Номер 63, страница 176 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

63. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через середины ребер $AB, BC, DD_1$. Найдите его площадь.

64. Изобразите

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Длина ребра куба $a=1$.

Сечение проходит через середины ребер $AB$, $BC$, $DD_1$. Пусть $K$ – середина $AB$, $L$ – середина $BC$, $M$ – середина $DD_1$.

Найти:

1. Изобразить сечение (описать его построение и форму).

2. Площадь сечения.

Решение

Изобразите сечение

Пусть куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ расположен в декартовой системе координат так, что точка $A$ находится в начале координат $(0,0,0)$, а ребра $AB$, $AD$, $AA_1$ лежат соответственно на осях $Ox$, $Oy$, $Oz$. Длина ребра куба $a=1$.

Координаты вершин куба: $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$ $A_1(0,0,1)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$, $D_1(0,1,1)$

Найдем координаты заданных точек:

Середина ребра $AB$ – точка $K$. Координаты $K = \left(\frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (1/2, 0, 0)$.

Середина ребра $BC$ – точка $L$. Координаты $L = \left(\frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (1, 1/2, 0)$.

Середина ребра $DD_1$ – точка $M$. Координаты $M = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = (0, 1, 1/2)$.

Для определения сечения найдем уравнение плоскости, проходящей через точки $K(1/2, 0, 0)$, $L(1, 1/2, 0)$, $M(0, 1, 1/2)$.

Векторы, лежащие в плоскости: $\vec{KL} = L - K = (1 - 1/2, 1/2 - 0, 0 - 0) = (1/2, 1/2, 0)$ $\vec{KM} = M - K = (0 - 1/2, 1 - 0, 1/2 - 0) = (-1/2, 1, 1/2)$

Нормальный вектор $\vec{N}$ к плоскости равен векторному произведению $\vec{KL} \times \vec{KM}$:

$\vec{N} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1/2 & 1/2 & 0 \\ -1/2 & 1 & 1/2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1/2 \cdot 1/2 - 0 \cdot 1) - \mathbf{j}(1/2 \cdot 1/2 - 0 \cdot (-1/2)) + \mathbf{k}(1/2 \cdot 1 - 1/2 \cdot (-1/2))$

$\vec{N} = \mathbf{i}(1/4) - \mathbf{j}(1/4) + \mathbf{k}(1/2 + 1/4) = (1/4, -1/4, 3/4)$.

Для удобства умножим нормальный вектор на 4: $\vec{N}' = (1, -1, 3)$.

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz = D$. Используя $\vec{N}' = (1, -1, 3)$ и точку $K(1/2, 0, 0)$: $1 \cdot (1/2) - 1 \cdot 0 + 3 \cdot 0 = D \implies D = 1/2$.

Уравнение плоскости сечения: $x - y + 3z = 1/2$.

Теперь найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами куба ($0 \le x,y,z \le 1$):

• Ребро $AB$: ($y=0, z=0$). $x - 0 + 0 = 1/2 \implies x = 1/2$. Это точка $K(1/2,0,0)$ (середина $AB$).

• Ребро $BC$: ($x=1, z=0$). $1 - y + 0 = 1/2 \implies y = 1/2$. Это точка $L(1,1/2,0)$ (середина $BC$).

• Ребро $CD$: ($y=1, z=0$). $x - 1 + 0 = 1/2 \implies x = 3/2$. Так как $x > 1$, точка лежит вне ребра $CD$. Сечение не пересекает $CD$.

• Ребро $AD$: ($x=0, z=0$). $0 - y + 0 = 1/2 \implies y = -1/2$. Так как $y < 0$, точка лежит вне ребра $AD$. Сечение не пересекает $AD$.

• Ребро $DD_1$: ($x=0, y=1$). $0 - 1 + 3z = 1/2 \implies 3z = 3/2 \implies z = 1/2$. Это точка $M(0,1,1/2)$ (середина $DD_1$).

• Ребро $CC_1$: ($x=1, y=1$). $1 - 1 + 3z = 1/2 \implies 3z = 1/2 \implies z = 1/6$. Это точка $R(1,1,1/6)$.

