Номер 105, страница 179 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

105. Изобразите сечение правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через середины ребер $AB$, $AC$ и $BB_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.
Длина всех ребер $a = 1$.
Сечение проходит через середины ребер $AB$, $AC$ и $BB_1$.

Перевод в систему СИ:

Длина всех ребер $a = 1 \text{ м}$.

Найти:

Площадь сечения.

Решение

Изобразить сечение

Пусть $K$ — середина ребра $AB$, $L$ — середина ребра $AC$, $M$ — середина ребра $BB_1$.

Отрезок $KL$ лежит в плоскости основания $ABC$. Так как $K$ и $L$ — середины сторон $AB$ и $AC$ соответственно, то по свойству средней линии треугольника $KL \parallel BC$ и $KL = \frac{1}{2} BC$. Поскольку длина всех ребер призмы равна $1$, то $BC = 1 \text{ м}$, следовательно, $KL = \frac{1}{2} \text{ м}$.

Плоскость сечения проходит через точку $M$ и содержит отрезок $KL$. Так как $KL \parallel BC$, а ребра $BB_1$ и $CC_1$ параллельны друг другу и перпендикулярны основаниям, то плоскость сечения, проходящая через $M$ и $KL$, пересечет грань $BCC_1B_1$ по отрезку $MN$, параллельному $BC$.

Так как $M$ — середина ребра $BB_1$, и $MN \parallel BC$, то $N$ должен быть серединой ребра $CC_1$.

Сечением является четырехугольник $KLNM$.

Определим тип четырехугольника $KLNM$.

Длина основания $KL = \frac{1}{2} \text{ м}$.

Отрезок $MN$ соединяет середины параллельных ребер $BB_1$ и $CC_1$ боковой грани $BCC_1B_1$. Поскольку $BCC_1B_1$ является прямоугольником (боковые грани правильной призмы), то $MN = BC = 1 \text{ м}$.

Так как $KL \parallel BC$ и $MN \parallel BC$, то $KL \parallel MN$.

Поскольку $KL \neq MN$, четырехугольник $KLNM$ является трапецией.

Найдем длины боковых сторон трапеции $KM$ и $LN$.

$K$ — середина $AB$, поэтому $KB = AB/2 = 1/2 \text{ м}$.

$M$ — середина $BB_1$, поэтому $BM = BB_1/2 = 1/2 \text{ м}$.

В прямоугольном треугольнике $KBM$ (так как ребро $BB_1$ перпендикулярно основанию $ABC$, а значит, и отрезку $AB$) по теореме Пифагора:$KM = \sqrt{KB^2 + BM^2} = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \text{ м}$.

Аналогично, $L$ — середина $AC$, поэтому $LC = AC/2 = 1/2 \text{ м}$.

$N$ — середина $CC_1$, поэтому $CN = CC_1/2 = 1/2 \text{ м}$.

В прямоугольном треугольнике $LCN$ (так как ребро $CC_1$ перпендикулярно основанию $ABC$, а значит, и отрезку $AC$) по теореме Пифагора:$LN = \sqrt{LC^2 + CN^2} = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \text{ м}$.

Поскольку $KM = LN = \frac{\sqrt{2}}{2}$, трапеция $KLNM$ является равнобедренной.

Ответ: Сечение представляет собой равнобедренную трапецию.

Найти его площадь

Для нахождения площади равнобедренной трапеции $KLNM$ используем формулу $S = \frac{a+b}{2}h$, где $a$ и $b$ — длины оснований, $h$ — высота трапеции.

Основания трапеции: $a = KL = \frac{1}{2} \text{ м}$, $b = MN = 1 \text{ м}$.

Высоту $h$ найдем, опустив перпендикуляры из вершин $K$ и $L$ на большее основание $MN$. Пусть точки пересечения будут $K'$ и $L'$.

Длина отрезка $MK' = \frac{MN - KL}{2} = \frac{1 - 1/2}{2} = \frac{1/2}{2} = \frac{1}{4} \text{ м}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной $KM$, ее проекцией $MK'$ на основание $MN$ и высотой $h$. По теореме Пифагора:$h^2 = KM^2 - (MK')^2$$h^2 = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{4}\right)^2$$h^2 = \frac{2}{4} - \frac{1}{16}$$h^2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{16}$$h^2 = \frac{8}{16} - \frac{1}{16}$$h^2 = \frac{7}{16}$$h = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4} \text{ м}$.

Теперь вычислим площадь трапеции:$S = \frac{KL + MN}{2} \cdot h$$S = \frac{\frac{1}{2} + 1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{4}$$S = \frac{\frac{3}{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{4}$$S = \frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{7}}{4}$$S = \frac{3\sqrt{7}}{16} \text{ м}^2$.

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{3\sqrt{7}}{16}$.