Номер 74, страница 177 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

74. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через середины ребер $BB_1$, $DD_1$ и точку на ребре $AB$, отстоящую от вершины A на 0,75. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Точки, через которые проходит сечение:

• $K$ - середина ребра $BB_1$.
• $L$ - середина ребра $DD_1$.
• $M$ - точка на ребре $AB$, отстоящая от вершины $A$ на $0.75$.

Перевод в СИ:

Длина ребра куба $a = 1$ (условная единица длины).

Расстояние $AM = 0.75 \cdot a = 0.75$.

Примем вершину $A$ за начало координат $(0,0,0)$. Тогда координаты вершин куба:

$A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$

$A_1(0,0,1)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$, $D_1(0,1,1)$

Найти:

1. Описание сечения.
2. Площадь сечения.

Решение:

1.Определение координат заданных точек:

Точка $K$ - середина ребра $BB_1$. Используя координаты $B(1,0,0)$ и $B_1(1,0,1)$:$K = \left(\frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = (1, 0, 0.5)$.

Точка $L$ - середина ребра $DD_1$. Используя координаты $D(0,1,0)$ и $D_1(0,1,1)$:$L = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = (0, 1, 0.5)$.

Точка $M$ на ребре $AB$ отстоит от вершины $A$ на $0.75$. Используя координаты $A(0,0,0)$ и $B(1,0,0)$:$M = (0.75, 0, 0)$.

2.Построение сечения (описание):

Для определения сечения, проходящего через точки $K(1,0,0.5)$, $L(0,1,0.5)$ и $M(0.75,0,0)$, найдем уравнение плоскости, содержащей эти точки.Найдем два вектора, лежащих в этой плоскости:$\vec{MK} = (1-0.75, 0-0, 0.5-0) = (0.25, 0, 0.5)$$\vec{ML} = (0-0.75, 1-0, 0.5-0) = (-0.75, 1, 0.5)$

Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости равен векторному произведению $\vec{MK} \times \vec{ML}$:$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0.25 & 0 & 0.5 \\ -0.75 & 1 & 0.5 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 0.5 - 0.5 \cdot 1) - \mathbf{j}(0.25 \cdot 0.5 - 0.5 \cdot (-0.75)) + \mathbf{k}(0.25 \cdot 1 - 0 \cdot (-0.75))$$\vec{n} = (-0.5)\mathbf{i} - (0.125 + 0.375)\mathbf{j} + (0.25)\mathbf{k} = (-0.5, -0.5, 0.25)$.Для удобства, умножим нормальный вектор на $-4$, получим $\vec{n'} = (2,2,-1)$.

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Используя $\vec{n'} = (2,2,-1)$:$2x + 2y - z + D = 0$.Подставим координаты точки $M(0.75,0,0)$ для нахождения $D$:$2(0.75) + 2(0) - 0 + D = 0 \Rightarrow 1.5 + D = 0 \Rightarrow D = -1.5$.Таким образом, уравнение плоскости сечения: $2x + 2y - z - 1.5 = 0$.

Теперь найдем точки пересечения этой плоскости с другими ребрами куба (кроме уже известных $M, K, L$):

• С ребром $AD$ (линия $x=0, z=0$): $2(0) + 2y - 0 - 1.5 = 0 \Rightarrow 2y = 1.5 \Rightarrow y = 0.75$. Получаем точку $N(0, 0.75, 0)$. Эта точка лежит на ребре $AD$ ($0 \le 0.75 \le 1$).
• С ребром $C_1D_1$ (линия $y=1, z=1$): $2x + 2(1) - 1 - 1.5 = 0 \Rightarrow 2x + 2 - 2.5 = 0 \Rightarrow 2x - 0.5 = 0 \Rightarrow x = 0.25$. Получаем точку $P(0.25, 1, 1)$. Эта точка лежит на ребре $C_1D_1$ ($0 \le 0.25 \le 1$).
• С ребром $B_1C_1$ (линия $x=1, z=1$): $2(1) + 2y - 1 - 1.5 = 0 \Rightarrow 2 + 2y - 2.5 = 0 \Rightarrow 2y - 0.5 = 0 \Rightarrow y = 0.25$. Получаем точку $Q(1, 0.25, 1)$. Эта точка лежит на ребре $B_1C_1$ ($0 \le 0.25 \le 1$).

