Номер 96, страница 178 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Изобразите сечение правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины $B$, $C$ и середину ребра $A_1B_1$. Найдите его площадь.

Изобразите сечение

Сечение, проходящее через вершины $B$, $C$ и середину $M$ ребра $A_1B_1$, представляет собой треугольник $BMC$.

• Сторона $BC$ является ребром нижнего основания призмы $ABC$.

• Сторона $BM$ соединяет вершину $B$ нижнего основания с серединой $M$ ребра $A_1B_1$ верхнего основания. Этот отрезок лежит в боковой грани $ABB_1A_1$ (которая является квадратом).

• Сторона $CM$ соединяет вершину $C$ нижнего основания с серединой $M$ ребра $A_1B_1$ верхнего основания. Этот отрезок проходит через внутреннюю часть призмы.

Треугольник $BMC$ является разносторонним.

Ответ: Сечение представляет собой треугольник $BMC$, где $BC$ - ребро нижнего основания, $BM$ - отрезок, лежащий в боковой грани $ABB_1A_1$, а $CM$ - отрезок, проходящий внутри призмы.

Найдите его площадь

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Длина всех ребер $a = 1$.

Сечение проходит через вершины $B$, $C$ и середину $M$ ребра $A_1B_1$.

В СИ:

Длина всех ребер $a = 1$ м.

Найти:

Площадь сечения $S_{BMC}$.

Решение:

1. Определим длины сторон треугольника $BMC$.

Сторона $BC$: Это ребро основания правильной треугольной призмы. Так как все ребра равны $1$, то $BC = a = 1$.

Сторона $BM$: Рассмотрим боковую грань $ABB_1A_1$. Эта грань является квадратом со стороной $a=1$, так как призма правильная и все ее ребра равны $1$. Точка $M$ является серединой ребра $A_1B_1$, поэтому $MB_1 = A_1B_1 / 2 = a/2 = 1/2$.Рассмотрим прямоугольный треугольник $BMB_1$. Угол при вершине $B_1$ прямой, так как боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1$, а значит, и отрезку $MB_1$.По теореме Пифагора:

$BM^2 = BB_1^2 + MB_1^2$

$BM^2 = 1^2 + (1/2)^2 = 1 + 1/4 = 5/4$

$BM = \sqrt{5/4} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Сторона $CM$: Проведем перпендикуляр $MM'$ из точки $M$ к плоскости нижнего основания $ABC$. $MM'$ является высотой призмы, $MM' = a = 1$.Точка $M'$ является проекцией $M$ на плоскость $ABC$. Поскольку $M$ - середина $A_1B_1$, ее проекция $M'$ на плоскость $ABC$ будет серединой отрезка $AB$.Рассмотрим треугольник $M'BC$ в плоскости основания $ABC$.$M'$ - середина $AB$, поэтому $M'B = AB/2 = a/2 = 1/2$.В правильном треугольнике $ABC$ со стороной $a=1$, отрезок $M'C$ является медианой, проведенной из вершины $C$ к середине стороны $AB$. Длина такой медианы (или высоты в правильном треугольнике) равна $a\frac{\sqrt{3}}{2}$.Таким образом, $M'C = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.Проверим тип треугольника $M'BC$. Длины его сторон: $M'B = 1/2$, $M'C = \sqrt{3}/2$, $BC = 1$.Применим теорему Пифагора: $M'B^2 + M'C^2 = (1/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2 = 1/4 + 3/4 = 1$.Так как $BC^2 = 1^2 = 1$, то $M'B^2 + M'C^2 = BC^2$. Это означает, что треугольник $M'BC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $M'$.Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $CMM'$. Угол при вершине $M'$ прямой, так как $MM'$ перпендикулярно плоскости $ABC$, а значит, и отрезку $M'C$.По теореме Пифагора:

$CM^2 = MM'^2 + M'C^2$

$CM^2 = 1^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 1 + 3/4 = 7/4$

$CM = \sqrt{7/4} = \frac{\sqrt{7}}{2}$.

2. Вычислим площадь треугольника $BMC$.

Для вычисления площади треугольника $BMC$ воспользуемся формулой $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. В качестве основания выберем сторону $BC$. Высоту из точки $M$ на сторону $BC$ обозначим $MK$.Проекция $MK$ на плоскость основания $ABC$ - это отрезок $M'K$. $MM'$ - высота призмы, равная $1$.В прямоугольном треугольнике $M'BC$ (с прямым углом при $M'$), высота $M'K$ к гипотенузе $BC$ может быть найдена из формулы площади: $S_{M'BC} = \frac{1}{2} \cdot M'B \cdot M'C$.$S_{M'BC} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{8}$.Также, площадь треугольника $M'BC$ можно выразить как $S_{M'BC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot M'K$.Следовательно, $\frac{\sqrt{3}}{8} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot M'K$.Отсюда $M'K = \frac{\sqrt{3}}{4}$.Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $MM'K$. Угол при вершине $M'$ прямой. По теореме Пифагора:

$MK^2 = MM'^2 + M'K^2$

$MK^2 = 1^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)^2 = 1 + \frac{3}{16} = \frac{16+3}{16} = \frac{19}{16}$

$MK = \sqrt{\frac{19}{16}} = \frac{\sqrt{19}}{4}$.

Площадь сечения $S_{BMC}$:

$S_{BMC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot MK = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{19}}{4} = \frac{\sqrt{19}}{8}$.

Ответ:

Площадь сечения составляет $\frac{\sqrt{19}}{8}$.