Номер 45, страница 175 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

45. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершины $B$, $C_1$ и середину ребра $AA_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является единичным, что означает, что длина его ребра $a = 1$.

Сечение проходит через три точки: вершину $B$, вершину $C_1$ и середину ребра $AA_1$. Обозначим середину ребра $AA_1$ как точку $M$.

Перевод в СИ:

Длина ребра куба $a = 1$ у.е. (единица длины). Поскольку задача является геометрической и не содержит физических величин, требующих конкретных единиц измерения, перевод в систему СИ не применяется.

Найти:

Площадь сечения.

Решение

Изобразите сечение

Для изображения (построения) сечения единичного куба, проходящего через заданные точки $B$, $C_1$ и $M$ (середину ребра $AA_1$), выполним следующие шаги:

1. Определите вершины куба. Пусть $A$ находится в начале координат $(0,0,0)$, а ребра $AB$, $AD$, $AA_1$ направлены вдоль осей $Ox$, $Oy$, $Oz$ соответственно.
2. Найдите заданные точки:
   • Вершина $B$ находится по координатам $(1,0,0)$.
   • Вершина $C_1$ находится по координатам $(1,1,1)$.
   • Середина ребра $AA_1$: $A(0,0,0)$, $A_1(0,0,1)$. Следовательно, точка $M$ имеет координаты $(0,0,0.5)$.
3. Соедините точки $B$ и $C_1$. Отрезок $BC_1$ является диагональю грани $BCC_1B_1$ и лежит в её плоскости.
4. Соедините точки $B$ и $M$. Отрезок $BM$ лежит в плоскости грани $ABB_1A_1$.
5. Соедините точки $C_1$ и $M$. Отрезок $C_1M$ проходит через внутреннюю часть куба.

Таким образом, искомое сечение представляет собой треугольник $BMC_1$.

Ответ: Сечение представляет собой треугольник $BMC_1$, вершины которого $B$, $C_1$ и $M$ (середина ребра $AA_1$).

Найдите его площадь

Для вычисления площади треугольника $BMC_1$ воспользуемся методом координат и формулой площади треугольника через векторное произведение.

Координаты вершин треугольника $BMC_1$:

• $B(1,0,0)$
• $C_1(1,1,1)$
• $M(0,0,0.5)$

Выберем точку $M$ как общую начальную точку для двух векторов, образующих треугольник:

• Вектор $\vec{MB} = B - M = (1-0, 0-0, 0-0.5) = (1, 0, -0.5)$
• Вектор $\vec{MC_1} = C_1 - M = (1-0, 1-0, 1-0.5) = (1, 1, 0.5)$

Площадь треугольника $S_{BMC_1}$ равна половине модуля векторного произведения векторов $\vec{MB}$ и $\vec{MC_1}$:

$S_{BMC_1} = \frac{1}{2} |\vec{MB} \times \vec{MC_1}|$

Вычислим векторное произведение $\vec{MB} \times \vec{MC_1}$:

$\vec{MB} \times \vec{MC_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & -0.5 \\ 1 & 1 & 0.5 \end{vmatrix}$

$ = \mathbf{i}(0 \cdot 0.5 - (-0.5) \cdot 1) - \mathbf{j}(1 \cdot 0.5 - (-0.5) \cdot 1) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1)$

$ = \mathbf{i}(0 + 0.5) - \mathbf{j}(0.5 + 0.5) + \mathbf{k}(1 - 0)$

$ = 0.5\mathbf{i} - 1\mathbf{j} + 1\mathbf{k} = (0.5, -1, 1)$

Найдем модуль полученного вектора:

$|\vec{MB} \times \vec{MC_1}| = \sqrt{(0.5)^2 + (-1)^2 + (1)^2}$

$ = \sqrt{0.25 + 1 + 1} = \sqrt{2.25}$

$ = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$

Теперь вычислим площадь сечения:

$S_{BMC_1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$

Ответ: Площадь сечения составляет $3/4$ квадратных единиц.