Номер 64, страница 176 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

64. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через середины ребер $BC, CD, AA_1$. Найдите его площадь.

Дано

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с длиной ребра $a = 1$.

Сечение проходит через середины ребер $BC$, $CD$, $AA_1$.

Найти:

1. Изобразить сечение.

2. Площадь сечения.

Решение

Обозначим середины заданных ребер: точка $M$ - середина ребра $BC$; точка $N$ - середина ребра $CD$; точка $K$ - середина ребра $AA_1$.

Введем систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$ и осями, направленными вдоль ребер $AB$, $AD$, $AA_1$. Длина ребра куба $a=1$.

Координаты точек: $M(1, 0.5, 0)$, $N(0.5, 1, 0)$, $K(0, 0, 0.5)$.

Изобразите сечение

Для построения сечения выполним следующие шаги: 1. Соединим точки $M$ и $N$, так как они лежат в одной грани $ABCD$. Отрезок $MN$ является частью искомого сечения. 2. Продлим отрезок $MN$ до пересечения с линией, содержащей ребро $AD$. Точку пересечения обозначим $P$. Координаты точки $P$ можно найти из уравнения прямой $MN$: $(x,y,0) = (0.5, 1, 0) + t(0.5, -0.5, 0)$. При $x=0$, $0.5 + 0.5t = 0 \implies t=-1$. Тогда $P = (0, 1.5, 0)$. 3. Точки $P$ и $K$ лежат в одной плоскости грани $ADD_1A_1$ (так как их $x$-координаты равны $0$). Соединим точки $P$ и $K$. Прямая $PK$ пересекает ребро $DD_1$ в точке $Q$. Координаты точки $Q$: прямая $PK$ имеет параметрическое уравнение $(0, y, z) = (0, 0, 0.5) + s(0, 1.5, -0.5)$. Для $y=1$ (на ребре $DD_1$), $1.5s=1 \implies s=2/3$. Тогда $z = 0.5 - 0.5(2/3) = 0.5 - 1/3 = 1/6$. Таким образом, $Q(0, 1, 1/6)$. 4. Продлим отрезок $MN$ (или $NM$) до пересечения с линией, содержащей ребро $AB$. Точку пересечения обозначим $S$. Координаты точки $S$ можно найти из уравнения прямой $NM$: $(x,y,0) = (0.5, 1, 0) + t(-0.5, 0.5, 0)$. При $y=0$, $1 + 0.5t = 0 \implies t=-2$. Тогда $S = (0.5, 1, 0) - 2(-0.5, 0.5, 0) = (1.5, 0, 0)$. 5. Точки $S$ и $K$ лежат в одной плоскости грани $ABB_1A_1$ (так как их $y$-координаты равны $0$). Соединим точки $S$ и $K$. Прямая $SK$ пересекает ребро $BB_1$ в точке $R$. Координаты точки $R$: прямая $SK$ имеет параметрическое уравнение $(x, 0, z) = (0, 0, 0.5) + s(1.5, 0, -0.5)$. Для $x=1$ (на ребре $BB_1$), $1.5s=1 \implies s=2/3$. Тогда $z = 0.5 - 0.5(2/3) = 0.5 - 1/3 = 1/6$. Таким образом, $R(1, 0, 1/6)$. 6. Соединим последовательно полученные точки $K, R, M, N, Q, K$. Полученный многоугольник $KRM NQ$ является искомым сечением.

Сечение представляет собой пятиугольник $KRM NQ$ с вершинами: $K(0, 0, 0.5)$, $R(1, 0, 1/6)$, $M(1, 0.5, 0)$, $N(0.5, 1, 0)$, $Q(0, 1, 1/6)$.

Ответ:

Найдите его площадь

Для нахождения площади сечения воспользуемся методом проекции. Спроектируем пятиугольник $KRM NQ$ на координатную плоскость $xy$. Вершины проекции $K'R'M'N'Q'$ будут иметь следующие координаты: $K'(0, 0, 0)$, $R'(1, 0, 0)$, $M'(1, 0.5, 0)$, $N'(0.5, 1, 0)$, $Q'(0, 1, 0)$.

Площадь проекции $S_{proj}$ можно вычислить с помощью формулы Гаусса (формулы площади многоугольника по координатам вершин): $S_{proj} = \frac{1}{2} |(x_1y_2 - y_1x_2) + (x_2y_3 - y_2x_3) + (x_3y_4 - y_3x_4) + (x_4y_5 - y_4x_5) + (x_5y_1 - y_5x_1)|$.

Подставим координаты вершин $(x_i, y_i)$: $S_{proj} = \frac{1}{2} |(0 \cdot 0 - 0 \cdot 1) + (1 \cdot 0.5 - 0 \cdot 1) + (1 \cdot 1 - 0.5 \cdot 0.5) + (0.5 \cdot 1 - 1 \cdot 0) + (0 \cdot 0 - 1 \cdot 0)| = \frac{1}{2} |0 + 0.5 + (1 - 0.25) + 0.5 + 0| = \frac{1}{2} |0.5 + 0.75 + 0.5| = \frac{1}{2} |1.75| = \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{4} = \frac{7}{8}$.

Теперь найдем нормальный вектор к плоскости сечения. Для этого используем векторы, образованные точками сечения. Возьмем точки $K(0, 0, 0.5)$, $M(1, 0.5, 0)$, $N(0.5, 1, 0)$.

Вектор $\vec{KM} = (1 - 0, 0.5 - 0, 0 - 0.5) = (1, 0.5, -0.5)$.

Вектор $\vec{KN} = (0.5 - 0, 1 - 0, 0 - 0.5) = (0.5, 1, -0.5)$.

Нормальный вектор $\vec{n} = \vec{KM} \times \vec{KN}$: $\vec{n} = \mathbf{i}((0.5)(-0.5) - (-0.5)(1)) - \mathbf{j}((1)(-0.5) - (-0.5)(0.5)) + \mathbf{k}((1)(1) - (0.5)(0.5)) = \mathbf{i}(-0.25 + 0.5) - \mathbf{j}(-0.5 + 0.25) + \mathbf{k}(1 - 0.25) = (0.25, 0.25, 0.75)$.

Для удобства можем умножить вектор на 4: $\vec{n}' = (1, 1, 3)$.

Косинус угла $\alpha$ между плоскостью сечения и плоскостью $xy$ (нормальный вектор которой $\vec{k}=(0,0,1)$) вычисляется по формуле: $\cos \alpha = \frac{|\vec{n}' \cdot \vec{k}|}{||\vec{n}'|| \cdot ||\vec{k}||}$.

$\vec{n}' \cdot \vec{k} = (1)(0) + (1)(0) + (3)(1) = 3$.

$||\vec{n}'|| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 1 + 9} = \sqrt{11}$.

$||\vec{k}|| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1$.

$\cos \alpha = \frac{3}{\sqrt{11}}$.

Площадь сечения $S$ связана с площадью проекции $S_{proj}$ по формуле $S = \frac{S_{proj}}{\cos \alpha}$.

$S = \frac{7/8}{3/\sqrt{11}} = \frac{7}{8} \cdot \frac{\sqrt{11}}{3} = \frac{7\sqrt{11}}{24}$.

Ответ: