Страница 179 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

101. Изобразите сечение правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через середины ребер $AA_1$, $CC_1$ и $A_1B_1$. Найдите его площадь.

102. Изобразите сечение правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Все ребра призмы равны $1$.

Сечение проходит через середины ребер $AA_1$, $CC_1$ и $A_1B_1$.

Данные представлены в безразмерных единицах, поэтому перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

1. Изобразить (описать) сечение.

2. Площадь сечения.

Решение:

Изобразите сечение:

Пусть $M$ - середина ребра $AA_1$, $N$ - середина ребра $CC_1$, $K$ - середина ребра $A_1B_1$. Эти три точки определяют плоскость сечения.
1. Соединим точки $M$ и $N$. Они лежат в боковой грани $AA_1C_1C$. Так как $M$ и $N$ являются серединами параллельных ребер $AA_1$ и $CC_1$, то отрезок $MN$ параллелен $AC$ и $A_1C_1$. Длина отрезка $MN$ равна длине ребра основания, то есть $MN = 1$.
2. Плоскость сечения содержит прямую $MN$. Поскольку $MN \parallel A_1C_1$, а ребро $A_1C_1$ лежит в плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1$, то линия пересечения секущей плоскости с плоскостью верхнего основания $A_1B_1C_1$ должна быть параллельна $A_1C_1$. Эта линия проходит через точку $K$ (середину $A_1B_1$).
3. Проведем через точку $K$ в плоскости $A_1B_1C_1$ прямую, параллельную $A_1C_1$. Эта прямая пересечет ребро $B_1C_1$ в некоторой точке $L$. Поскольку $K$ - середина $A_1B_1$ и $KL \parallel A_1C_1$, то по теореме Фалеса (или свойству средней линии треугольника) $L$ должна быть серединой ребра $B_1C_1$. Длина отрезка $KL$ равна половине длины $A_1C_1$, то есть $KL = 1/2$.
4. Таким образом, сечение является четырехугольником $MNLK$. Его вершины: $M$ - середина $AA_1$, $N$ - середина $CC_1$, $K$ - середина $A_1B_1$, $L$ - середина $B_1C_1$.
5. Из построения следует, что $MN \parallel A_1C_1$ и $KL \parallel A_1C_1$, значит $MN \parallel KL$. Следовательно, четырехугольник $MNLK$ является трапецией с основаниями $MN$ и $KL$.
Найдем длины боковых сторон трапеции $MK$ и $NL$.
Для $MK$: рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный отрезком $MK$, проекцией $MK$ на плоскость основания и перпендикуляром.
Введем систему координат. Пусть $A=(0,0,0)$. Тогда $A_1=(0,0,1)$. Поскольку призма правильная, основание $ABC$ - равносторонний треугольник со стороной 1.
Координаты вершин:
$A=(0,0,0)$, $A_1=(0,0,1)$
$B=(1,0,0)$, $B_1=(1,0,1)$
$C=(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$, $C_1=(1/2, \sqrt{3}/2, 1)$
Координаты середин ребер:
$M = (0,0,1/2)$ (середина $AA_1$)
$N = (1/2, \sqrt{3}/2, 1/2)$ (середина $CC_1$)
$K = ( (0+1)/2, (0+0)/2, (1+1)/2 ) = (1/2, 0, 1)$ (середина $A_1B_1$)
$L = ( (1+1/2)/2, (0+\sqrt{3}/2)/2, (1+1)/2 ) = (3/4, \sqrt{3}/4, 1)$ (середина $B_1C_1$)
Длины сторон:
$MN = \sqrt{(1/2-0)^2 + (\sqrt{3}/2-0)^2 + (1/2-1/2)^2} = \sqrt{1/4 + 3/4 + 0} = \sqrt{1} = 1$. (Основание трапеции)
$KL = \sqrt{(3/4-1/2)^2 + (\sqrt{3}/4-0)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{(1/4)^2 + (\sqrt{3}/4)^2 + 0} = \sqrt{1/16 + 3/16} = \sqrt{4/16} = \sqrt{1/4} = 1/2$. (Основание трапеции)
$MK = \sqrt{(1/2-0)^2 + (0-0)^2 + (1-1/2)^2} = \sqrt{(1/2)^2 + 0 + (1/2)^2} = \sqrt{1/4 + 1/4} = \sqrt{1/2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. (Боковая сторона)
$NL = \sqrt{(3/4-1/2)^2 + (\sqrt{3}/4-\sqrt{3}/2)^2 + (1-1/2)^2} = \sqrt{(1/4)^2 + (-\sqrt{3}/4)^2 + (1/2)^2} = \sqrt{1/16 + 3/16 + 1/4} = \sqrt{4/16 + 1/4} = \sqrt{1/4 + 1/4} = \sqrt{1/2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. (Боковая сторона)
Так как $MK = NL$, трапеция $MNLK$ является равнобедренной.
Сечение представляет собой равнобедренную трапецию $MNLK$, где $M$ - середина $AA_1$, $N$ - середина $CC_1$, $K$ - середина $A_1B_1$, $L$ - середина $B_1C_1$. Основания трапеции $MN=1$ и $KL=1/2$, боковые стороны $MK=NL=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Найдите его площадь:

Площадь трапеции $S = \frac{a+b}{2}h$, где $a$ и $b$ - длины оснований, $h$ - высота трапеции.
Основания трапеции: $a = MN = 1$, $b = KL = 1/2$.
Боковые стороны: $c = MK = NL = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Для нахождения высоты $h$ равнобедренной трапеции опустим перпендикуляры из вершин меньшего основания на большее основание. Длина проекции боковой стороны на большее основание равна $x = \frac{a-b}{2}$.
$x = \frac{1 - 1/2}{2} = \frac{1/2}{2} = 1/4$.
По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного боковой стороной, высотой и отрезком $x$:
$h^2 + x^2 = c^2$
$h^2 + (1/4)^2 = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2$
$h^2 + 1/16 = 2/4 = 1/2$
$h^2 = 1/2 - 1/16 = 8/16 - 1/16 = 7/16$
$h = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$.
Площадь сечения:
$S = \frac{1 + 1/2}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{4} = \frac{3/2}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{4} = \frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{7}}{4} = \frac{3\sqrt{7}}{16}$.

Ответ: Площадь сечения равна $S = \frac{3\sqrt{7}}{16}$.

102. Изобразите сечение правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через середины ребер $BB_1$, $CC_1$ и $A_1B_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Длина всех ребер $a = 1$.

Сечение проходит через середины ребер $BB_1$, $CC_1$ и $A_1B_1$. Пусть $M$ – середина $BB_1$, $N$ – середина $CC_1$, $P$ – середина $A_1B_1$.

Перевод в СИ:

Все длины заданы безразмерными величинами (равны 1). Перевод в систему СИ не требуется, так как отсутствуют конкретные единицы измерения.

Найти:

Площадь сечения $S_{PMNQ}$.

Решение:

Для построения сечения отметим заданные точки $M, N, P$.

1. Точки $M$ (середина $BB_1$) и $N$ (середина $CC_1$) лежат в грани $BCC_1B_1$. Отрезок $MN$ является одной из сторон сечения. Поскольку $BB_1$ и $CC_1$ являются параллельными и равными ребрами призмы, а $M$ и $N$ — их середины, то отрезок $MN$ параллелен $BC$ и $B_1C_1$. Длина $MN = BC = 1$.

2. Точка $P$ (середина $A_1B_1$) и точка $M$ (середина $BB_1$) лежат в грани $ABB_1A_1$. Отрезок $PM$ является стороной сечения. Грань $ABB_1A_1$ является квадратом со стороной $a=1$. $PM$ является средней линией треугольника $A_1BB_1$. Длина диагонали $A_1B$ в квадрате $ABB_1A_1$ вычисляется по теореме Пифагора: $A_1B = \sqrt{AB^2 + BB_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. Следовательно, длина $PM = \frac{1}{2} A_1B = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

3. Поскольку отрезок $MN$ параллелен ребру $B_1C_1$, то плоскость сечения $PMN$ параллельна этому ребру. Если плоскость параллельна прямой, то линия пересечения этой плоскости с любой плоскостью, проходящей через эту прямую (например, с плоскостью верхней грани $A_1B_1C_1$), будет параллельна этой прямой. Таким образом, линия пересечения плоскости сечения с верхней гранью $A_1B_1C_1$ должна быть параллельна $B_1C_1$. Поскольку точка $P$ лежит на ребре $A_1B_1$, эта линия должна проходить через $P$ и быть параллельной $B_1C_1$. Назовем вторую точку этой линии $Q$. Точка $Q$ должна лежать на ребре $A_1C_1$. В треугольнике $A_1B_1C_1$ (который является равносторонним, так как призма правильная, и $A_1B_1=B_1C_1=A_1C_1=1$), если $P$ – середина $A_1B_1$ и $PQ \parallel B_1C_1$, то $Q$ обязательно является серединой $A_1C_1$. Таким образом, $Q$ – четвертая вершина сечения.

