Номер 94, страница 178 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

94. Изобразите сечение правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины A, B и середину ребра $A_1C_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Длина всех ребер призмы $a = 1$.

Сечение проходит через вершины $A$, $B$ и середину ребра $A_1C_1$. Обозначим середину ребра $A_1C_1$ как $M$.

Перевод в систему СИ:

Все длины заданы в безразмерных единицах, поэтому перевод не требуется.

Найти:

Площадь сечения $S_{ABM}$.

Решение:

Сечением является треугольник $ABM$. Для нахождения его площади используем формулу площади треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. В качестве основания выберем ребро $AB$.

1.Длина основания $AB$:

По условию, все ребра призмы равны 1. Следовательно, длина ребра $AB = 1$.

$AB = 1$

2.Нахождение высоты сечения:

Для нахождения высоты треугольника $ABM$ (опущенной из вершины $M$ на основание $AB$), используем метод проекций.

Проекция точки $M$ (середины $A_1C_1$) на плоскость основания $ABC$ является серединой ребра $AC$. Обозначим эту точку $K$.

Высота призмы $h = AA_1 = 1$. Это также расстояние от точки $M$ до плоскости $ABC$, то есть $MK = 1$.

Найдем расстояние от точки $K$ до прямой $AB$. В основании лежит правильный (равносторонний) треугольник $ABC$ со стороной 1. Точка $K$ — середина $AC$.

В плоскости основания $ABC$ проведем высоту $CH$ из вершины $C$ к стороне $AB$. Длина $CH = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Поскольку $K$ является серединой $AC$, а $CH$ перпендикулярно $AB$, то расстояние от $K$ до $AB$ равно половине высоты $CH$. Проведем перпендикуляр $KP$ из $K$ на $AB$.

$KP = \frac{1}{2} CH = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $MKP$. Катет $MK = 1$ (высота призмы), катет $KP = \frac{\sqrt{3}}{4}$ (расстояние от проекции $M$ до прямой $AB$). Гипотенуза $MP$ является искомой высотой треугольника $ABM$ относительно основания $AB$.

По теореме Пифагора:

$MP^2 = MK^2 + KP^2$

$MP^2 = 1^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)^2 = 1 + \frac{3}{16} = \frac{16+3}{16} = \frac{19}{16}$

$MP = \sqrt{\frac{19}{16}} = \frac{\sqrt{19}}{4}$

3.Вычисление площади сечения:

Площадь треугольника $ABM$ равна:

$S_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot MP$

$S_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{19}}{4} = \frac{\sqrt{19}}{8}$

Ответ:

$\frac{\sqrt{19}}{8}$