Номер 56, страница 176 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

56. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершину A и середины ребер $BB_1$, $A_1D_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Сечение проходит через вершину $A$, середину ребра $BB_1$ (обозначим ее $M$) и середину ребра $A_1D_1$ (обозначим ее $N$).

Перевод в СИ:

Длина ребра единичного куба $a = 1$ (единица длины).

Найти:

1. Изобразить сечение.

2. Площадь сечения.

Решение:

1. Изобразите сечение

Пусть вершина $A$ куба находится в начале координат $(0,0,0)$. Поскольку куб единичный, длина его ребра $a=1$. Тогда координаты вершин куба:$A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$,$A_1(0,0,1)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$, $D_1(0,1,1)$.

Определим координаты заданных точек:Вершина $A(0,0,0)$.Середина ребра $BB_1$: $M(\frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}) = M(1,0,0.5)$.Середина ребра $A_1D_1$: $N(\frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{1+1}{2}) = N(0,0.5,1)$.

Найдем уравнение плоскости, проходящей через эти три точки $A(0,0,0)$, $M(1,0,0.5)$ и $N(0,0.5,1)$.Общее уравнение плоскости $Ax + By + Cz = D$.Так как $A(0,0,0)$ лежит в плоскости, то $D=0$. Уравнение плоскости: $Ax + By + Cz = 0$.Подставим координаты $M(1,0,0.5)$: $A \cdot 1 + B \cdot 0 + C \cdot 0.5 = 0 \Rightarrow A + 0.5C = 0 \Rightarrow A = -0.5C$.Подставим координаты $N(0,0.5,1)$: $A \cdot 0 + B \cdot 0.5 + C \cdot 1 = 0 \Rightarrow 0.5B + C = 0 \Rightarrow B = -2C$.Примем $C = -2$ (для удобства вычислений). Тогда $A = -0.5(-2) = 1$, и $B = -2(-2) = 4$.Уравнение плоскости сечения: $x + 4y - 2z = 0$.

Теперь найдем точки пересечения этой плоскости с другими ребрами куба, чтобы определить многоугольник сечения.Уже известные точки: $A(0,0,0)$, $M(1,0,0.5)$ (на ребре $BB_1$), $N(0,0.5,1)$ (на ребре $A_1D_1$).Рассмотрим ребро $B_1C_1$. Для точек на этом ребре $x=1$ и $z=1$ (так как $B_1=(1,0,1)$ и $C_1=(1,1,1)$).Подставим эти значения в уравнение плоскости:$1 + 4y - 2(1) = 0 \Rightarrow 4y - 1 = 0 \Rightarrow y = 0.25$.Получаем точку $P(1, 0.25, 1)$. Эта точка лежит на ребре $B_1C_1$, так как ее координата $y=0.25$ находится в пределах $[0,1]$.

Проверка остальных ребер куба показывает, что плоскость сечения не пересекает их внутри куба (координаты точек пересечения выходят за пределы $[0,1]$).Таким образом, сечение является четырехугольником $AMPN$ с вершинами:$A(0,0,0)$$M(1,0,0.5)$$P(1,0.25,1)$$N(0,0.5,1)$

Для изображения сечения необходимо:1. Построить единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.2. Отметить вершину $A$.3. На ребре $BB_1$ (соединяющем $B$ и $B_1$) отметить точку $M$ на его середине.4. На ребре $A_1D_1$ (соединяющем $A_1$ и $D_1$) отметить точку $N$ на его середине.5. На ребре $B_1C_1$ (соединяющем $B_1$ и $C_1$) отметить точку $P$, отступив $0.25$ от $B_1$ по направлению к $C_1$.6. Соединить последовательно отрезками точки $A$, $M$, $P$, $N$, $A$.
Отрезок $AM$ лежит на грани $ABB_1A_1$.
Отрезок $MP$ лежит на грани $BB_1C_1C$.
Отрезок $PN$ лежит на грани $A_1B_1C_1D_1$.
Отрезок $NA$ лежит на грани $ADD_1A_1$.

Ответ: Изображение сечения представляет собой плоский четырехугольник $AMPN$, где $A$ – вершина куба, $M$ – середина ребра $BB_1$, $N$ – середина ребра $A_1D_1$, а $P$ – точка на ребре $B_1C_1$ с координатой $y=0.25$ (если $B_1=(1,0,1)$, $C_1=(1,1,1)$). Сечение образовано отрезками $AM$, $MP$, $PN$, $NA$.

2. Найти его площадь.

Площадь четырехугольника $AMPN$ можно найти, разбив его на два треугольника, например, $AMN$ и $MPN$.Координаты вершин: $A(0,0,0)$, $M(1,0,0.5)$, $P(1,0.25,1)$, $N(0,0.5,1)$.

Вычислим площадь треугольника $AMN$ с использованием векторного произведения:Векторы: $\vec{AM} = (1, 0, 0.5)$ и $\vec{AN} = (0, 0.5, 1)$.Векторное произведение:$\vec{AM} \times \vec{AN} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 0.5 \\ 0 & 0.5 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 0.5 \cdot 0.5) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 0.5 \cdot 0) + \mathbf{k}(1 \cdot 0.5 - 0 \cdot 0) = (-0.25, -1, 0.5)$.Модуль векторного произведения:$|\vec{AM} \times \vec{AN}| = \sqrt{(-0.25)^2 + (-1)^2 + (0.5)^2} = \sqrt{0.0625 + 1 + 0.25} = \sqrt{1.3125}$.Площадь треугольника $AMN$:$S_{AMN} = \frac{1}{2} \sqrt{1.3125} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{21}{16}} = \frac{1}{2} \frac{\sqrt{21}}{4} = \frac{\sqrt{21}}{8}$.

Вычислим площадь треугольника $MPN$. Для этого используем векторы, исходящие из одной точки, например, $P$:$\vec{PM} = M - P = (1-1, 0-0.25, 0.5-1) = (0, -0.25, -0.5)$.$\vec{PN} = N - P = (0-1, 0.5-0.25, 1-1) = (-1, 0.25, 0)$.Векторное произведение:$\vec{PM} \times \vec{PN} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & -0.25 & -0.5 \\ -1 & 0.25 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-0.25 \cdot 0 - (-0.5) \cdot 0.25) - \mathbf{j}(0 \cdot 0 - (-0.5) \cdot (-1)) + \mathbf{k}(0 \cdot 0.25 - (-0.25) \cdot (-1)) = (0.125, 0.5, -0.25)$.Модуль векторного произведения:$|\vec{PM} \times \vec{PN}| = \sqrt{(0.125)^2 + (0.5)^2 + (-0.25)^2} = \sqrt{(\frac{1}{8})^2 + (\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{4})^2} = \sqrt{\frac{1}{64} + \frac{16}{64} + \frac{4}{64}} = \sqrt{\frac{21}{64}}$.Площадь треугольника $MPN$:$S_{MPN} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{21}{64}} = \frac{1}{2} \frac{\sqrt{21}}{8} = \frac{\sqrt{21}}{16}$.

Общая площадь сечения $S$ - это сумма площадей двух треугольников:$S = S_{AMN} + S_{MPN} = \frac{\sqrt{21}}{8} + \frac{\sqrt{21}}{16} = \frac{2\sqrt{21}}{16} + \frac{\sqrt{21}}{16} = \frac{3\sqrt{21}}{16}$.

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{3\sqrt{21}}{16}$ квадратных единиц.