4. Отрезок $PQ$ является средней линией треугольника $A_1B_1C_1$. Длина $PQ = \frac{1}{2} B_1C_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

5. Отрезок $QN$ является стороной сечения. Точка $Q$ (середина $A_1C_1$) и точка $N$ (середина $CC_1$) лежат в грани $ACC_1A_1$. $QN$ является средней линией треугольника $A_1CC_1$. Грань $ACC_1A_1$ является квадратом со стороной $a=1$. Длина диагонали $A_1C$ в квадрате $ACC_1A_1$ вычисляется по теореме Пифагора: $A_1C = \sqrt{AC^2 + CC_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. Следовательно, длина $QN = \frac{1}{2} A_1C = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Таким образом, сечение представляет собой четырехугольник $PMNQ$ со сторонами $MN=1$, $PQ=\frac{1}{2}$, $PM=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $QN=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Поскольку $MN \parallel PQ$ (обе параллельны $B_1C_1$) и $PM=QN$, сечение является равнобедренной трапецией.

Для вычисления площади равнобедренной трапеции $S_{PMNQ}$ используем формулу $S = \frac{1}{2}(a+b)h$, где $a$ и $b$ – длины оснований, $h$ – высота.

Основания трапеции: $MN = 1$ и $PQ = \frac{1}{2}$.

Найдем высоту $h$. Опустим перпендикуляры из точек $P$ и $Q$ на основание $MN$. Пусть их основания будут $P'$ и $Q'$ соответственно. В равнобедренной трапеции отрезки $MP'$ и $Q'N$ равны:

$MP' = \frac{MN - PQ}{2} = \frac{1 - \frac{1}{2}}{2} = \frac{\frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{4}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $PMP'$. Гипотенуза $PM = \frac{\sqrt{2}}{2}$, катет $MP' = \frac{1}{4}$. Высота $h = PP'$.

По теореме Пифагора:

$h^2 = PM^2 - MP'^2$

$h^2 = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{4}\right)^2$

$h^2 = \frac{2}{4} - \frac{1}{16}$

$h^2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{16}$

$h^2 = \frac{8}{16} - \frac{1}{16} = \frac{7}{16}$

$h = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$.

Теперь вычислим площадь трапеции:

$S_{PMNQ} = \frac{1}{2} (MN + PQ) \cdot h$

$S_{PMNQ} = \frac{1}{2} \left(1 + \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{\sqrt{7}}{4}$

$S_{PMNQ} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{4}$

$S_{PMNQ} = \frac{3\sqrt{7}}{16}$.

Ответ:

Площадь сечения составляет $\frac{3\sqrt{7}}{16}$.

103. Изобразите сечение правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через середины ребер $AC$, $BC$ и $AA_1$. Найдите его площадь.

Дано

Правильная треугольная призма $ABC A_1 B_1 C_1$.

Все ребра равны $a = 1$.

Сечение проходит через середины ребер $AC$, $BC$ и $AA_1$.

Данные в системе СИ: $a = 1$ (единица длины).

Найти:

1. Описать сечение.

2. Площадь сечения.

Решение

Изобразите сечение

Пусть $M$ - середина ребра $AC$, $N$ - середина ребра $BC$, $P$ - середина ребра $AA_1$.

Точки $M$ и $N$ лежат в основании $ABC$. Отрезок $MN$ соединяет середины сторон $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$. Следовательно, $MN$ является средней линией треугольника $ABC$.

По свойству средней линии треугольника, $MN \parallel AB$ и $MN = \frac{1}{2}AB$. Так как все ребра призмы равны $1$, то $AB = 1$. Значит, $MN = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

Секущая плоскость проходит через точки $P$, $M$, $N$. Поскольку $MN \parallel AB$, и точка $P$ лежит на ребре $AA_1$, которое параллельно ребру $BB_1$, то секущая плоскость пересечет боковую грань $AA_1B_1B$ по отрезку, параллельному $MN$ (и, следовательно, параллельному $AB$). Пусть этот отрезок соединяет точку $P$ с точкой $Q$ на ребре $BB_1$.

Рассмотрим прямоугольник $AA_1B_1B$. Точка $P$ - середина $AA_1$. Так как $PQ \parallel AB$, то $PQ$ является средней линией прямоугольника $AA_1B_1B$ по высоте, проходящей через середины $AA_1$ и $BB_1$. Отсюда следует, что точка $Q$ - это середина ребра $BB_1$. Длина отрезка $PQ = AB = 1$.

Таким образом, сечение представляет собой четырехугольник $PMNQ$. Поскольку $MN \parallel AB$ и $PQ \parallel AB$, то $MN \parallel PQ$. Следовательно, четырехугольник $PMNQ$ является трапецией с основаниями $MN$ и $PQ$.

Найдем длины боковых сторон трапеции $PM$ и $QN$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AA_1C$. В нем $AC = 1$ и $AA_1 = 1$. Точка $P$ - середина $AA_1$, значит $AP = AA_1/2 = 1/2$. Точка $M$ - середина $AC$, значит $AM = AC/2 = 1/2$. Угол $\angle A$ в основании $ABC$ равен $60^\circ$. Однако, для вычисления длины $PM$, мы должны использовать проекции или координаты.

Рассмотрим координаты вершин призмы (для удобства вычислений):

$A = (0,0,0)$, $B = (1,0,0)$, $C = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

$A_1 = (0,0,1)$, $B_1 = (1,0,1)$, $C_1 = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$.

Точки сечения:

$M = (\frac{0+1/2}{2}, \frac{0+\sqrt{3}/2}{2}, \frac{0+0}{2}) = (1/4, \sqrt{3}/4, 0)$.

$N = (\frac{1+1/2}{2}, \frac{0+\sqrt{3}/2}{2}, \frac{0+0}{2}) = (3/4, \sqrt{3}/4, 0)$.

$P = (\frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}) = (0,0,1/2)$.

$Q = (\frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}) = (1,0,1/2)$ (середина $BB_1$).

Длина отрезка $PM$: $PM = \sqrt{(1/4 - 0)^2 + (\sqrt{3}/4 - 0)^2 + (0 - 1/2)^2} = \sqrt{1/16 + 3/16 + 1/4} = \sqrt{4/16 + 4/16} = \sqrt{8/16} = \sqrt{1/2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Длина отрезка $QN$: $QN = \sqrt{(3/4 - 1)^2 + (\sqrt{3}/4 - 0)^2 + (0 - 1/2)^2} = \sqrt{(-1/4)^2 + (\sqrt{3}/4)^2 + (-1/2)^2} = \sqrt{1/16 + 3/16 + 1/4} = \sqrt{4/16 + 4/16} = \sqrt{8/16} = \sqrt{1/2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Так как $PM = QN = \frac{\sqrt{2}}{2}$, трапеция $PMNQ$ является равнобедренной.

Ответ: Сечение представляет собой равнобедренную трапецию $PMNQ$, где $P$ - середина $AA_1$, $M$ - середина $AC$, $N$ - середина $BC$, $Q$ - середина $BB_1$.

Найдите его площадь

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}(b_1 + b_2)h$, где $b_1$ и $b_2$ - длины оснований, а $h$ - высота трапеции.

Основания трапеции: $PQ = 1$ и $MN = 1/2$.

Для нахождения высоты $h$, опустим перпендикуляры из вершин $M$ и $N$ на большее основание $PQ$. Пусть $M_h$ и $N_h$ - основания этих перпендикуляров на $PQ$.

В равнобедренной трапеции $PMNQ$, длина отрезка $PM_h = \frac{PQ - MN}{2} = \frac{1 - 1/2}{2} = \frac{1/2}{2} = 1/4$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной $PM$, ее проекцией $PM_h$ на основание и высотой $h$. По теореме Пифагора:

$h^2 = PM^2 - PM_h^2$

$h^2 = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{4}\right)^2$

$h^2 = \frac{2}{4} - \frac{1}{16}$

$h^2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{16}$

$h^2 = \frac{8}{16} - \frac{1}{16}$

$h^2 = \frac{7}{16}$

$h = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$.

Теперь вычислим площадь трапеции:

$S = \frac{1}{2}(PQ + MN)h = \frac{1}{2}\left(1 + \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{\sqrt{7}}{4}$

$S = \frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}\right) \cdot \frac{\sqrt{7}}{4}$

$S = \frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{7}}{4}$

$S = \frac{3\sqrt{7}}{16}$.

