Номер 49, страница 175 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

49. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершины $A, D_1$ и середину ребра $BB_1$. Найдите его площадь.

Дано

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, то есть длина ребра куба $a = 1$.

Пусть $A$ - начало координат $(0,0,0)$. Тогда координаты вершин куба:$A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$$A_1(0,0,1)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$, $D_1(0,1,1)$

Точки, через которые проходит сечение:Вершина $A(0,0,0)$.Вершина $D_1(0,1,1)$.Середина ребра $BB_1$. Обозначим эту точку $M$. Координаты $M$: $x_M = (x_B+x_{B_1})/2 = (1+1)/2 = 1$, $y_M = (y_B+y_{B_1})/2 = (0+0)/2 = 0$, $z_M = (z_B+z_{B_1})/2 = (0+1)/2 = 1/2$. Таким образом, $M(1,0,1/2)$.

Найти

1. Изобразить сечение.

2. Площадь сечения.

Решение

1. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершины $A, D_1$ и середину ребра $BB_1$.

Определим плоскость сечения, используя заданные точки $A(0,0,0)$, $D_1(0,1,1)$ и $M(1,0,1/2)$.

Общее уравнение плоскости: $Ax+By+Cz+D=0$.

Так как $A(0,0,0)$ лежит в плоскости, то $D=0$. Уравнение становится $Ax+By+Cz=0$.

Подставим координаты $D_1(0,1,1)$: $A \cdot 0 + B \cdot 1 + C \cdot 1 = 0 \Rightarrow B+C=0 \Rightarrow C=-B$.

Подставим координаты $M(1,0,1/2)$: $A \cdot 1 + B \cdot 0 + C \cdot (1/2) = 0 \Rightarrow A+C/2=0 \Rightarrow A=-C/2$.

Заменим $C$ на $-B$: $A = -(-B)/2 = B/2$.

Подставим $A$ и $C$ в уравнение плоскости через $B$: $(B/2)x + By - Bz = 0$.

Разделим на $B$ (предполагая $B \neq 0$): $x/2 + y - z = 0$, или $x+2y-2z=0$.

Теперь найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами куба:

• Ребро $AA_1$ ($x=0, y=0, 0 \le z \le 1$): $0+0-2z=0 \Rightarrow z=0$. Точка $A(0,0,0)$.

• Ребро $BB_1$ ($x=1, y=0, 0 \le z \le 1$): $1+0-2z=0 \Rightarrow 2z=1 \Rightarrow z=1/2$. Точка $M(1,0,1/2)$.

• Ребро $CC_1$ ($x=1, y=1, 0 \le z \le 1$): $1+2(1)-2z=0 \Rightarrow 3-2z=0 \Rightarrow z=3/2$. Эта точка находится вне куба, так как $z > 1$. Сечение не пересекает ребро $CC_1$.

• Ребро $DD_1$ ($x=0, y=1, 0 \le z \le 1$): $0+2(1)-2z=0 \Rightarrow 2-2z=0 \Rightarrow z=1$. Точка $D_1(0,1,1)$.

• Ребро $A_1B_1$ ($z=1, y=0, 0 \le x \le 1$): $x+0-2(1)=0 \Rightarrow x=2$. Эта точка находится вне куба, так как $x > 1$. Сечение не пересекает ребро $A_1B_1$.

• Ребро $B_1C_1$ ($z=1, x=1, 0 \le y \le 1$): $1+2y-2(1)=0 \Rightarrow 2y-1=0 \Rightarrow y=1/2$. Точка $N(1,1/2,1)$.

• Ребро $C_1D_1$ ($z=1, y=1, 0 \le x \le 1$): $x+2(1)-2(1)=0 \Rightarrow x=0$. Точка $D_1(0,1,1)$.

• Другие ребра ($AB, BC, CD, DA$) лежат в плоскости $z=0$. Уравнение сечения $x+2y-2z=0$. При $z=0$ получаем $x+2y=0$. Единственная точка, удовлетворяющая этому условию на лице $ABCD$, это $A(0,0,0)$.

