Номер 77, страница 177 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

77. Изобразите сечение единичного куба $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ плоскостью, проходящей через вершины $A$, $B_1$ и параллельной прямой $BD_1$.

Найдите его площадь.

78. Изобразите сечение тетраэдра $ABCD$, все ребра которого равны $1$.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, что означает длина ребра $a=1$.

Плоскость проходит через вершины $A$ и $B_1$.

Плоскость параллельна прямой $BD_1$.

Найти:

Изобразите сечение (описание построения)

Найдите его площадь

Решение:

Для удобства введем систему координат. Пусть вершина $A$ находится в начале координат $(0,0,0)$. Тогда координаты остальных вершин куба будут:

• $A = (0,0,0)$

• $B = (1,0,0)$

• $C = (1,1,0)$

• $D = (0,1,0)$

• $A_1 = (0,0,1)$

• $B_1 = (1,0,1)$

• $C_1 = (1,1,1)$

• $D_1 = (0,1,1)$

Длина ребра куба $a=1$.

Найдем уравнение плоскости, проходящей через $A(0,0,0)$, $B_1(1,0,1)$ и параллельной прямой $BD_1$.

Вектор прямой $BD_1$: $\vec{BD_1} = D_1 - B = (0-1, 1-0, 1-0) = (-1, 1, 1)$.

Общее уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$.

Так как плоскость проходит через $A(0,0,0)$, то $A(0) + B(0) + C(0) + D = 0 \Rightarrow D=0$.

Уравнение плоскости: $Ax + By + Cz = 0$.

Так как плоскость проходит через $B_1(1,0,1)$, то $A(1) + B(0) + C(1) = 0 \Rightarrow A + C = 0 \Rightarrow C = -A$.

Уравнение плоскости: $Ax + By - Az = 0$.

Вектор нормали к плоскости: $\vec{n} = (A, B, -A)$.

Поскольку плоскость параллельна прямой $BD_1$, вектор нормали к плоскости ортогонален вектору $\vec{BD_1}$. То есть, их скалярное произведение равно нулю:

$\vec{n} \cdot \vec{BD_1} = 0$

$(A, B, -A) \cdot (-1, 1, 1) = 0$

$A(-1) + B(1) + (-A)(1) = 0$

$-A + B - A = 0$

$B - 2A = 0 \Rightarrow B = 2A$.

Пусть $A=1$ (можно выбрать любое ненулевое значение для $A$, так как это однородное уравнение). Тогда $B=2$ и $C=-1$.

Уравнение плоскости: $x + 2y - z = 0$.

Теперь найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами куба. Ребра куба лежат в диапазоне $x,y,z \in [0,1]$.

• Пересечение с нижней гранью $ABCD$ ($z=0$): $x+2y=0$. Единственная точка, удовлетворяющая условию $x,y \in [0,1]$, это $A(0,0,0)$.

• Пересечение с верхней гранью $A_1B_1C_1D_1$ ($z=1$): $x+2y-1=0$.
  На ребре $A_1B_1$ ($y=0, z=1$): $x-1=0 \Rightarrow x=1$. Точка $B_1(1,0,1)$.
  На ребре $A_1D_1$ ($x=0, z=1$): $2y-1=0 \Rightarrow y=1/2$. Точка $P_1(0, 1/2, 1)$.
  На ребре $B_1C_1$ ($x=1, z=1$): $1+2y-1=0 \Rightarrow y=0$. Точка $B_1(1,0,1)$.
  На ребре $C_1D_1$ ($y=1, z=1$): $x+2-1=0 \Rightarrow x=-1$. Нет пересечения (так как $x \notin [0,1]$).

• Пересечение с передней гранью $ABB_1A_1$ ($y=0$): $x-z=0 \Rightarrow x=z$.
  На ребре $AA_1$ ($x=0, y=0$): $z=0$. Точка $A(0,0,0)$.
  На ребре $BB_1$ ($x=1, y=0$): $z=1$. Точка $B_1(1,0,1)$.
  Таким образом, отрезок $AB_1$ является частью сечения.