Сечение является шестиугольником $MNLPQK$ со следующими вершинами:

• $M(0.75, 0, 0)$ на ребре $AB$.
• $N(0, 0.75, 0)$ на ребре $AD$.
• $L(0, 1, 0.5)$ на ребре $DD_1$.
• $P(0.25, 1, 1)$ на ребре $C_1D_1$.
• $Q(1, 0.25, 1)$ на ребре $B_1C_1$.
• $K(1, 0, 0.5)$ на ребре $BB_1$.

Описание изображения сечения:Сечение представляет собой плоский шестиугольник, вершины которого лежат на ребрах куба. Его стороны соединяют эти вершины последовательно: $MN$ (на нижней грани $ABCD$), $NL$ (на левой грани $ADD_1A_1$), $LP$ (на задней грани $CDD_1C_1$), $PQ$ (на верхней грани $A_1B_1C_1D_1$), $QK$ (на правой грани $BCC_1B_1$), и $KM$ (на передней грани $ABB_1A_1$).

3.Вычисление площади сечения:

Площадь сечения можно найти по формуле $S_{сеч} = \frac{S_{пр}}{\cos\gamma}$, где $S_{пр}$ - площадь проекции сечения на одну из координатных плоскостей, а $\cos\gamma$ - косинус угла между плоскостью сечения и плоскостью проекции.

Вектор нормали к плоскости сечения $\vec{n'} = (2,2,-1)$. Его длина:$|\vec{n'}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4+4+1} = \sqrt{9} = 3$.

Проектируем сечение на координатную плоскость $xOy$ ($z=0$). Вектор нормали к плоскости $xOy$ - $\vec{k}=(0,0,1)$.Косинус угла $\gamma$ между плоскостью сечения и плоскостью $xOy$:$\cos\gamma = \frac{|\vec{n'} \cdot \vec{k}|}{|\vec{n'}| \cdot |\vec{k}|} = \frac{|(2,2,-1) \cdot (0,0,1)|}{3 \cdot 1} = \frac{|-1|}{3} = \frac{1}{3}$.

Проекции вершин шестиугольника на плоскость $xOy$ (просто обнуляем $z$-координаты):$M'(0.75, 0)$$N'(0, 0.75)$$L'(0, 1)$$P'(0.25, 1)$$Q'(1, 0.25)$$K'(1, 0)$

Площадь проекции $S_{пр}$ можно вычислить как площадь единичного квадрата $[0,1] \times [0,1]$ за вычетом площадей двух прямоугольных треугольников в углах:

• Треугольник $T_1$ в нижнем левом углу, образованный точками $(0,0)$, $M'(0.75,0)$ и $N'(0,0.75)$. Катеты равны $0.75$ и $0.75$. $S_{T_1} = \frac{1}{2} \cdot 0.75 \cdot 0.75 = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{16} = \frac{9}{32} = 0.28125$.
• Треугольник $T_2$ в верхнем правом углу, образованный точками $(1,1)$, $P'(0.25,1)$ и $Q'(1,0.25)$. Катеты равны $(1-0.25)=0.75$ и $(1-0.25)=0.75$. $S_{T_2} = \frac{1}{2} \cdot 0.75 \cdot 0.75 = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{16} = \frac{9}{32} = 0.28125$.

Площадь проекции $S_{пр}$ равна:$S_{пр} = S_{квадрата} - S_{T_1} - S_{T_2} = 1 - 0.28125 - 0.28125 = 1 - 0.5625 = 0.4375$.

Теперь найдем площадь сечения $S_{сеч}$:$S_{сеч} = \frac{S_{пр}}{\cos\gamma} = \frac{0.4375}{1/3} = 0.4375 \cdot 3 = 1.3125$.

Ответ: $1.3125$