• Ребро $AA_1$: ($x=0, y=0$). $0 - 0 + 3z = 1/2 \implies 3z = 1/2 \implies z = 1/6$. Это точка $S(0,0,1/6)$.

• Для остальных ребер куба (таких как $A_1B_1$, $B_1C_1$, $C_1D_1$, $A_1D_1$, $BB_1$) аналогичные расчеты показывают, что точки пересечения лежат вне отрезков этих ребер.

Итак, вершинами сечения являются точки: $K(1/2, 0, 0)$ (середина $AB$) $L(1, 1/2, 0)$ (середина $BC$) $R(1, 1, 1/6)$ (на ребре $CC_1$) $M(0, 1, 1/2)$ (середина $DD_1$) $S(0, 0, 1/6)$ (на ребре $AA_1$)

Сечение представляет собой пятиугольник $KLRMS$. Для его изображения необходимо соединить эти точки последовательно: $K$ с $L$, $L$ с $R$, $R$ с $M$, $M$ с $S$, $S$ с $K$.

Ответ: Сечение единичного куба, проходящее через середины ребер $AB$, $BC$, $DD_1$, является пятиугольником $KLRMS$, где $K$ – середина $AB$, $L$ – середина $BC$, $M$ – середина $DD_1$, $R$ – точка на ребре $CC_1$ с координатой $z=1/6$, и $S$ – точка на ребре $AA_1$ с координатой $z=1/6$.

Найдите его площадь

Для нахождения площади пятиугольника $KLRMS$ воспользуемся формулой площади многоугольника, полученного проекцией на координатную плоскость: $S_{сечения} = \frac{S_{проекции}}{|\cos \gamma|}$, где $S_{проекции}$ – площадь проекции сечения на координатную плоскость, а $\gamma$ – угол между нормалью плоскости сечения и нормалью координатной плоскости. Удобно выбрать плоскость $xy$.

Координаты нормального вектора плоскости сечения $x - y + 3z = 1/2$ это $\vec{N} = (1, -1, 3)$.

Модуль нормального вектора: $|\vec{N}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 1 + 9} = \sqrt{11}$.

Нормальный вектор к плоскости $xy$ (ось $Oz$) – это $\vec{k} = (0, 0, 1)$.

Косинус угла $\gamma$ между нормалью плоскости сечения и осью $Oz$: $\cos \gamma = \frac{|\vec{N} \cdot \vec{k}|}{|\vec{N}| \cdot |\vec{k}|} = \frac{|(1, -1, 3) \cdot (0, 0, 1)|}{\sqrt{11} \cdot 1} = \frac{|0 - 0 + 3|}{\sqrt{11}} = \frac{3}{\sqrt{11}}$.

Теперь найдем площадь проекции пятиугольника $KLRMS$ на плоскость $xy$. Вершины проекции: $K'(1/2, 0)$ $L'(1, 1/2)$ $R'(1, 1)$ $M'(0, 1)$ $S'(0, 0)$

Эта проекция $S'K'L'R'M'$ является пятиугольником. Его площадь можно найти, вычитая из площади квадрата со стороной 1 (занимающего область $0 \le x \le 1, 0 \le y \le 1$) площадь "отсеченного" треугольника.

Площадь квадрата с вершинами $(0,0), (1,0), (1,1), (0,1)$ равна $1 \cdot 1 = 1$.

"Отсеченный" треугольник имеет вершины $K'(1/2,0)$, $(1,0)$, $L'(1,1/2)$. Его основание вдоль оси $Ox$ равно $1 - 1/2 = 1/2$. Его высота (по оси $Oy$) равна $1/2$. Площадь этого треугольника равна $S_{треугольника} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot (1/2) \cdot (1/2) = 1/8$.

Площадь проекции $S_{проекции} = S_{квадрата} - S_{треугольника} = 1 - 1/8 = 7/8$.

Теперь найдем площадь сечения: $S_{сечения} = \frac{S_{проекции}}{|\cos \gamma|} = \frac{7/8}{3/\sqrt{11}} = \frac{7}{8} \cdot \frac{\sqrt{11}}{3} = \frac{7\sqrt{11}}{24}$.

Ответ: Площадь сечения составляет $\frac{7\sqrt{11}}{24}$.