Номер 71, страница 176 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

71. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через середины ребер $AA_1$, $CC_1$ и точку на ребре $AB$, отстоящую от вершины $A$ на 0.25. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с длиной ребра $a = 1$.

Сечение проходит через:

• Середину ребра $AA_1$, обозначим $M_1$.

• Середину ребра $CC_1$, обозначим $M_2$.

• Точку на ребре $AB$, отстоящую от вершины $A$ на $0,25$, обозначим $P$.

Единицы измерения не указаны, поэтому все длины в условных единицах, площади в квадратных условных единицах.

Найти:

Площадь сечения.

Решение

Определение координат вершин куба и заданных точек.

Расположим куб в декартовой системе координат так, чтобы вершина $A$ находилась в начале координат $(0,0,0)$. Длина ребра куба $a=1$.

Координаты вершин куба:

• $A = (0,0,0)$

• $B = (1,0,0)$

• $C = (1,1,0)$

• $D = (0,1,0)$

• $A_1 = (0,0,1)$

• $B_1 = (1,0,1)$

• $C_1 = (1,1,1)$

• $D_1 = (0,1,1)$

Координаты заданных точек:

• $M_1$ (середина $AA_1$) $= (\frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}) = (0,0,0.5)$.

• $M_2$ (середина $CC_1$) $= (\frac{1+1}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}) = (1,1,0.5)$.

• $P$ (на ребре $AB$, $AP=0.25$) $= (0.25,0,0)$.

Нахождение уравнения плоскости сечения.

Для определения уравнения плоскости, проходящей через три точки $P(0.25,0,0)$, $M_1(0,0,0.5)$ и $M_2(1,1,0.5)$, найдем два вектора, лежащих в этой плоскости:

• Вектор $\vec{PM_1} = M_1 - P = (0-0.25, 0-0, 0.5-0) = (-0.25, 0, 0.5)$.

• Вектор $\vec{PM_2} = M_2 - P = (1-0.25, 1-0, 0.5-0) = (0.75, 1, 0.5)$.

Вектор нормали $\vec{N}$ к плоскости равен векторному произведению этих векторов:

$\vec{N} = \vec{PM_1} \times \vec{PM_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -0.25 & 0 & 0.5 \\ 0.75 & 1 & 0.5 \end{vmatrix}$

$\vec{N} = \mathbf{i}(0 \cdot 0.5 - 0.5 \cdot 1) - \mathbf{j}(-0.25 \cdot 0.5 - 0.5 \cdot 0.75) + \mathbf{k}(-0.25 \cdot 1 - 0 \cdot 0.75)$

$\vec{N} = \mathbf{i}(-0.5) - \mathbf{j}(-0.125 - 0.375) + \mathbf{k}(-0.25)$

$\vec{N} = (-0.5, 0.5, -0.25)$.

Для удобства вычислений умножим вектор нормали на $-4$: $\vec{N'} = (2, -2, 1)$.

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Подставим компоненты $\vec{N'}$: $2x - 2y + z + D = 0$.

Используем точку $P(0.25,0,0)$ для нахождения $D$:

$2(0.25) - 2(0) + 0 + D = 0$

$0.5 + D = 0 \Rightarrow D = -0.5$.

Таким образом, уравнение плоскости сечения: $2x - 2y + z - 0.5 = 0$.

Построение сечения (определение вершин многоугольника).

Сечение куба плоскостью представляет собой многоугольник, вершины которого являются точками пересечения плоскости с ребрами куба. Найдем эти точки, учитывая, что координаты должны быть в диапазоне $[0,1]$.

• Пересечение с гранью $ABCD$ (нижняя грань, $z=0$):
  

  $2x - 2y - 0.5 = 0 \Rightarrow 4x - 4y = 1$.

  • С ребром $AB$ ($y=0$): $4x = 1 \Rightarrow x = 0.25$. Это точка $P(0.25,0,0)$ (уже заданная).

  • С ребром $BC$ ($x=1$): $4(1) - 4y = 1 \Rightarrow 4 - 4y = 1 \Rightarrow 4y = 3 \Rightarrow y = 0.75$. Получаем точку $Q(1,0.75,0)$.

• Пересечение с гранью $A_1B_1C_1D_1$ (верхняя грань, $z=1$):
  

  $2x - 2y + 1 - 0.5 = 0 \Rightarrow 4x - 4y = -1$.

  • С ребром $A_1D_1$ ($x=0$): $-4y = -1 \Rightarrow y = 0.25$. Получаем точку $R(0,0.25,1)$.

  • С ребром $C_1D_1$ ($y=1$): $4x - 4(1) = -1 \Rightarrow 4x = 3 \Rightarrow x = 0.75$. Получаем точку $S(0.75,1,1)$.

