Номер 92, страница 178 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

92. Изобразите сечение правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$, все ребра которой равны $1$, проходящее через вершину $B$, середину ребра $SD$ и параллельное прямой $AC$. Найдите его площадь.

Дано:
Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$.
Все ребра равны 1: $AB=BC=CD=DA=SA=SB=SC=SD=1$.

Найти:
Площадь сечения, проходящего через вершину $B$, середину ребра $SD$ и параллельного прямой $AC$.

Решение:

Изобразите сечение
Для построения и описания сечения введем систему координат. Пусть вершина $D$ имеет координаты $(0,0,0)$. Ребра основания $DC$ и $DA$ лежат на осях $x$ и $y$ соответственно. Тогда координаты вершин основания: $D(0,0,0)$, $C(1,0,0)$, $B(1,1,0)$, $A(0,1,0)$.
Центр основания $O$ имеет координаты $(0.5, 0.5, 0)$.
Высота пирамиды $SO = h$. В правильной пирамиде $SO$ перпендикулярна основанию, а $O$ является центром основания. Длина диагонали основания $AC = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$. Длина отрезка $OC = \frac{1}{2}AC = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Из прямоугольного треугольника $SOC$: $SC^2 = SO^2 + OC^2$. Подставляя известные значения, $1^2 = h^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 \implies 1 = h^2 + \frac{1}{2} \implies h^2 = \frac{1}{2} \implies h = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Таким образом, координаты вершины $S$: $(0.5, 0.5, \frac{\sqrt{2}}{2})$.
Сечение проходит через вершину $B(1,1,0)$ и середину ребра $SD$. Обозначим середину ребра $SD$ как точку $M$.
Координаты $M = (\frac{D_x+S_x}{2}, \frac{D_y+S_y}{2}, \frac{D_z+S_z}{2}) = (\frac{0+0.5}{2}, \frac{0+0.5}{2}, \frac{0+\sqrt{2}/2}{2}) = (\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4})$.
Плоскость сечения $\alpha$ параллельна прямой $AC$. Вектор $\vec{AC} = C-A = (1,-1,0)$.
Так как плоскость $\alpha$ содержит точку $B$ и параллельна $AC$, а также содержит точку $M$ (середину $SD$), то можно найти другие точки сечения, используя свойство параллельности. Если плоскость параллельна прямой, то линии пересечения этой плоскости с любыми другими плоскостями, содержащими данную прямую, будут параллельны этой прямой.
Поскольку $AC$ лежит в плоскости основания $ABCD$, а сечение проходит через $B$, то пересечение сечения с плоскостью основания является линией, проходящей через $B$ параллельно $AC$. Однако, в контексте сечений пирамиды, это означает, что плоскость сечения "обрезает" грани. Воспользуемся аналитической геометрией для точного определения плоскости и точек пересечения:
Нормальный вектор $\vec{n} = (n_x, n_y, n_z)$ плоскости $\alpha$ ортогонален вектору $\vec{AC}$, поэтому $\vec{n} \cdot \vec{AC} = 0 \implies (n_x, n_y, n_z) \cdot (1,-1,0) = 0 \implies n_x - n_y = 0 \implies n_x = n_y$.
Уравнение плоскости: $n_x x + n_x y + n_z z + D' = 0$.
Плоскость содержит $B(1,1,0)$: $n_x(1) + n_x(1) + n_z(0) + D' = 0 \implies 2n_x + D' = 0 \implies D' = -2n_x$.
Уравнение плоскости: $n_x x + n_x y + n_z z - 2n_x = 0$.
Плоскость содержит $M(\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4})$: $n_x(\frac{1}{4}) + n_x(\frac{1}{4}) + n_z(\frac{\sqrt{2}}{4}) - 2n_x = 0 \implies \frac{n_x}{2} + \frac{n_z\sqrt{2}}{4} - 2n_x = 0$.
Умножим на 4: $2n_x + n_z\sqrt{2} - 8n_x = 0 \implies n_z\sqrt{2} = 6n_x$.
Примем $n_x = 1$. Тогда $n_z = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$.
Нормальный вектор $\vec{n} = (1, 1, 3\sqrt{2})$. Уравнение плоскости сечения: $x + y + 3\sqrt{2}z - 2 = 0$.
Найдем остальные точки пересечения этой плоскости с ребрами пирамиды:
- Ребро $SC$: Параметрическое уравнение прямой $SC$, проходящей через $S(0.5, 0.5, \frac{\sqrt{2}}{2})$ и $C(1,0,0)$: $P(t) = (1-t)C + tS = (1-t)(1,0,0) + t(0.5,0.5,\frac{\sqrt{2}}{2})$ для $t \in [0,1]$. $x=1-0.5t$, $y=0.5t$, $z=\frac{\sqrt{2}}{2}t$.
Подставим в уравнение плоскости: $(1-0.5t) + 0.5t + 3\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}t) - 2 = 0 \implies 1+3t-2 = 0 \implies 3t=1 \implies t=\frac{1}{3}$.
Точка $N$ на ребре $SC$ имеет координаты: $N = (1-\frac{0.5}{3}, \frac{0.5}{3}, \frac{\sqrt{2}}{6}) = (\frac{5}{6}, \frac{1}{6}, \frac{\sqrt{2}}{6})$. - Ребро $SA$: Параметрическое уравнение прямой $SA$, проходящей через $S(0.5, 0.5, \frac{\sqrt{2}}{2})$ и $A(0,1,0)$: $P(t) = (1-t)A + tS = (1-t)(0,1,0) + t(0.5,0.5,\frac{\sqrt{2}}{2})$ для $t \in [0,1]$. $x=0.5t$, $y=1-0.5t$, $z=\frac{\sqrt{2}}{2}t$.
Подставим в уравнение плоскости: $0.5t + (1-0.5t) + 3\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}t) - 2 = 0 \implies 1+3t-2 = 0 \implies 3t=1 \implies t=\frac{1}{3}$.
Точка $P$ на ребре $SA$ имеет координаты: $P = (\frac{0.5}{3}, 1-\frac{0.5}{3}, \frac{\sqrt{2}}{6}) = (\frac{1}{6}, \frac{5}{6}, \frac{\sqrt{2}}{6})$.
Таким образом, сечение является четырехугольником $BPNM$.