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{3\sqrt{7}}{16}$.

104. Изобразите сечение правильной треугольной призмы $ABC A_1 B_1 C_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через середины ребер $AB, BC$ и $CC_1$. Найдите его площадь.

Дано

Правильная треугольная призма $ABC A_1 B_1 C_1$.

Все ребра призмы равны $1$.

Сечение проходит через середины ребер $AB$, $BC$ и $CC_1$.

Найти

1. Изобразить сечение.

2. Найти площадь сечения.

Решение

Изображение сечения:

Обозначим середины ребер $AB$, $BC$ и $CC_1$ как $M$, $N$ и $P$ соответственно.

1. Соединим точки $M$ и $N$. Отрезок $MN$ лежит в плоскости основания $ABC$. Так как $M$ и $N$ - середины сторон $AB$ и $BC$ равностороннего треугольника $ABC$, $MN$ является его средней линией. Следовательно, $MN \parallel AC$ и длина $MN = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

2. Соединим точки $N$ и $P$. Отрезок $NP$ лежит в боковой грани $BCC_1B_1$.

3. Поскольку сечение проходит через $M$ и $N$, и $MN \parallel AC$, плоскость сечения $MNP$ будет параллельна прямой $AC$. Это означает, что сечение пересечет грань $AA_1C_1C$ по отрезку $PQ$, который параллелен $AC$ и проходит через $P$. Так как $P$ является серединой ребра $CC_1$, а $AC \parallel PQ$, то $Q$ должна быть серединой ребра $AA_1$.

4. Соединим точки $Q$ и $M$. Отрезок $QM$ лежит в боковой грани $AA_1B_1B$.

Таким образом, сечение представляет собой четырехугольник $MNPQ$.

Ответ: Сечение представляет собой четырехугольник $MNPQ$, где $M$ - середина $AB$, $N$ - середина $BC$, $P$ - середина $CC_1$, и $Q$ - середина $AA_1$.

Площадь сечения:

Для вычисления площади сечения $MNPQ$, определим его стороны и тип фигуры:

1. Длина основания $MN = \frac{1}{2}$ (как средняя линия $\triangle ABC$).

2. Длина основания $PQ$: Так как $Q$ - середина $AA_1$ и $P$ - середина $CC_1$, а $AA_1C_1C$ - прямоугольник (боковая грань призмы), то $PQ$ является отрезком, соединяющим середины его боковых сторон. $PQ \parallel AC$ и $PQ = AC = 1$.

3. Длина боковой стороны $NP$: Точка $N$ - середина $BC$, $P$ - середина $CC_1$. В прямоугольной грани $BCC_1B_1$ ($BC=1, CC_1=1$), отрезок $NP$ является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами $NC = \frac{1}{2}$ и $CP = \frac{1}{2}$. По теореме Пифагора: $NP = \sqrt{NC^2 + CP^2} = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

4. Длина боковой стороны $QM$: Аналогично $NP$, $Q$ - середина $AA_1$, $M$ - середина $AB$. $QM = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Поскольку $MN \parallel PQ$ и $NP = QM$, сечение $MNPQ$ является равнобокой трапецией с основаниями $a_1 = MN = \frac{1}{2}$ и $a_2 = PQ = 1$, и боковыми сторонами $b = NP = QM = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Найдем высоту $h$ этой трапеции. Опустим перпендикуляр из вершины $M$ на основание $PQ$. Пусть основание перпендикуляра будет $K$. В равнобокой трапеции отрезок, отсекаемый высотой на большем основании, равен $PK = \frac{PQ - MN}{2} = \frac{1 - \frac{1}{2}}{2} = \frac{\frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{4}$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной $QM$ (или $NP$), высотой $h$, и отрезком $PK = \frac{1}{4}$.

По теореме Пифагора: $h^2 + PK^2 = NP^2$

$h^2 + \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2$

$h^2 + \frac{1}{16} = \frac{2}{4}$

$h^2 + \frac{1}{16} = \frac{1}{2}$

$h^2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{16}$

$h^2 = \frac{8}{16} - \frac{1}{16}$

$h^2 = \frac{7}{16}$

$h = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$.

Площадь трапеции $S = \frac{a_1 + a_2}{2} \cdot h$.

$S_{MNPQ} = \frac{\frac{1}{2} + 1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{4}$

$S_{MNPQ} = \frac{\frac{3}{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{4}$

$S_{MNPQ} = \frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{7}}{4}$

$S_{MNPQ} = \frac{3\sqrt{7}}{16}$.

Ответ: Площадь сечения составляет $\frac{3\sqrt{7}}{16}$.

105. Изобразите сечение правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через середины ребер $AB$, $AC$ и $BB_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.
Длина всех ребер $a = 1$.
Сечение проходит через середины ребер $AB$, $AC$ и $BB_1$.

Перевод в систему СИ:

Длина всех ребер $a = 1 \text{ м}$.

Найти:

Площадь сечения.

Решение

Изобразить сечение

Пусть $K$ — середина ребра $AB$, $L$ — середина ребра $AC$, $M$ — середина ребра $BB_1$.

Отрезок $KL$ лежит в плоскости основания $ABC$. Так как $K$ и $L$ — середины сторон $AB$ и $AC$ соответственно, то по свойству средней линии треугольника $KL \parallel BC$ и $KL = \frac{1}{2} BC$. Поскольку длина всех ребер призмы равна $1$, то $BC = 1 \text{ м}$, следовательно, $KL = \frac{1}{2} \text{ м}$.

Плоскость сечения проходит через точку $M$ и содержит отрезок $KL$. Так как $KL \parallel BC$, а ребра $BB_1$ и $CC_1$ параллельны друг другу и перпендикулярны основаниям, то плоскость сечения, проходящая через $M$ и $KL$, пересечет грань $BCC_1B_1$ по отрезку $MN$, параллельному $BC$.

Так как $M$ — середина ребра $BB_1$, и $MN \parallel BC$, то $N$ должен быть серединой ребра $CC_1$.

Сечением является четырехугольник $KLNM$.

Определим тип четырехугольника $KLNM$.

Длина основания $KL = \frac{1}{2} \text{ м}$.

Отрезок $MN$ соединяет середины параллельных ребер $BB_1$ и $CC_1$ боковой грани $BCC_1B_1$. Поскольку $BCC_1B_1$ является прямоугольником (боковые грани правильной призмы), то $MN = BC = 1 \text{ м}$.

Так как $KL \parallel BC$ и $MN \parallel BC$, то $KL \parallel MN$.

Поскольку $KL \neq MN$, четырехугольник $KLNM$ является трапецией.

Найдем длины боковых сторон трапеции $KM$ и $LN$.

$K$ — середина $AB$, поэтому $KB = AB/2 = 1/2 \text{ м}$.

$M$ — середина $BB_1$, поэтому $BM = BB_1/2 = 1/2 \text{ м}$.

В прямоугольном треугольнике $KBM$ (так как ребро $BB_1$ перпендикулярно основанию $ABC$, а значит, и отрезку $AB$) по теореме Пифагора:$KM = \sqrt{KB^2 + BM^2} = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \text{ м}$.

Аналогично, $L$ — середина $AC$, поэтому $LC = AC/2 = 1/2 \text{ м}$.

$N$ — середина $CC_1$, поэтому $CN = CC_1/2 = 1/2 \text{ м}$.

В прямоугольном треугольнике $LCN$ (так как ребро $CC_1$ перпендикулярно основанию $ABC$, а значит, и отрезку $AC$) по теореме Пифагора:$LN = \sqrt{LC^2 + CN^2} = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \text{ м}$.

Поскольку $KM = LN = \frac{\sqrt{2}}{2}$, трапеция $KLNM$ является равнобедренной.

Ответ: Сечение представляет собой равнобедренную трапецию.

Найти его площадь

Для нахождения площади равнобедренной трапеции $KLNM$ используем формулу $S = \frac{a+b}{2}h$, где $a$ и $b$ — длины оснований, $h$ — высота трапеции.

Основания трапеции: $a = KL = \frac{1}{2} \text{ м}$, $b = MN = 1 \text{ м}$.

Высоту $h$ найдем, опустив перпендикуляры из вершин $K$ и $L$ на большее основание $MN$. Пусть точки пересечения будут $K'$ и $L'$.

Длина отрезка $MK' = \frac{MN - KL}{2} = \frac{1 - 1/2}{2} = \frac{1/2}{2} = \frac{1}{4} \text{ м}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной $KM$, ее проекцией $MK'$ на основание $MN$ и высотой $h$. По теореме Пифагора:$h^2 = KM^2 - (MK')^2$$h^2 = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{4}\right)^2$$h^2 = \frac{2}{4} - \frac{1}{16}$$h^2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{16}$$h^2 = \frac{8}{16} - \frac{1}{16}$$h^2 = \frac{7}{16}$$h = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4} \text{ м}$.