Таким образом, сечение куба представляет собой четырехугольник $AMND_1$ с вершинами:$A(0,0,0)$$M(1,0,1/2)$$N(1,1/2,1)$$D_1(0,1,1)$

Для изображения сечения необходимо построить эти точки и соединить их в указанном порядке.Отрезок $AM$ лежит на грани $ABB_1A_1$.Отрезок $ND_1$ лежит на грани $A_1B_1C_1D_1$.Отрезок $D_1A$ лежит на грани $ADD_1A_1$.Отрезок $MN$ соединяет точки на ребрах $BB_1$ и $B_1C_1$.Сечение $AMND_1$ — это четырехугольник, образованный соединением точек $A$, $M$, $N$ и $D_1$.
Изображение сечения: представьте куб, обозначьте вершины. Отметьте $A$, $D_1$ и середину $M$ ребра $BB_1$. Соедините $A$ с $M$, $A$ с $D_1$. Найдите точку $N$ на $B_1C_1$ (она находится на середине $B_1C_1$). Затем соедините $M$ с $N$ и $N$ с $D_1$. Полученный четырехугольник $AMND_1$ - это искомое сечение.

2. Найдите его площадь.

Найдем длины сторон четырехугольника $AMND_1$:

• $AM = \sqrt{(1-0)^2 + (0-0)^2 + (1/2-0)^2} = \sqrt{1^2 + 0^2 + (1/2)^2} = \sqrt{1 + 1/4} = \sqrt{5/4} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

• $MN = \sqrt{(1-1)^2 + (1/2-0)^2 + (1-1/2)^2} = \sqrt{0^2 + (1/2)^2 + (1/2)^2} = \sqrt{1/4 + 1/4} = \sqrt{1/2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

• $ND_1 = \sqrt{(0-1)^2 + (1-1/2)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (1/2)^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 1/4} = \sqrt{5/4} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

• $D_1A = \sqrt{(0-0)^2 + (1-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Заметим, что $AM = ND_1 = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Проверим параллельность сторон:

• Вектор $\vec{MN} = (1-1, 1/2-0, 1-1/2) = (0, 1/2, 1/2)$.

• Вектор $\vec{AD_1} = (0-0, 1-0, 1-0) = (0, 1, 1)$.

Поскольку $\vec{AD_1} = 2 \vec{MN}$, стороны $MN$ и $AD_1$ параллельны. Следовательно, четырехугольник $AMND_1$ является равнобедренной трапецией.

Длины параллельных оснований: $b_1 = MN = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $b_2 = AD_1 = \sqrt{2}$.

Высота трапеции $h$ - это расстояние между параллельными линиями, содержащими $MN$ и $AD_1$.Найдем середину $MN$: $P_1 = (\frac{1+1}{2}, \frac{0+1/2}{2}, \frac{1/2+1}{2}) = (1, 1/4, 3/4)$.Найдем середину $AD_1$: $P_2 = (\frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+1}{2}) = (0, 1/2, 1/2)$.

Высота трапеции $h = P_1P_2 = \sqrt{(1-0)^2 + (1/4-1/2)^2 + (3/4-1/2)^2}$$h = \sqrt{1^2 + (-1/4)^2 + (1/4)^2} = \sqrt{1 + 1/16 + 1/16} = \sqrt{1 + 2/16} = \sqrt{1 + 1/8} = \sqrt{9/8} = \frac{3}{\sqrt{8}} = \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$.

Площадь трапеции $S = \frac{b_1 + b_2}{2} \cdot h$.

$S = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4} = \frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{2} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4} = \frac{3\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4} = \frac{9 \cdot (\sqrt{2})^2}{16} = \frac{9 \cdot 2}{16} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}$.

Ответ:

Площадь сечения составляет $\frac{9}{8}$ квадратных единиц.