Ответ: Сечение является четырехугольником $BPNM$, где $B$ - вершина основания, $M$ - середина ребра $SD$, $P$ - точка на $SA$ такая, что $AP:PS=1:2$, и $N$ - точка на $SC$ такая, что $CN:NS=1:2$.

Найдите его площадь
Площадь четырехугольника в пространстве можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} |\vec{d_1} \times \vec{d_2}|$, где $\vec{d_1}$ и $\vec{d_2}$ - векторы, соответствующие его диагоналям. Выберем диагонали $BN$ и $PM$.
Координаты вершин сечения: $B(1,1,0)$, $P(\frac{1}{6}, \frac{5}{6}, \frac{\sqrt{2}}{6})$, $N(\frac{5}{6}, \frac{1}{6}, \frac{\sqrt{2}}{6})$, $M(\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4})$.
Вектор $\vec{BN} = N-B = (\frac{5}{6}-1, \frac{1}{6}-1, \frac{\sqrt{2}}{6}-0) = (-\frac{1}{6}, -\frac{5}{6}, \frac{\sqrt{2}}{6})$.
Вектор $\vec{PM} = M-P = (\frac{1}{4}-\frac{1}{6}, \frac{1}{4}-\frac{5}{6}, \frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{6})$.
Преобразуем компоненты $\vec{PM}$ к общему знаменателю 12: $(\frac{3-2}{12}, \frac{3-10}{12}, \frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{2}}{12}) = (\frac{1}{12}, -\frac{7}{12}, \frac{\sqrt{2}}{12})$.
Найдем векторное произведение $\vec{BN} \times \vec{PM}$: $\vec{BN} \times \vec{PM} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -\frac{1}{6} & -\frac{5}{6} & \frac{\sqrt{2}}{6} \\ \frac{1}{12} & -\frac{7}{12} & \frac{\sqrt{2}}{12} \end{vmatrix}$
$= \mathbf{i} \left( (-\frac{5}{6})(\frac{\sqrt{2}}{12}) - (\frac{\sqrt{2}}{6})(-\frac{7}{12}) \right) - \mathbf{j} \left( (-\frac{1}{6})(\frac{\sqrt{2}}{12}) - (\frac{\sqrt{2}}{6})(\frac{1}{12}) \right) + \mathbf{k} \left( (-\frac{1}{6})(-\frac{7}{12}) - (-\frac{5}{6})(\frac{1}{12}) \right)$
$= \mathbf{i} \left( -\frac{5\sqrt{2}}{72} + \frac{7\sqrt{2}}{72} \right) - \mathbf{j} \left( -\frac{\sqrt{2}}{72} - \frac{\sqrt{2}}{72} \right) + \mathbf{k} \left( \frac{7}{72} + \frac{5}{72} \right)$
$= \mathbf{i} \left( \frac{2\sqrt{2}}{72} \right) - \mathbf{j} \left( -\frac{2\sqrt{2}}{72} \right) + \mathbf{k} \left( \frac{12}{72} \right)$
$= (\frac{\sqrt{2}}{36}, \frac{\sqrt{2}}{36}, \frac{1}{6})$.
Модуль векторного произведения: $|\vec{BN} \times \vec{PM}| = \sqrt{(\frac{\sqrt{2}}{36})^2 + (\frac{\sqrt{2}}{36})^2 + (\frac{1}{6})^2}$
$= \sqrt{\frac{2}{1296} + \frac{2}{1296} + \frac{1}{36}} = \sqrt{\frac{4}{1296} + \frac{36}{1296}} = \sqrt{\frac{40}{1296}} = \frac{\sqrt{40}}{\sqrt{1296}} = \frac{2\sqrt{10}}{36} = \frac{\sqrt{10}}{18}$.
Площадь сечения $S = \frac{1}{2} |\vec{BN} \times \vec{PM}| = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{18} = \frac{\sqrt{10}}{36}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{10}}{36}$.