Теперь вычислим площадь трапеции:$S = \frac{KL + MN}{2} \cdot h$$S = \frac{\frac{1}{2} + 1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{4}$$S = \frac{\frac{3}{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{4}$$S = \frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{7}}{4}$$S = \frac{3\sqrt{7}}{16} \text{ м}^2$.

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{3\sqrt{7}}{16}$.

106. Изобразите сечение правильной треугольной призмы $ABC A_1 B_1 C_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через середины ребер $AB$, $AA_1$ и $A_1 C_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Призма $ABCA_1B_1C_1$ - правильная треугольная.

Длина всех ребер $a = 1$.

Сечение проходит через:

• Точка $K$ - середина ребра $AB$.

• Точка $L$ - середина ребра $AA_1$.

• Точка $M$ - середина ребра $A_1C_1$.

Перевод в СИ:

Все ребра $a = 1$ (условная единица длины, т.к. конкретные единицы не заданы).

Найти:

• Изобразить сечение.

• Площадь сечения.

Решение:

Изобразите сечение

Пусть точки $K, L, M$ — середины ребер $AB, AA_1, A_1C_1$ соответственно.Сечение, проходящее через эти три точки, представляет собой треугольник $KLM$, так как эти точки не лежат на одной прямой.

Для построения сечения необходимо:
1. Построить правильную треугольную призму $ABCA_1B_1C_1$.
2. Отметить середины указанных ребер:
- Точка $K$ — середина ребра $AB$.
- Точка $L$ — середина ребра $AA_1$.
- Точка $M$ — середина ребра $A_1C_1$.
3. Соединить точки $K, L, M$ отрезками. Отрезки $KL$, $LM$ и $MK$ являются сторонами искомого сечения — треугольника $KLM$.
Отрезок $KL$ лежит в боковой грани $AA_1B_1B$.
Отрезок $LM$ лежит в боковой грани $AA_1C_1C$.
Отрезок $MK$ является диагональю сечения.

(Так как я не могу создать изображение, выше приведено подробное описание процесса построения сечения.)

Ответ: Описание построений.

Найдите его площадь

Обозначим длину всех ребер призмы как $a=1$.

Найдем длины сторон треугольника $KLM$.

1. Длина отрезка $KL$:
Точка $K$ — середина $AB$, значит $AK = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}a = \frac{1}{2}$.
Точка $L$ — середина $AA_1$, значит $AL = \frac{1}{2}AA_1 = \frac{1}{2}a = \frac{1}{2}$.
Треугольник $AKL$ является прямоугольным (так как $AA_1 \perp AB$). По теореме Пифагора:
$KL^2 = AK^2 + AL^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
$KL = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

2. Длина отрезка $LM$:
Точка $L$ — середина $AA_1$, значит $A_1L = \frac{1}{2}AA_1 = \frac{1}{2}a = \frac{1}{2}$.
Точка $M$ — середина $A_1C_1$, значит $A_1M = \frac{1}{2}A_1C_1 = \frac{1}{2}a = \frac{1}{2}$.
Треугольник $A_1LM$ является прямоугольным (так как $AA_1 \perp A_1C_1$ в правильной призме). По теореме Пифагора:
$LM^2 = A_1L^2 + A_1M^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
$LM = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

3. Длина отрезка $KM$:
Пусть $P$ — проекция точки $M$ на плоскость основания $ABC$. Так как $M$ — середина $A_1C_1$, то $P$ — середина $AC$.
Расстояние от $M$ до плоскости $ABC$ равно высоте призмы, т.е. $MP = AA_1 = 1$.
Рассмотрим треугольник $AKP$. $K$ — середина $AB$, $P$ — середина $AC$. Значит, $KP$ — средняя линия треугольника $ABC$.
$KP = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}a = \frac{1}{2}$.
Так как $MP \perp KP$, треугольник $KPM$ является прямоугольным с гипотенузой $KM$. По теореме Пифагора:
$KM^2 = KP^2 + MP^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 1^2 = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4}$.
$KM = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Таким образом, стороны треугольника $KLM$ равны:
$KL = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $LM = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $KM = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
Треугольник $KLM$ является равнобедренным с основанием $KM$.

Для нахождения площади равнобедренного треугольника $KLM$, опустим высоту $LH$ из вершины $L$ на основание $KM$. Точка $H$ является серединой $KM$.
Длина отрезка $KH = \frac{1}{2} KM = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{\sqrt{5}}{4}$.
В прямоугольном треугольнике $LHK$ (с прямым углом $H$) по теореме Пифагора:
$LH^2 = KL^2 - KH^2 = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{5}}{4}\right)^2 = \frac{2}{4} - \frac{5}{16} = \frac{1}{2} - \frac{5}{16} = \frac{8}{16} - \frac{5}{16} = \frac{3}{16}$.
$LH = \sqrt{\frac{3}{16}} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

Площадь треугольника $KLM$ вычисляется по формуле:
$S_{KLM} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot KM \cdot LH$.
$S_{KLM} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{15}}{16}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{15}}{16}$.

107. Изобразите сечение правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через середины ребер $BC$, $BB_1$ и $A_1B_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.
Длина всех ребер $a = 1$.
Сечение проходит через середины ребер $BC$, $BB_1$ и $A_1B_1$.

Найти:

Изобразить сечение (описать построение).
Площадь сечения.

Решение:

Обозначим середины ребер:
Пусть $M$ - середина ребра $BC$.
Пусть $N$ - середина ребра $BB_1$.
Пусть $K$ - середина ребра $A_1B_1$.

Построение сечения:

