекаемого высотой, равна $\frac{b_1 - b_2}{2}$. $x = \frac{\sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

Применяем теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику, образованному боковой стороной, высотой и отрезком $x$: $h^2 + x^2 = c^2$
$h^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^2 = \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2$
$h^2 + \frac{2}{16} = \frac{5}{4}$
$h^2 + \frac{1}{8} = \frac{10}{8}$
$h^2 = \frac{9}{8}$
$h = \sqrt{\frac{9}{8}} = \frac{3}{\sqrt{8}} = \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$.

Площадь трапеции: $S_{сеч} = \frac{|CB_1| + |PM|}{2} \cdot h = \frac{\sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4}$
$S_{сеч} = \frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{2} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4}$
$S_{сеч} = \frac{3\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4} = \frac{9 \cdot (\sqrt{2})^2}{16} = \frac{9 \cdot 2}{16} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}$.

Ответ: Площадь сечения составляет $\frac{9}{8}$ квадратных единиц.

Ответ:

Площадь сечения составляет $9/8$.