Номер 89, страница 178 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

89. Изобразите сечение правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$, все ребра которой равны $1$, проходящее через середины ребер $AB$, $BC$ и параллельное ребру $SB$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$.

Все ребра равны 1. ($AB = BC = CD = DA = SA = SB = SC = SD = 1$).

Сечение проходит через середины ребер $AB$ и $BC$. Обозначим эти середины как $M$ и $N$ соответственно.

Сечение параллельно ребру $SB$.

Найти:

1. Изобразить (описать) сечение.

2. Площадь сечения.

Решение:

1.Описание сечения:

Пусть $M$ — середина ребра $AB$, а $N$ — середина ребра $BC$.

Так как сечение проходит через $M$ и $N$, отрезок $MN$ лежит в плоскости сечения.

В основании $ABCD$ (квадрат со стороной 1), $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Следовательно, $MN$ является средней линией треугольника $ABC$. Отсюда $MN \parallel AC$ и длина $MN = \frac{1}{2} AC$. Диагональ квадрата $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. Таким образом, $MN = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Плоскость сечения параллельна ребру $SB$. Это означает, что если через точку $M$ в плоскости грани $SAB$ провести прямую, параллельную $SB$, она будет принадлежать плоскости сечения. Аналогично, если через точку $N$ в плоскости грани $SBC$ провести прямую, параллельную $SB$, она также будет принадлежать плоскости сечения.

Проведем через $M$ прямую, параллельную $SB$, до пересечения с ребром $SA$ в точке $P$. Поскольку $M$ — середина $AB$ и $MP \parallel SB$, то $MP$ является средней линией треугольника $SAB$. Следовательно, $P$ — середина $SA$, и $MP = \frac{1}{2} SB$. Так как все ребра пирамиды равны 1, $SB = 1$, значит $MP = \frac{1}{2}$.

Проведем через $N$ прямую, параллельную $SB$, до пересечения с ребром $SC$ в точке $Q$. Аналогично, поскольку $N$ — середина $BC$ и $NQ \parallel SB$, то $NQ$ является средней линией треугольника $SBC$. Следовательно, $Q$ — середина $SC$, и $NQ = \frac{1}{2} SB = \frac{1}{2}$.

Теперь соединим точки $P$ и $Q$. $P$ и $Q$ являются серединами ребер $SA$ и $SC$ соответственно. Следовательно, $PQ$ является средней линией треугольника $SAC$. Отсюда $PQ \parallel AC$ и $PQ = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Таким образом, сечение представляет собой четырехугольник $MNQP$ со сторонами $MN = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $MP = \frac{1}{2}$, $NQ = \frac{1}{2}$, $PQ = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Поскольку $MN \parallel PQ$ (обе параллельны $AC$) и $MP \parallel NQ$ (обе параллельны $SB$), четырехугольник $MNQP$ является параллелограммом.

Для определения вида параллелограмма, рассмотрим угол между его смежными сторонами, например, между $MN$ и $MP$. Сторона $MN$ параллельна диагонали основания $AC$. Сторона $MP$ параллельна боковому ребру $SB$.

В правильной четырехугольной пирамиде, у которой все ребра равны, боковые грани являются равносторонними треугольниками, а основание — квадрат.

Покажем, что $AC \perp SB$. Пусть $O$ — центр основания $ABCD$. Тогда $SO$ — высота пирамиды. $SO \perp AC$ (так как $SO$ перпендикулярна плоскости основания). Также, в квадрате $ABCD$, диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$. Поскольку $SO$ и $BD$ лежат в плоскости $SBD$ и обе перпендикулярны $AC$, то плоскость $SBD$ перпендикулярна $AC$. Так как ребро $SB$ лежит в плоскости $SBD$, то $SB \perp AC$.

Поскольку $MN \parallel AC$ и $MP \parallel SB$, и $AC \perp SB$, то $MN \perp MP$.

Следовательно, параллелограмм $MNQP$ является прямоугольником.

2.Площадь сечения:

Площадь прямоугольника $MNQP$ равна произведению длин его смежных сторон:

$S_{MNQP} = MN \cdot MP$

Мы нашли $MN = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $MP = \frac{1}{2}$.

$S_{MNQP} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

Ответ: Сечение является прямоугольником $MNQP$ со сторонами $\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\frac{1}{2}$. Площадь сечения равна $\frac{\sqrt{2}}{4}$.