1. Соединим точки $M$ и $N$. Отрезок $MN$ лежит в грани $BCC_1B_1$.2. Соединим точки $N$ и $K$. Отрезок $NK$ лежит в грани $ABB_1A_1$.3. Для определения остальных вершин сечения, воспользуемся свойством параллельности линий пересечения плоскости сечения с параллельными плоскостями оснований призмы.4. Введем декартову систему координат. Пусть начало координат $A = (0,0,0)$. Тогда координаты вершин основания $ABC$ будут $A=(0,0,0)$, $B=(1,0,0)$, $C=(0.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ (так как все ребра призмы, включая стороны основания, равны 1). Вершины верхнего основания: $A_1=(0,0,1)$, $B_1=(1,0,1)$, $C_1=(0.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$. Координаты заданных середин ребер: $M = \text{середина } BC = (\frac{1+0.5}{2}, \frac{0+\sqrt{3}/2}{2}, 0) = (0.75, \frac{\sqrt{3}}{4}, 0)$. $N = \text{середина } BB_1 = (\frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}) = (1, 0, 0.5)$. $K = \text{середина } A_1B_1 = (\frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{1+1}{2}) = (0.5, 0, 1)$.5. Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки $M, N, K$. Вектор $\vec{MN} = N - M = (1 - 0.75, 0 - \frac{\sqrt{3}}{4}, 0.5 - 0) = (0.25, -\frac{\sqrt{3}}{4}, 0.5)$. Вектор $\vec{NK} = K - N = (0.5 - 1, 0 - 0, 1 - 0.5) = (-0.5, 0, 0.5)$. Вектор нормали к плоскости $\vec{n} = \vec{MN} \times \vec{NK}$: $\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0.25 & -\frac{\sqrt{3}}{4} & 0.5 \\ -0.5 & 0 & 0.5 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 0.5 - 0 \cdot 0.5) - \mathbf{j}(0.25 \cdot 0.5 - (-0.5) \cdot 0.5) + \mathbf{k}(0.25 \cdot 0 - (-0.5) \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{4}))$ $= \mathbf{i}(-\frac{\sqrt{3}}{8}) - \mathbf{j}(0.125 + 0.25) + \mathbf{k}(-\frac{\sqrt{3}}{8}) = (-\frac{\sqrt{3}}{8}, -\frac{3}{8}, -\frac{\sqrt{3}}{8})$. Для удобства расчетов можно использовать пропорциональный вектор нормали, например, умножив его на $-8$: $(\sqrt{3}, 3, \sqrt{3})$. Уравнение плоскости имеет вид $\sqrt{3}x + 3y + \sqrt{3}z + D = 0$. Подставим координаты точки $K(0.5, 0, 1)$ в уравнение: $\sqrt{3}(0.5) + 3(0) + \sqrt{3}(1) + D = 0 \implies 0.5\sqrt{3} + \sqrt{3} + D = 0 \implies 1.5\sqrt{3} + D = 0 \implies D = -1.5\sqrt{3}$. Таким образом, уравнение плоскости сечения: $\sqrt{3}x + 3y + \sqrt{3}z - 1.5\sqrt{3} = 0$. Разделим на $\sqrt{3}$: $x + \sqrt{3}y + z - 1.5 = 0$.6. Найдем точки пересечения плоскости сечения с остальными ребрами призмы. * Линия пересечения с основанием $ABC$ (плоскость $z=0$): $x + \sqrt{3}y - 1.5 = 0$. * Точка $M(0.75, \frac{\sqrt{3}}{4}, 0)$ лежит на ребре $BC$ и удовлетворяет этому уравнению. * Найдем точку пересечения с ребром $AC$. Уравнение прямой $AC$ в плоскости $z=0$ (проходит через $A(0,0)$ и $C(0.5, \frac{\sqrt{3}}{2})$) задается как $y=\sqrt{3}x$ при $0 \le x \le 0.5$. Подставим $y=\sqrt{3}x$ в уравнение линии пересечения: $x + \sqrt{3}(\sqrt{3}x) - 1.5 = 0 \implies x + 3x - 1.5 = 0 \implies 4x = 1.5 \implies x = 3/8$. Тогда $y = \sqrt{3}(3/8) = 3\sqrt{3}/8$. Обозначим эту точку $P = (3/8, 3\sqrt{3}/8, 0)$. Точка $P$ лежит на ребре $AC$ (так как $0 \le 3/8 \le 0.5$). * Отрезок $MP$ является стороной сечения, лежащей в плоскости основания $ABC$. * Линия пересечения с верхним основанием $A_1B_1C_1$ (плоскость $z=1$): $x + \sqrt{3}y + 1 - 1.5 = 0 \implies x + \sqrt{3}y - 0.5 = 0$. * Точка $K(0.5, 0, 1)$ лежит на ребре $A_1B_1$ и удовлетворяет этому уравнению. * Найдем точку пересечения с ребром $A_1C_1$. Уравнение прямой $A_1C_1$ в плоскости $z=1$ (проходит через $A_1(0,0)$ и $C_1(0.5, \frac{\sqrt{3}}{2})$) задается как $y=\sqrt{3}x$ при $0 \le x \le 0.5$. Подставим $y=\sqrt{3}x$ в уравнение линии пересечения: $x + \sqrt{3}(\sqrt{3}x) - 0.5 = 0 \implies x + 3x - 0.5 = 0 \implies 4x = 0.5 \implies x = 1/8$. Тогда $y = \sqrt{3}(1/8) = \sqrt{3}/8$. Обозначим эту точку $Q = (1/8, \sqrt{3}/8, 1)$. Точка $Q$ лежит на ребре $A_1C_1$ (так как $0 \le 1/8 \le 0.5$). * Отрезок $KQ$ является стороной сечения, лежащей в плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1$. * Последний отрезок сечения $QP$ соединяет точку $Q$ на $A_1C_1$ и точку $P$ на $AC$. Поскольку обе эти точки лежат в одной грани $ACC_1A_1$ (координаты $x$ и $y$ для обеих точек удовлетворяют соотношению $y=\sqrt{3}x$), отрезок $QP$ лежит в этой грани. Таким образом, сечение является пятиугольником $MNKQP$ с вершинами: $M = (0.75, \frac{\sqrt{3}}{4}, 0)$ $N = (1, 0, 0.5)$ $K = (0.5, 0, 1)$ $Q = (\frac{1}{8}, \frac{\sqrt{3}}{8}, 1)$ $P = (\frac{3}{8}, \frac{3\sqrt{3}}{8}, 0)$

Вычисление площади сечения:

Для вычисления площади пятиугольника $MNKQP$ воспользуемся методом проекции. Площадь сечения $S_{сечения}$ связана с площадью ее проекции $S_{проекции}$ на плоскость основания формулой $S_{сечения} = S_{проекции} / \cos \alpha$, где $\alpha$ - угол между плоскостью сечения и плоскостью проекции.1. В качестве плоскости проекции выберем плоскость основания $ABC$ (плоскость $z=0$). Вектор нормали к этой плоскости $\vec{n}_{осн} = (0,0,1)$.2. Вектор нормали к плоскости сечения, полученный из ее уравнения $x + \sqrt{3}y + z - 1.5 = 0$, есть $\vec{n}_{сеч} = (1, \sqrt{3}, 1)$.3. Вычислим косинус угла $\alpha$ между плоскостью сечения и плоскостью основания: $\cos \alpha = \frac{|\vec{n}_{сеч} \cdot \vec{n}_{осн}|}{||\vec{n}_{сеч}|| \cdot ||\vec{n}_{осн}||}$ Скалярное произведение: $\vec{n}_{сеч} \cdot \vec{n}_{осн} = (1)(0) + (\sqrt{3})(0) + (1)(1) = 1$. Модуль вектора $\vec{n}_{сеч}$: $||\vec{n}_{сеч}|| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 3 + 1} = \sqrt{5}$. Модуль вектора $\vec{n}_{осн}$: $||\vec{n}_{осн}|| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1$. Тогда $\cos \alpha = \frac{|1|}{\sqrt{5} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$.4. Координаты вершин проекции пятиугольника $MNKQP$ на плоскость $z=0$ (просто отбрасываем $z$-координату): $M_{proj} = (0.75, \frac{\sqrt{3}}{4})$ $N_{proj} = (1, 0)$ $K_{proj} = (0.5, 0)$ $Q_{proj} = (\frac{1}{8}, \frac{\sqrt{3}}{8})$ $P_{proj} = (\frac{3}{8}, \frac{3\sqrt{3}}{8})$5. Вычислим площадь проекции $S_{проекции}$ с помощью формулы площади многоугольника (формула шнурков). Запишем вершины в порядке обхода: $P_{proj}$, $M_{proj}$, $N_{proj}$, $K_{proj}$, $Q_{proj}$. $S_{проекции} = \frac{1}{2} | (x_P y_M - y_P x_M) + (x_M y_N - y_M x_N) + (x_N y_K - y_N x_K) + (x_K y_Q - y_K x_Q) + (x_Q y_P - y_Q x_P) |$ Подставляем координаты: $P(\frac{3}{8}, \frac{3\sqrt{3}}{8})$ и $M(\frac{3}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4})$: $(\frac{3}{8})(\frac{\sqrt{3}}{4}) - (\frac{3\sqrt{3}}{8})(\frac{3}{4}) = \frac{3\sqrt{3}}{32} - \frac{9\sqrt{3}}{32} = -\frac{6\sqrt{3}}{32} = -\frac{3\sqrt{3}}{16}$. $M(\frac{3}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4})$ и $N(1, 0)$: $(\frac{3}{4})(0) - (\frac{\sqrt{3}}{4})(1) = -\frac{\sqrt{3}}{4} = -\frac{4\sqrt{3}}{16}$. $N(1, 0)$ и $K(\frac{1}{2}, 0)$: $(1)(0) - (0)(\frac{1}{2}) = 0$. $K(\frac{1}{2}, 0)$ и $Q(\frac{1}{8}, \frac{\sqrt{3}}{8})$: $(\frac{1}{2})(\frac{\sqrt{3}}{8}) - (0)(\frac{1}{8}) = \frac{\sqrt{3}}{16}$. $Q(\frac{1}{8}, \frac{\sqrt{3}}{8})$ и $P(\frac{3}{8}, \frac{3\sqrt{3}}{8})$: $(\frac{1}{8})(\frac{3\sqrt{3}}{8}) - (\frac{\sqrt{3}}{8})(\frac{3}{8}) = \frac{3\sqrt{3}}{64} - \frac{3\sqrt{3}}{64} = 0$. Сумма произведений: $-\frac{3\sqrt{3}}{16} - \frac{4\sqrt{3}}{16} + 0 + \frac{\sqrt{3}}{16} + 0 = \frac{(-3-4+1)\sqrt{3}}{16} = -\frac{6\sqrt{3}}{16} = -\frac{3\sqrt{3}}{8}$. Площадь проекции $S_{проекции} = \frac{1}{2} \left| -\frac{3\sqrt{3}}{8} \right| = \frac{3\sqrt{3}}{16}$.6. Площадь сечения: $S_{сечения} = \frac{S_{проекции}}{\cos \alpha} = \frac{3\sqrt{3}/16}{1/\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{3}}{16} \cdot \sqrt{5} = \frac{3\sqrt{15}}{16}$.

Ответ:

Построение сечения описано в пункте "Построение сечения".
Площадь сечения: $\frac{3\sqrt{15}}{16}$.

108. Изобразите сечение правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через середины ребер $AC$, $CC_1$ и $B_1C_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.Все рёбра призмы равны $a = 1$.Сечение проходит через середины рёбер $AC$, $CC_1$ и $B_1C_1$.

