Номер 99, страница 178 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

99. Изобразите сечение правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины $B_1$, $C_1$ и середину ребра $AB$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Длина всех рёбер: $a = 1$.

Сечение проходит через вершины $B_1$, $C_1$ и середину ребра $AB$ (обозначим её $M$).

Перевод данных в СИ:

Все ребра призмы $a = 1$ (безразмерная величина, или условная единица длины).

Найти:

Изобразить сечение (описать его геометрию).

Площадь сечения $S_{MB_1C_1}$.

Решение:

Изобразите сечение:

Сечение проходит через три точки: $B_1$, $C_1$ и $M$ (середина $AB$). Так как эти три точки не лежат на одной прямой, они определяют плоскость. Следовательно, искомое сечение является треугольником $MB_1C_1$.

Для построения такого сечения необходимо соединить точки $M$ и $B_1$, $M$ и $C_1$, а также $B_1$ и $C_1$. Отрезок $B_1C_1$ является ребром верхнего основания призмы. Отрезки $MB_1$ и $MC_1$ являются диагоналями боковых граней или частей этих граней.

Найдите его площадь:

Для вычисления площади треугольника $MB_1C_1$ воспользуемся методом координат.

Разместим призму в декартовой системе координат следующим образом:

Пусть вершина $A$ находится в начале координат: $A=(0,0,0)$.

Поскольку все ребра призмы равны 1, основание $ABC$ является правильным треугольником со стороной 1, а высота призмы также равна 1.

Координаты вершин нижнего основания $ABC$:

$A = (0,0,0)$

Положительную ось $Ox$ направим вдоль ребра $AB$. Тогда $B = (1,0,0)$.

Вершина $C$ будет иметь координаты $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, так как высота правильного треугольника со стороной $a=1$ равна $h = a \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Координаты вершин верхнего основания $A_1B_1C_1$ получаются сдвигом соответствующих вершин нижнего основания на 1 единицу по оси $Oz$ (высота призмы):

$A_1 = (0,0,1)$

$B_1 = (1,0,1)$

$C_1 = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Точка $M$ - это середина ребра $AB$. Её координаты: $M = \left(\frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, 0, 0\right)$.

Теперь у нас есть координаты всех вершин сечения - треугольника $MB_1C_1$:

$M\left(\frac{1}{2}, 0, 0\right)$

$B_1(1, 0, 1)$

$C_1\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1\right)$

Для вычисления площади треугольника по координатам его вершин удобно использовать векторное произведение двух сторон, исходящих из одной вершины. Выберем вершину $M$ и найдем векторы $\vec{MB_1}$ и $\vec{MC_1}$:

$\vec{MB_1} = B_1 - M = \left(1 - \frac{1}{2}, 0 - 0, 1 - 0\right) = \left(\frac{1}{2}, 0, 1\right)$

$\vec{MC_1} = C_1 - M = \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 1 - 0\right) = \left(0, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1\right)$

Площадь треугольника $MB_1C_1$ равна половине модуля векторного произведения этих векторов: $S_{MB_1C_1} = \frac{1}{2} |\vec{MB_1} \times \vec{MC_1}|$.

Вычислим векторное произведение:

$\vec{MB_1} \times \vec{MC_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{1}{2} & 0 & 1 \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \end{vmatrix}$

$= \mathbf{i}\left(0 \cdot 1 - 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \mathbf{j}\left(\frac{1}{2} \cdot 1 - 1 \cdot 0\right) + \mathbf{k}\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 0 \cdot 0\right)$

$= -\frac{\sqrt{3}}{2}\mathbf{i} - \frac{1}{2}\mathbf{j} + \frac{\sqrt{3}}{4}\mathbf{k}$

Модуль векторного произведения:

$|\vec{MB_1} \times \vec{MC_1}| = \sqrt{\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)^2}$

$= \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4} + \frac{3}{16}}$

$= \sqrt{1 + \frac{3}{16}}$

$= \sqrt{\frac{16}{16} + \frac{3}{16}} = \sqrt{\frac{19}{16}} = \frac{\sqrt{19}}{4}$

Наконец, вычислим площадь сечения:

$S_{MB_1C_1} = \frac{1}{2} \cdot |\vec{MB_1} \times \vec{MC_1}| = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{19}}{4} = \frac{\sqrt{19}}{8}$

Ответ: $\frac{\sqrt{19}}{8}$