Номер 104, страница 179 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

104. Изобразите сечение правильной треугольной призмы $ABC A_1 B_1 C_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через середины ребер $AB, BC$ и $CC_1$. Найдите его площадь.

Дано

Правильная треугольная призма $ABC A_1 B_1 C_1$.

Все ребра призмы равны $1$.

Сечение проходит через середины ребер $AB$, $BC$ и $CC_1$.

Найти

1. Изобразить сечение.

2. Найти площадь сечения.

Решение

Изображение сечения:

Обозначим середины ребер $AB$, $BC$ и $CC_1$ как $M$, $N$ и $P$ соответственно.

1. Соединим точки $M$ и $N$. Отрезок $MN$ лежит в плоскости основания $ABC$. Так как $M$ и $N$ - середины сторон $AB$ и $BC$ равностороннего треугольника $ABC$, $MN$ является его средней линией. Следовательно, $MN \parallel AC$ и длина $MN = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

2. Соединим точки $N$ и $P$. Отрезок $NP$ лежит в боковой грани $BCC_1B_1$.

3. Поскольку сечение проходит через $M$ и $N$, и $MN \parallel AC$, плоскость сечения $MNP$ будет параллельна прямой $AC$. Это означает, что сечение пересечет грань $AA_1C_1C$ по отрезку $PQ$, который параллелен $AC$ и проходит через $P$. Так как $P$ является серединой ребра $CC_1$, а $AC \parallel PQ$, то $Q$ должна быть серединой ребра $AA_1$.

4. Соединим точки $Q$ и $M$. Отрезок $QM$ лежит в боковой грани $AA_1B_1B$.

Таким образом, сечение представляет собой четырехугольник $MNPQ$.

Ответ: Сечение представляет собой четырехугольник $MNPQ$, где $M$ - середина $AB$, $N$ - середина $BC$, $P$ - середина $CC_1$, и $Q$ - середина $AA_1$.

Площадь сечения:

Для вычисления площади сечения $MNPQ$, определим его стороны и тип фигуры:

1. Длина основания $MN = \frac{1}{2}$ (как средняя линия $\triangle ABC$).

2. Длина основания $PQ$: Так как $Q$ - середина $AA_1$ и $P$ - середина $CC_1$, а $AA_1C_1C$ - прямоугольник (боковая грань призмы), то $PQ$ является отрезком, соединяющим середины его боковых сторон. $PQ \parallel AC$ и $PQ = AC = 1$.

3. Длина боковой стороны $NP$: Точка $N$ - середина $BC$, $P$ - середина $CC_1$. В прямоугольной грани $BCC_1B_1$ ($BC=1, CC_1=1$), отрезок $NP$ является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами $NC = \frac{1}{2}$ и $CP = \frac{1}{2}$. По теореме Пифагора: $NP = \sqrt{NC^2 + CP^2} = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

4. Длина боковой стороны $QM$: Аналогично $NP$, $Q$ - середина $AA_1$, $M$ - середина $AB$. $QM = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Поскольку $MN \parallel PQ$ и $NP = QM$, сечение $MNPQ$ является равнобокой трапецией с основаниями $a_1 = MN = \frac{1}{2}$ и $a_2 = PQ = 1$, и боковыми сторонами $b = NP = QM = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Найдем высоту $h$ этой трапеции. Опустим перпендикуляр из вершины $M$ на основание $PQ$. Пусть основание перпендикуляра будет $K$. В равнобокой трапеции отрезок, отсекаемый высотой на большем основании, равен $PK = \frac{PQ - MN}{2} = \frac{1 - \frac{1}{2}}{2} = \frac{\frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{4}$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной $QM$ (или $NP$), высотой $h$, и отрезком $PK = \frac{1}{4}$.

По теореме Пифагора: $h^2 + PK^2 = NP^2$

$h^2 + \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2$

$h^2 + \frac{1}{16} = \frac{2}{4}$

$h^2 + \frac{1}{16} = \frac{1}{2}$

$h^2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{16}$

$h^2 = \frac{8}{16} - \frac{1}{16}$

$h^2 = \frac{7}{16}$

$h = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$.

Площадь трапеции $S = \frac{a_1 + a_2}{2} \cdot h$.

$S_{MNPQ} = \frac{\frac{1}{2} + 1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{4}$

$S_{MNPQ} = \frac{\frac{3}{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{4}$

$S_{MNPQ} = \frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{7}}{4}$

$S_{MNPQ} = \frac{3\sqrt{7}}{16}$.

Ответ: Площадь сечения составляет $\frac{3\sqrt{7}}{16}$.