Перевод данных в систему СИ:Длина ребра $a = 1$ (единица длины). Поскольку в задаче не указаны конкретные единицы, результат будет также выражен в соответствующих квадратных единицах.

Найти:

Площадь сечения $S$.

Решение:

Обозначим середины рёбер $AC$, $CC_1$ и $B_1C_1$ как точки $M$, $N$ и $P$ соответственно.

1. Найдем длины сторон треугольника $MNP$.

* Длина отрезка $MN$: Точка $M$ - середина $AC$, значит $MC = AC/2 = 1/2$. Точка $N$ - середина $CC_1$, значит $CN = CC_1/2 = 1/2$. Треугольник $MCC_1$ является прямоугольным, так как ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Следовательно, $CC_1 \perp MC$. По теореме Пифагора для $\triangle MNC$: $MN^2 = MC^2 + CN^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. $MN = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

* Длина отрезка $NP$: Точка $N$ - середина $CC_1$, значит $NC_1 = CC_1/2 = 1/2$. Точка $P$ - середина $B_1C_1$, значит $PC_1 = B_1C_1/2 = 1/2$. Треугольник $NC_1P$ является прямоугольным, так как ребро $CC_1$ (и его часть $NC_1$) перпендикулярно плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1$, в котором лежит $B_1C_1$. Следовательно, $NC_1 \perp PC_1$. По теореме Пифагора для $\triangle NC_1P$: $NP^2 = NC_1^2 + PC_1^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. $NP = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

* Длина отрезка $PM$: Для нахождения длины отрезка $PM$ проведем дополнительное построение. Из точки $M$ опустим перпендикуляр на плоскость верхнего основания $A_1B_1C_1$. Этот перпендикуляр будет параллелен ребру $CC_1$ и равен ему по длине, то есть $1$. Пусть точка $M'$ - проекция точки $M$ на плоскость $A_1B_1C_1$. Тогда $MM' = CC_1 = 1$. Точка $M$ - середина $AC$, поэтому $M'$ будет серединой $A_1C_1$. Теперь рассмотрим треугольник $MM'P$. Он прямоугольный, так как $MM' \perp M'P$. Отрезок $M'P$ соединяет середину $A_1C_1$ (точку $M'$) и середину $B_1C_1$ (точку $P$) в равностороннем треугольнике $A_1B_1C_1$ со стороной $1$. Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, является средней линией. Следовательно, $M'P$ параллелен $A_1B_1$ и $M'P = \frac{1}{2} A_1B_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$. Теперь найдем $PM$ по теореме Пифагора для $\triangle MM'P$: $PM^2 = MM'^2 + M'P^2 = 1^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$. $PM = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

2. Вычислим площадь треугольника $MNP$.

Мы получили стороны треугольника $MNP$: $MN = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $NP = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $PM = \frac{\sqrt{5}}{2}$ Поскольку $MN = NP$, треугольник $MNP$ является равнобедренным. Для вычисления площади равнобедренного треугольника воспользуемся формулой $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. Основанием является $PM = \frac{\sqrt{5}}{2}$. Проведем высоту $NK$ к основанию $PM$. Точка $K$ - середина $PM$. Значит $PK = \frac{PM}{2} = \frac{\sqrt{5}/2}{2} = \frac{\sqrt{5}}{4}$. В прямоугольном треугольнике $NKP$ (с гипотенузой $NP$): $NK^2 = NP^2 - PK^2 = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{5}}{4}\right)^2 = \frac{2}{4} - \frac{5}{16} = \frac{1}{2} - \frac{5}{16} = \frac{8}{16} - \frac{5}{16} = \frac{3}{16}$. $NK = \sqrt{\frac{3}{16}} = \frac{\sqrt{3}}{4}$. Площадь треугольника $MNP$: $S_{MNP} = \frac{1}{2} \cdot PM \cdot NK = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{15}}{16}$.

Ответ:

Площадь сечения равна $\frac{\sqrt{15}}{16}$.

109. Изобразите сечение правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через середины ребер $AC$, $AA_1$ и $A_1B_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Все ребра призмы равны 1. Пусть $a = 1$.

Сечение проходит через:

• Точку $K$ - середину ребра $AC$.
• Точку $L$ - середину ребра $AA_1$.
• Точку $M$ - середину ребра $A_1B_1$.

Перевод в систему СИ:

Длина ребра призмы $a = 1$ (условные единицы длины, например, метр).

Найти:

Площадь сечения.

Решение:

Для решения задачи введем декартову систему координат. Пусть начало координат совпадает с вершиной $A(0,0,0)$. Ребро $AB$ лежит на оси $Ox$, плоскость основания $ABC$ совпадает с плоскостью $Oxy$. Так как призма правильная, ее основания являются равносторонними треугольниками, а боковые ребра перпендикулярны основаниям.

Координаты вершин призмы:

• $A = (0, 0, 0)$
• $B = (1, 0, 0)$
• $C = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• $A_1 = (0, 0, 1)$
• $B_1 = (1, 0, 1)$
• $C_1 = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$

Координаты заданных точек сечения:

• $K$ - середина $AC$: $K = (\frac{0+1/2}{2}, \frac{0+\sqrt{3}/2}{2}, \frac{0+0}{2}) = (1/4, \sqrt{3}/4, 0)$.
• $L$ - середина $AA_1$: $L = (\frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}) = (0, 0, 1/2)$.
• $M$ - середина $A_1B_1$: $M = (\frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{1+1}{2}) = (1/2, 0, 1)$.

Изобразите сечение:

Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки $K, L, M$. Общее уравнение плоскости: $Ax + By + Cz = D$.

Подставим координаты точек:

1. Для $L(0, 0, 1/2)$: $A(0) + B(0) + C(1/2) = D \implies C/2 = D \implies C = 2D$.
2. Для $M(1/2, 0, 1)$: $A(1/2) + B(0) + C(1) = D \implies A/2 + 2D = D \implies A/2 = -D \implies A = -2D$.
3. Для $K(1/4, \sqrt{3}/4, 0)$: $A(1/4) + B(\sqrt{3}/4) + C(0) = D \implies (-2D)(1/4) + B(\sqrt{3}/4) = D \implies -D/2 + B\sqrt{3}/4 = D \implies B\sqrt{3}/4 = 3D/2 \implies B = \frac{3D}{2} \cdot \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{6D}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}D$.

Разделим уравнение на $D$ (предполагая $D \neq 0$, иначе плоскость проходит через начало координат $A$, но $A$ не является точкой сечения), получим: $-2x + 2\sqrt{3}y + 2z = 1$. Или, умножив на -1: $2x - 2\sqrt{3}y - 2z = -1$.

Теперь найдем точки пересечения этой плоскости с другими ребрами призмы:

1. Ребро $B_1C_1$: Точки на $B_1C_1$ имеют вид $B_1 + t(C_1 - B_1)$ для $t \in [0, 1]$. $B_1 = (1, 0, 1)$, $C_1 = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$. $(1-t)B_1 + tC_1 = (1-t)(1,0,1) + t(1/2, \sqrt{3}/2, 1) = (1-t+t/2, t\sqrt{3}/2, 1) = (1-t/2, t\sqrt{3}/2, 1)$. Подставим в уравнение плоскости: $2(1-t/2) - 2\sqrt{3}(t\sqrt{3}/2) - 2(1) = -1$. $2 - t - 3t - 2 = -1 \implies -4t = -1 \implies t = 1/4$. Так как $t=1/4 \in [0, 1]$, точка пересечения $N$ лежит на ребре $B_1C_1$. $N = (1-1/8, \sqrt{3}/8, 1) = (7/8, \sqrt{3}/8, 1)$. Это означает, что $N$ делит $B_1C_1$ в отношении $1:3$ от $B_1$ ($B_1N = (1/4)B_1C_1$).
2. Ребро $BC$: Точки на $BC$ имеют вид $(1-t)B + tC$ для $t \in [0, 1]$. $B = (1, 0, 0)$, $C = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$. $(1-t)(1,0,0) + t(1/2, \sqrt{3}/2, 0) = (1-t/2, t\sqrt{3}/2, 0)$. Подставим в уравнение плоскости: $2(1-t/2) - 2\sqrt{3}(t\sqrt{3}/2) - 2(0) = -1$. $2 - t - 3t = -1 \implies 2 - 4t = -1 \implies 4t = 3 \implies t = 3/4$. Так как $t=3/4 \in [0, 1]$, точка пересечения $P$ лежит на ребре $BC$. $P = (1-3/8, 3\sqrt{3}/8, 0) = (5/8, 3\sqrt{3}/8, 0)$. Это означает, что $P$ делит $BC$ в отношении $3:1$ от $B$ ($BP = (3/4)BC$, или $CP = (1/4)BC$).
3. Ребро $BB_1$: Точки на $BB_1$ имеют вид $(1,0,h)$ для $h \in [0, 1]$. Подставим в уравнение плоскости: $2(1) - 2\sqrt{3}(0) - 2h = -1 \implies 2 - 2h = -1 \implies 2h = 3 \implies h = 3/2$. Так как $h=3/2 > 1$, сечение не пересекает ребро $BB_1$.
4. Ребро $CC_1$: Точки на $CC_1$ имеют вид $(1/2, \sqrt{3}/2, h)$ для $h \in [0, 1]$. Подставим в уравнение плоскости: $2(1/2) - 2\sqrt{3}(\sqrt{3}/2) - 2h = -1 \implies 1 - 3 - 2h = -1 \implies -2 - 2h = -1 \implies 2h = -1 \implies h = -1/2$. Так как $h=-1/2 < 0$, сечение не пересекает ребро $CC_1$.

