Номер 85, страница 177 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

85. Изобразите сечение правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$, все ребра которой равны 1, проходящее через середины ребер $AD$, $BC$ и $SD$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$. Длина всех ребер $a = 1$. Сечение проходит через середины ребер $AD, BC, SD$. Обозначим эти середины $M, N, P$ соответственно.

Перевод в СИ:

Так как единицы измерения длины не указаны, принимаем их за условные единицы, например, метры. $a = 1 \text{ м}$.

Найти:

1. Изобразить сечение. 2. Найти площадь сечения.

Решение:

Изображение сечения

Пусть $M$ - середина ребра $AD$, $N$ - середина ребра $BC$, $P$ - середина ребра $SD$. Искомое сечение проходит через точки $M, N, P$.

1. Точки $M$ и $N$ лежат в плоскости основания $ABCD$. Соединяем их отрезком $MN$. Поскольку $ABCD$ - квадрат, и $M, N$ - середины противоположных сторон $AD, BC$, то $MN$ параллелен $AB$ и $CD$, а длина $MN$ равна длине стороны квадрата: $MN = AB = CD = 1$.

2. Точки $M$ и $P$ лежат в плоскости грани $SAD$. Соединяем их отрезком $MP$. Поскольку $M$ - середина $AD$, а $P$ - середина $SD$, отрезок $MP$ является средней линией треугольника $SAD$. Следовательно, $MP \parallel SA$ и $MP = \frac{1}{2} SA$. Так как все ребра пирамиды равны 1, $SA=1$, значит $MP = \frac{1}{2}$.

3. Рассмотрим плоскость сечения, проходящую через $M, N, P$. Поскольку $MN \parallel CD$, плоскость сечения параллельна ребру $CD$. Если плоскость параллельна прямой и пересекает плоскость, содержащую эту прямую, то линия их пересечения параллельна этой прямой. Плоскость сечения $MNP$ пересекает плоскость грани $SCD$ (которая содержит $CD$). Следовательно, линия пересечения $PQ$ (где $Q$ - точка на $SC$) должна быть параллельна $CD$.

4. Поскольку $P$ - середина $SD$ и $PQ \parallel CD$, отрезок $PQ$ является средней линией треугольника $SCD$. Это означает, что $Q$ является серединой ребра $SC$, и $PQ = \frac{1}{2} CD$. Так как $CD=1$, то $PQ = \frac{1}{2}$.

5. Теперь соединяем точки $Q$ и $N$. Точки $Q$ и $N$ лежат в плоскости грани $SBC$. Поскольку $Q$ - середина $SC$, а $N$ - середина $BC$, отрезок $QN$ является средней линией треугольника $SBC$. Следовательно, $QN \parallel SB$ и $QN = \frac{1}{2} SB$. Так как $SB=1$, то $QN = \frac{1}{2}$.

Таким образом, сечением является четырехугольник $MNQP$. У него $MN \parallel CD$ и $PQ \parallel CD$, откуда $MN \parallel PQ$. Значит, $MNQP$ является трапецией. Длины сторон трапеции: $MN = 1$, $PQ = 1/2$, $MP = 1/2$, $QN = 1/2$. Поскольку боковые стороны $MP$ и $QN$ равны, трапеция $MNQP$ является равнобокой.

Ответ: Сечением является равнобокая трапеция $MNQP$, где $M, N, P, Q$ - середины ребер $AD, BC, SD, SC$ соответственно.

Расчет площади сечения

Сечение $MNQP$ является равнобокой трапецией с основаниями $MN=1$ и $PQ=1/2$, и боковыми сторонами $MP=QN=1/2$.

Для вычисления площади трапеции нам нужна ее высота $h$. Опустим перпендикуляры из вершин $P$ и $Q$ на большее основание $MN$. Обозначим их основания $P'$ и $Q'$. Тогда $P'Q' = PQ = 1/2$. Длины отрезков $MP'$ и $NQ'$ будут равны: $MP' = NQ' = \frac{MN - PQ}{2} = \frac{1 - 1/2}{2} = \frac{1/2}{2} = \frac{1}{4}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной $MP$, ее проекцией $MP'$ на основание и высотой $h$. По теореме Пифагора: $h^2 = MP^2 - MP'^2$. $h^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{4}\right)^2$ $h^2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{16}$ $h^2 = \frac{4}{16} - \frac{1}{16} = \frac{3}{16}$ $h = \sqrt{\frac{3}{16}} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

Площадь трапеции $S_{MNQP}$ вычисляется по формуле: $S_{MNQP} = \frac{MN + PQ}{2} \times h$ $S_{MNQP} = \frac{1 + 1/2}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{4}$ $S_{MNQP} = \frac{3/2}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{4}$ $S_{MNQP} = \frac{3}{4} \times \frac{\sqrt{3}}{4}$ $S_{MNQP} = \frac{3\sqrt{3}}{16}$.

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{3\sqrt{3}}{16}$.