• Пересечение с гранью $AA_1D_1D$ (левая грань, $x=0$):
  

  $-2y + z - 0.5 = 0$.

  • С ребром $AA_1$ ($y=0$): $z = 0.5$. Это точка $M_1(0,0,0.5)$ (уже заданная).

• Пересечение с гранью $BB_1C_1C$ (правая грань, $x=1$):
  

  $2(1) - 2y + z - 0.5 = 0 \Rightarrow -2y + z = -1.5$.

  • С ребром $CC_1$ ($y=1$): $-2(1) + z = -1.5 \Rightarrow z = 0.5$. Это точка $M_2(1,1,0.5)$ (уже заданная).

В результате, вершины сечения в порядке обхода являются:

• $P(0.25,0,0)$ (на $AB$)

• $Q(1,0.75,0)$ (на $BC$)

• $M_2(1,1,0.5)$ (на $CC_1$)

• $S(0.75,1,1)$ (на $C_1D_1$)

• $R(0,0.25,1)$ (на $A_1D_1$)

• $M_1(0,0,0.5)$ (на $AA_1$)

Таким образом, сечение представляет собой шестиугольник $PQM_2SRM_1$.

Отрезки сечения лежат на гранях куба:

• $PM_1$ лежит на передней грани $ABA_1B_1$ ($y=0$).

• $M_1R$ лежит на левой грани $AA_1D_1D$ ($x=0$).

• $RS$ лежит на верхней грани $A_1B_1C_1D_1$ ($z=1$).

• $SM_2$ лежит на задней грани $CDD_1C_1$ ($y=1$).

• $M_2Q$ лежит на правой грани $BB_1C_1C$ ($x=1$).

• $QP$ лежит на нижней грани $ABCD$ ($z=0$).

Вычисление площади сечения.

Площадь плоской фигуры можно вычислить, спроецировав ее на одну из координатных плоскостей, вычислив площадь проекции, и разделив ее на косинус угла между плоскостью фигуры и плоскостью проекции.

Вектор нормали к плоскости сечения: $\vec{N'} = (2, -2, 1)$. Его длина: $|\vec{N'}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4+4+1} = \sqrt{9} = 3$.

Выберем проекцию на плоскость $XY$ ($z=0$). Вектор нормали к плоскости $XY$ равен $\mathbf{k}=(0,0,1)$.

Косинус угла $\alpha$ между плоскостью сечения и плоскостью $XY$ равен:

$\cos\alpha = \frac{|\vec{N'} \cdot \mathbf{k}|}{|\vec{N'}| \cdot |\mathbf{k}|} = \frac{|(2,-2,1) \cdot (0,0,1)|}{3 \cdot 1} = \frac{|1|}{3} = \frac{1}{3}$.

Проекция шестиугольника $PQM_2SRM_1$ на плоскость $XY$ имеет следующие вершины:

• $P_{xy}(0.25,0)$

• $Q_{xy}(1,0.75)$

• $M_{2xy}(1,1)$

• $S_{xy}(0.75,1)$

• $R_{xy}(0,0.25)$

• $M_{1xy}(0,0)$

Площадь проекции $S_{xy}$ вычислим по формуле площади Гаусса (Shoelace formula):

$S_{xy} = \frac{1}{2} | (x_1y_2 - y_1x_2) + (x_2y_3 - y_2x_3) + (x_3y_4 - y_3x_4) + (x_4y_5 - y_4x_5) + (x_5y_6 - y_5x_6) + (x_6y_1 - y_6x_1) |$

$2 S_{xy} = (0.25 \cdot 0.75 - 0 \cdot 1) + (1 \cdot 1 - 0.75 \cdot 1) + (1 \cdot 1 - 1 \cdot 0.75) + (0.75 \cdot 0.25 - 1 \cdot 0) + (0 \cdot 0 - 0.25 \cdot 0) + (0 \cdot 0 - 0 \cdot 0.25)$

$2 S_{xy} = (0.1875 - 0) + (1 - 0.75) + (1 - 0.75) + (0.1875 - 0) + 0 + 0$

$2 S_{xy} = 0.1875 + 0.25 + 0.25 + 0.1875 = 0.875$.

$S_{xy} = \frac{0.875}{2} = 0.4375$.

Площадь сечения $S$ равна:

$S = \frac{S_{xy}}{\cos\alpha} = \frac{0.4375}{1/3} = 0.4375 \cdot 3 = 1.3125$.

В виде обыкновенной дроби: $0.4375 = \frac{7}{16}$.

$S = \frac{7}{16} \cdot 3 = \frac{21}{16}$.

Ответ:

Площадь сечения равна $1.3125$ или $\frac{21}{16}$ квадратных условных единиц.