Номер 84, страница 177 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

84. Изобразите сечение правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины $A$, $D$ и середину ребра $SB$. Найдите его площадь.

85. Изобразите сечение правильной...

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$.

Все ребра пирамиды равны $a = 1$.

Сечение проходит через вершины $A$, $D$ и середину ребра $SB$, которую обозначим $M$.

Перевод в СИ не требуется, так как единицы измерения не указаны и все величины являются безразмерными.

Найти:

Площадь сечения $S_{ADM}$.

Решение:

Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$ имеет в основании квадрат $ABCD$. Так как все ребра равны $1$, то длины всех ребер, включая ребра основания $AB, BC, CD, DA$ и боковые ребра $SA, SB, SC, SD$, равны $1$.

Сечение проходит через три точки: вершину $A$ основания, вершину $D$ основания и точку $M$, которая является серединой ребра $SB$.

Для построения сечения необходимо:

1. Начертить пирамиду $SABCD$, обозначив ее вершины.

2. Найти середину ребра $SB$ и обозначить ее точкой $M$.

3. Соединить точки $A$ и $D$. Отрезок $AD$ является стороной сечения, так как обе точки лежат в плоскости основания.

4. Соединить точки $A$ и $M$. Отрезок $AM$ является стороной сечения, так как обе точки лежат в плоскости боковой грани $SAB$.

5. Соединить точки $D$ и $M$. Отрезок $DM$ является стороной сечения, так как обе точки лежат в плоскости боковой грани $SDB$.

Таким образом, сечение, проходящее через точки $A$, $D$ и $M$, представляет собой треугольник $ADM$.

Ответ: Описание построения сечения.

Для нахождения площади треугольника $ADM$ нам необходимо вычислить длины его сторон: $AD$, $AM$ и $DM$.

1. Длина стороны $AD$:
   Так как $ABCD$ — квадрат со стороной $1$ (все ребра пирамиды равны $1$), то $AD = 1$.

2. Длина стороны $AM$:
   Рассмотрим боковую грань $SAB$. Это треугольник со сторонами $SA=1$, $AB=1$, $SB=1$. Таким образом, треугольник $SAB$ является равносторонним.

   $M$ — середина ребра $SB$. Следовательно, $AM$ является медианой равностороннего треугольника $SAB$. В равностороннем треугольнике медиана, проведенная к стороне, также является высотой. Длина медианы (высоты) равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

   Для $a=1$, получаем $AM = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

3. Длина стороны $DM$:
   Рассмотрим треугольник $SDB$. Стороны $SD=1$ и $SB=1$. Сторона $DB$ является диагональю квадрата $ABCD$ (основания пирамиды). Длина диагонали квадрата со стороной $a$ равна $a\sqrt{2}$.

   Следовательно, $DB = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$.

   Проверим тип треугольника $SDB$. Его стороны: $SD=1$, $SB=1$, $DB=\sqrt{2}$.Применим теорему Пифагора: $SD^2 + SB^2 = 1^2 + 1^2 = 1+1=2$. $DB^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$.Так как $SD^2 + SB^2 = DB^2$, то треугольник $SDB$ является прямоугольным, причем прямой угол находится при вершине $S$ ($$$\angle DSB = 90^\circ$$$).

   $M$ — середина ребра $SB$, поэтому $SM = \frac{1}{2} SB = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

   Рассмотрим треугольник $SDM$. Он также является прямоугольным, так как $\angle DSB = \angle DSM = 90^\circ$. По теореме Пифагора:

   $DM^2 = SD^2 + SM^2$

   $DM^2 = 1^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$

   $DM = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Итак, длины сторон треугольника $ADM$ равны: $AD=1$, $AM=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $DM=\frac{\sqrt{5}}{2}$.

Теперь вычислим площадь треугольника $ADM$ по формуле Герона.

Полупериметр $p = \frac{AD + AM + DM}{2} = \frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}}{2} = \frac{2 + \sqrt{3} + \sqrt{5}}{4}$.

Площадь $S_{ADM} = \sqrt{p(p-AD)(p-AM)(p-DM)}$

Вычислим множители:

$p-AD = \frac{2 + \sqrt{3} + \sqrt{5}}{4} - 1 = \frac{2 + \sqrt{3} + \sqrt{5} - 4}{4} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{5} - 2}{4}$

$p-AM = \frac{2 + \sqrt{3} + \sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2 + \sqrt{3} + \sqrt{5} - 2\sqrt{3}}{4} = \frac{2 - \sqrt{3} + \sqrt{5}}{4}$

$p-DM = \frac{2 + \sqrt{3} + \sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{2 + \sqrt{3} + \sqrt{5} - 2\sqrt{5}}{4} = \frac{2 + \sqrt{3} - \sqrt{5}}{4}$

Теперь подставим их в формулу для площади в квадрате:

$S_{ADM}^2 = \frac{1}{4^4} (2 + \sqrt{3} + \sqrt{5}) (\sqrt{3} + \sqrt{5} - 2) (2 - \sqrt{3} + \sqrt{5}) (2 + \sqrt{3} - \sqrt{5})$

$S_{ADM}^2 = \frac{1}{256} [ (\sqrt{3} + \sqrt{5})^2 - 2^2 ] [ 2^2 - (\sqrt{3} - \sqrt{5})^2 ]$

Вычислим части в квадратных скобках:

$(\sqrt{3} + \sqrt{5})^2 - 2^2 = (3 + 5 + 2\sqrt{3 \cdot 5}) - 4 = (8 + 2\sqrt{15}) - 4 = 4 + 2\sqrt{15}$

$2^2 - (\sqrt{3} - \sqrt{5})^2 = 4 - (3 + 5 - 2\sqrt{3 \cdot 5}) = 4 - (8 - 2\sqrt{15}) = 4 - 8 + 2\sqrt{15} = -4 + 2\sqrt{15}$

Теперь перемножим полученные выражения:

$S_{ADM}^2 = \frac{1}{256} (4 + 2\sqrt{15}) (-4 + 2\sqrt{15})$

$S_{ADM}^2 = \frac{1}{256} (2\sqrt{15} + 4) (2\sqrt{15} - 4)$

Это выражение типа $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, где $a=2\sqrt{15}$ и $b=4$:

$S_{ADM}^2 = \frac{1}{256} [ (2\sqrt{15})^2 - 4^2 ]$

$S_{ADM}^2 = \frac{1}{256} [ (4 \cdot 15) - 16 ]$

$S_{ADM}^2 = \frac{1}{256} [ 60 - 16 ]$

$S_{ADM}^2 = \frac{44}{256}$

Извлекаем квадратный корень для нахождения площади:

$S_{ADM} = \sqrt{\frac{44}{256}} = \frac{\sqrt{44}}{\sqrt{256}} = \frac{\sqrt{4 \cdot 11}}{16} = \frac{2\sqrt{11}}{16} = \frac{\sqrt{11}}{8}$.

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{\sqrt{11}}{8}$.