• Пересечение с левой гранью $ADD_1A_1$ ($x=0$): $2y-z=0 \Rightarrow z=2y$.
  На ребре $AD$ ($z=0, x=0$): $2y=0 \Rightarrow y=0$. Точка $A(0,0,0)$.
  На ребре $A_1D_1$ ($z=1, x=0$): $1=2y \Rightarrow y=1/2$. Точка $P_1(0, 1/2, 1)$.
  Таким образом, отрезок $AP_1$ является частью сечения.

• Пересечение с правой гранью $BCC_1B_1$ ($x=1$): $1+2y-z=0 \Rightarrow z=2y+1$.
  На ребре $BB_1$ ($y=0, x=1$): $z=1$. Точка $B_1(1,0,1)$.
  При увеличении $y$ в пределах $[0,1]$ значение $z$ будет больше 1 (например, при $y=0.1, z=1.2$). Нет других пересечений, так как $z \notin [0,1]$.

• Пересечение с задней гранью $CDD_1C_1$ ($y=1$): $x+2(1)-z=0 \Rightarrow z=x+2$.
  При $x \in [0,1]$, $z$ будет в диапазоне $[2,3]$. Нет пересечений с ребрами этой грани, так как $z \notin [0,1]$.

Таким образом, плоскость пересекает ребра куба только в трех точках: $A(0,0,0)$, $B_1(1,0,1)$ и $P_1(0,1/2,1)$. Следовательно, сечением является треугольник $AB_1P_1$.

Изобразите сечение:

Для изображения сечения необходимо:

1. Начертить единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

2. Отметить вершины $A$ и $B_1$. Соединить их отрезком $AB_1$. Этот отрезок лежит в передней грани $ABB_1A_1$.

3. На ребре $A_1D_1$ (верхняя грань, левое заднее ребро) найти точку $P_1$, которая является серединой этого ребра (так как $P_1$ имеет координаты $(0, 1/2, 1)$).

4. Соединить точку $A$ с точкой $P_1$ отрезком $AP_1$. Этот отрезок лежит в левой грани $ADD_1A_1$.

5. Соединить точку $B_1$ с точкой $P_1$ отрезком $B_1P_1$. Этот отрезок лежит в верхней грани $A_1B_1C_1D_1$.

Образованный треугольник $AB_1P_1$ является искомым сечением.

Ответ: Сечением является треугольник $AB_1P_1$, где $P_1$ — середина ребра $A_1D_1$.

Найдите его площадь:

Площадь треугольника $AB_1P_1$ можно найти, используя векторное произведение векторов, исходящих из одной вершины, например $\vec{AP_1}$ и $\vec{AB_1}$.

Координаты вершин: $A=(0,0,0)$, $P_1=(0,1/2,1)$, $B_1=(1,0,1)$.

Векторы сторон:

$\vec{AP_1} = (0-0, 1/2-0, 1-0) = (0, 1/2, 1)$

$\vec{AB_1} = (1-0, 0-0, 1-0) = (1, 0, 1)$

Векторное произведение $\vec{AP_1} \times \vec{AB_1}$:

$\vec{AP_1} \times \vec{AB_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 1/2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1/2 \cdot 1 - 1 \cdot 0) - \mathbf{j}(0 \cdot 1 - 1 \cdot 1) + \mathbf{k}(0 \cdot 0 - 1/2 \cdot 1)$

$= \mathbf{i}(1/2) - \mathbf{j}(-1) + \mathbf{k}(-1/2) = (1/2, 1, -1/2)$.

Модуль векторного произведения:

$|\vec{AP_1} \times \vec{AB_1}| = \sqrt{(1/2)^2 + 1^2 + (-1/2)^2} = \sqrt{1/4 + 1 + 1/4} = \sqrt{1/2 + 1} = \sqrt{3/2}$.

Площадь треугольника $S$ равна половине модуля векторного произведения:

$S = \frac{1}{2} |\vec{AP_1} \times \vec{AB_1}| = \frac{1}{2} \sqrt{3/2} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{4}$.

Ответ: Площадь сечения составляет $\frac{\sqrt{6}}{4}$.