Таким образом, сечение является пятиугольником $KPNML$ с вершинами:

• $K = (1/4, \sqrt{3}/4, 0)$ (середина $AC$)
• $P = (5/8, 3\sqrt{3}/8, 0)$ (на $BC$, $CP = 1/4$)
• $N = (7/8, \sqrt{3}/8, 1)$ (на $B_1C_1$, $B_1N = 1/4$)
• $M = (1/2, 0, 1)$ (середина $A_1B_1$)
• $L = (0, 0, 1/2)$ (середина $AA_1$)

Для "изображения" сечения (поскольку изображение невозможно в текстовом формате), опишем его. Сечение $KPNML$ имеет две вершины $K$ и $P$ на нижнем основании $ABC$, две вершины $N$ и $M$ на верхнем основании $A_1B_1C_1$, и одну вершину $L$ на боковом ребре $AA_1$.

Заметим, что вектор $\vec{PK} = K - P = (1/4-5/8, \sqrt{3}/4-3\sqrt{3}/8, 0) = (-3/8, -\sqrt{3}/8, 0)$.

И вектор $\vec{MN} = N - M = (7/8-1/2, \sqrt{3}/8-0, 1-1) = (3/8, \sqrt{3}/8, 0)$.

Поскольку $\vec{PK} = -\vec{MN}$, отрезки $PK$ и $MN$ параллельны и равны по длине. Это означает, что четырехугольник $KPMN$ является параллелограммом. Пятиугольник $KPNML$ состоит из этого параллелограмма и треугольника $LKM$.

Ответ: Сечение является пятиугольником $KPNML$, где $K$ - середина $AC$, $L$ - середина $AA_1$, $M$ - середина $A_1B_1$, $N$ - точка на $B_1C_1$ ($B_1N = (1/4)B_1C_1$), $P$ - точка на $BC$ ($CP = (1/4)BC$).

Найдите его площадь:

Воспользуемся методом проекции. Площадь сечения $S$ связана с площадью его проекции $S_{proj}$ на координатную плоскость $Oxy$ формулой $S = S_{proj} / \cos \alpha$, где $\alpha$ - угол между плоскостью сечения и плоскостью $Oxy$.

Нормальный вектор к плоскости сечения $2x - 2\sqrt{3}y - 2z = -1$ равен $\vec{n} = (2, -2\sqrt{3}, -2)$.

Модуль нормального вектора: $|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-2\sqrt{3})^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 12 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.

Нормальный вектор к плоскости $Oxy$ (координатная плоскость $z=0$) равен $\vec{k} = (0, 0, 1)$.

Косинус угла между плоскостями: $\cos \alpha = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{k}|}{|\vec{n}| \cdot |\vec{k}|} = \frac{|(2, -2\sqrt{3}, -2) \cdot (0,0,1)|}{2\sqrt{5} \cdot 1} = \frac{|-2|}{2\sqrt{5}} = \frac{2}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.

Проекция пятиугольника $KPNML$ на плоскость $Oxy$ является пятиугольником $K'P'N'M'L'$ с координатами $z=0$ для всех вершин:

• $K' = (1/4, \sqrt{3}/4)$
• $P' = (5/8, 3\sqrt{3}/8)$
• $N' = (7/8, \sqrt{3}/8)$
• $M' = (1/2, 0)$
• $L' = (0, 0)$

Вычислим площадь $S_{proj}$ пятиугольника $K'P'N'M'L'$ по формуле площади Гаусса (Shoelace formula):

$S_{proj} = \frac{1}{2} | (x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_5 + x_5y_1) - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_5 + y_5x_1) |$

Сумма $x_iy_{i+1}$ (прямые произведения):

• $K'P': (1/4)(3\sqrt{3}/8) = 3\sqrt{3}/32$
• $P'N': (5/8)(\sqrt{3}/8) = 5\sqrt{3}/64$
• $N'M': (7/8)(0) = 0$
• $M'L': (1/2)(0) = 0$
• $L'K': (0)(\sqrt{3}/4) = 0$

Сумма прямых произведений: $3\sqrt{3}/32 + 5\sqrt{3}/64 = 6\sqrt{3}/64 + 5\sqrt{3}/64 = 11\sqrt{3}/64$.

Сумма $y_ix_{i+1}$ (обратные произведения):

• $K'P': (\sqrt{3}/4)(5/8) = 5\sqrt{3}/32$
• $P'N': (3\sqrt{3}/8)(7/8) = 21\sqrt{3}/64$
• $N'M': (\sqrt{3}/8)(1/2) = \sqrt{3}/16 = 4\sqrt{3}/64$
• $M'L': (0)(0) = 0$
• $L'K': (0)(1/4) = 0$

Сумма обратных произведений: $5\sqrt{3}/32 + 21\sqrt{3}/64 + 4\sqrt{3}/64 = 10\sqrt{3}/64 + 21\sqrt{3}/64 + 4\sqrt{3}/64 = 35\sqrt{3}/64$.

Площадь проекции $S_{proj} = \frac{1}{2} | 11\sqrt{3}/64 - 35\sqrt{3}/64 | = \frac{1}{2} | -24\sqrt{3}/64 | = \frac{1}{2} \cdot \frac{24\sqrt{3}}{64} = \frac{12\sqrt{3}}{64} = \frac{3\sqrt{3}}{16}$.

Площадь сечения $S = S_{proj} / \cos \alpha = \frac{3\sqrt{3}}{16} / \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}}{16} = \frac{3\sqrt{15}}{16}$.

Альтернативный метод: Разложение на параллелограмм и треугольник.

Как было показано выше, $KPNM$ является параллелограммом, так как $\vec{PK} = -\vec{MN}$. Площадь параллелограмма можно найти как половину модуля векторного произведения его диагоналей, или через две смежные стороны. Воспользуемся векторами $\vec{PM}$ и $\vec{PN}$.

$\vec{PK} = K - P = (-3/8, -\sqrt{3}/8, 0)$

$\vec{PM} = M - P = (1/2-5/8, 0-3\sqrt{3}/8, 1-0) = (-1/8, -3\sqrt{3}/8, 1)$

Площадь параллелограмма $S_{KPMN} = |\vec{PK} \times \vec{PM}|$.

$\vec{PK} \times \vec{PM} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -3/8 & -\sqrt{3}/8 & 0 \\ -1/8 & -3\sqrt{3}/8 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-\sqrt{3}/8 \cdot 1 - 0) - \mathbf{j}(-3/8 \cdot 1 - 0) + \mathbf{k}(-3/8 \cdot -3\sqrt{3}/8 - (-\sqrt{3}/8) \cdot (-1/8))$

$= -\frac{\sqrt{3}}{8}\mathbf{i} + \frac{3}{8}\mathbf{j} + (\frac{9\sqrt{3}}{64} - \frac{\sqrt{3}}{64})\mathbf{k} = (-\frac{\sqrt{3}}{8}, \frac{3}{8}, \frac{8\sqrt{3}}{64}) = (-\frac{\sqrt{3}}{8}, \frac{3}{8}, \frac{\sqrt{3}}{8})$

$S_{KPMN} = \sqrt{(-\sqrt{3}/8)^2 + (3/8)^2 + (\sqrt{3}/8)^2} = \sqrt{3/64 + 9/64 + 3/64} = \sqrt{15/64} = \frac{\sqrt{15}}{8}$.

Теперь вычислим площадь треугольника $LKM$ (вершины $K(1/4, \sqrt{3}/4, 0)$, $L(0, 0, 1/2)$, $M(1/2, 0, 1)$).

$\vec{LK} = K - L = (1/4, \sqrt{3}/4, -1/2)$

$\vec{LM} = M - L = (1/2, 0, 1/2)$

Площадь $S_{LKM} = \frac{1}{2} |\vec{LK} \times \vec{LM}|$.

$\vec{LK} \times \vec{LM} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1/4 & \sqrt{3}/4 & -1/2 \\ 1/2 & 0 & 1/2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(\sqrt{3}/4 \cdot 1/2 - (-1/2) \cdot 0) - \mathbf{j}(1/4 \cdot 1/2 - (-1/2) \cdot 1/2) + \mathbf{k}(1/4 \cdot 0 - \sqrt{3}/4 \cdot 1/2)$

$= \frac{\sqrt{3}}{8}\mathbf{i} - (\frac{1}{8} + \frac{1}{4})\mathbf{j} - \frac{\sqrt{3}}{8}\mathbf{k} = (\frac{\sqrt{3}}{8}, -\frac{3}{8}, -\frac{\sqrt{3}}{8})$

$S_{LKM} = \frac{1}{2} \sqrt{(\sqrt{3}/8)^2 + (-3/8)^2 + (-\sqrt{3}/8)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{3/64 + 9/64 + 3/64} = \frac{1}{2} \sqrt{15/64} = \frac{1}{2} \frac{\sqrt{15}}{8} = \frac{\sqrt{15}}{16}$.

Общая площадь пятиугольника $KPNML$ равна сумме площадей параллелограмма $KPMN$ и треугольника $LKM$:

$S = S_{KPMN} + S_{LKM} = \frac{\sqrt{15}}{8} + \frac{\sqrt{15}}{16} = \frac{2\sqrt{15}}{16} + \frac{\sqrt{15}}{16} = \frac{3\sqrt{15}}{16}$.

Оба метода дают одинаковый результат.

Ответ: Площадь сечения составляет $\frac{3\sqrt{15}}{16}$.

110. Изобразите сечение правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через середины ребер $AB$, $BB_1$ и $B_1C_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABC A_1 B_1 C_1$.
Длина всех ребер $a = 1$.
Сечение проходит через середины ребер $AB$, $BB_1$ и $B_1 C_1$.

Перевод в СИ:

Данные уже представлены в безразмерном виде, что соответствует системе СИ для относительных длин. Длина ребра $a = 1$ (условная единица).

Найти:

1. Изобразить сечение.
2. Площадь сечения.

Решение:

Для решения задачи введем декартову систему координат. Пусть вершина $A$ имеет координаты $(0,0,0)$. Ребро $AB$ лежит на оси $Ox$, а ось $Oz$ направлена вдоль ребра $AA_1$.
Координаты вершин призмы (с длиной ребра $a=1$):
$A = (0,0,0)$
$B = (1,0,0)$
$C = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
$A_1 = (0,0,1)$
$B_1 = (1,0,1)$
$C_1 = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Найдем координаты заданных точек:
1. Точка $M$ - середина ребра $AB$: $M = (\frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}) = (\frac{1}{2}, 0, 0)$.
2. Точка $N$ - середина ребра $BB_1$: $N = (\frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}) = (1, 0, \frac{1}{2})$.
3. Точка $K$ - середина ребра $B_1C_1$: $K = (\frac{1+1/2}{2}, \frac{0+\sqrt{3}/2}{2}, \frac{1+1}{2}) = (\frac{3}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}, 1)$.

Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки $M, N, K$. Общее уравнение плоскости: $Ax + By + Cz = D$.
Подставим координаты точек в уравнение:
Для $M(\frac{1}{2}, 0, 0)$: $A(\frac{1}{2}) + B(0) + C(0) = D \Rightarrow A = 2D$.
Для $N(1, 0, \frac{1}{2})$: $A(1) + B(0) + C(\frac{1}{2}) = D \Rightarrow A + \frac{C}{2} = D$.
Подставим $A=2D$ во второе уравнение: $2D + \frac{C}{2} = D \Rightarrow \frac{C}{2} = -D \Rightarrow C = -2D$.
Для $K(\frac{3}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}, 1)$: $A(\frac{3}{4}) + B(\frac{\sqrt{3}}{4}) + C(1) = D$.
Подставим $A=2D$ и $C=-2D$: $2D(\frac{3}{4}) + B(\frac{\sqrt{3}}{4}) + (-2D)(1) = D$.
$\frac{3}{2}D + \frac{\sqrt{3}}{4}B - 2D = D \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{4}B = D - \frac{3}{2}D + 2D = \frac{3}{2}D$.
$B = \frac{3}{2}D \cdot \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{6D}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}D$.
Приняв $D=1$, получаем $A=2$, $B=2\sqrt{3}$, $C=-2$.
Уравнение плоскости сечения: $2x + 2\sqrt{3}y - 2z = 1$, или $x + \sqrt{3}y - z = \frac{1}{2}$.

Найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами призмы. Мы уже знаем $M, N, K$.
1. Пересечение с ребром $AC$ (лежит в плоскости $z=0$, от $A(0,0,0)$ до $C(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$). Точки на $AC$ имеют вид $(x, \sqrt{3}x, 0)$ для $x \in [0, 1/2]$.
$x + \sqrt{3}(\sqrt{3}x) - 0 = \frac{1}{2} \Rightarrow x + 3x = \frac{1}{2} \Rightarrow 4x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{1}{8}$.
Координаты точки $Q_1 = (\frac{1}{8}, \frac{\sqrt{3}}{8}, 0)$. Эта точка лежит на $AC$, так как $0 \le 1/8 \le 1/2$.

2. Пересечение с ребром $A_1C_1$ (лежит в плоскости $z=1$, от $A_1(0,0,1)$ до $C_1(1/2, \sqrt{3}/2, 1)$). Точки на $A_1C_1$ имеют вид $(x, \sqrt{3}x, 1)$ для $x \in [0, 1/2]$.
$x + \sqrt{3}(\sqrt{3}x) - 1 = \frac{1}{2} \Rightarrow x + 3x = \frac{3}{2} \Rightarrow 4x = \frac{3}{2} \Rightarrow x = \frac{3}{8}$.
Координаты точки $Q_2 = (\frac{3}{8}, \frac{3\sqrt{3}}{8}, 1)$. Эта точка лежит на $A_1C_1$, так как $0 \le 3/8 \le 1/2$.

Проверка других ребер:
* $AA_1$ ($x=0, y=0, z \in [0,1]$): $0 + 0 - z = 1/2 \Rightarrow z = -1/2$. Точка вне ребра.
* $CC_1$ ($x=1/2, y=\sqrt{3}/2, z \in [0,1]$): $1/2 + \sqrt{3}(\sqrt{3}/2) - z = 1/2 \Rightarrow 1/2 + 3/2 - z = 1/2 \Rightarrow 2 - z = 1/2 \Rightarrow z = 3/2$. Точка вне ребра.
* $BC$ ($z=0$, от $B(1,0,0)$ до $C(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$): $x + \sqrt{3}y = 1/2$. Прямая $Q_1M$ имеет уравнение $y = -\sqrt{3}x + \sqrt{3}/2$. Прямая $BC$ имеет уравнение $y = -\sqrt{3}(x-1)$. У них одинаковый угловой коэффициент $-\sqrt{3}$, следовательно, они параллельны. То есть, сечение не пересекает ребро $BC$.
* $A_1B_1$ ($y=0, z=1, x \in [0,1]$): $x + 0 - 1 = 1/2 \Rightarrow x = 3/2$. Точка вне ребра.

Таким образом, сечение является пятиугольником, вершинами которого являются $M, N, K, Q_2, Q_1$.
Отрезки сечения лежат на гранях призмы: $MN$ на $ABB_1A_1$, $NK$ на $BB_1C_1C$, $KQ_2$ на $A_1B_1C_1$, $Q_2Q_1$ на $AA_1C_1C$, $Q_1M$ на $ABC$.

Изобразите сечение

Для изображения сечения необходимо выполнить следующие действия:
1. Нарисуйте правильную треугольную призму $ABC A_1 B_1 C_1$ с основанием $ABC$ и верхним основанием $A_1 B_1 C_1$. Все ребра призмы равны 1.
2. Отметьте на ребре $AB$ точку $M$ как его середину.
3. Отметьте на ребре $BB_1$ точку $N$ как его середину.
4. Отметьте на ребре $B_1C_1$ точку $K$ как его середину.
5. Соедините отрезками точки $M$ и $N$, а также $N$ и $K$. Эти отрезки являются сторонами сечения.
6. На ребре $AC$ найдите точку $Q_1$ такую, что $AQ_1 = \frac{1}{4} AC$. (В координатах $Q_1(\frac{1}{8}, \frac{\sqrt{3}}{8}, 0)$). Соедините $Q_1$ и $M$. Это еще одна сторона сечения.
7. На ребре $A_1C_1$ найдите точку $Q_2$ такую, что $A_1Q_2 = \frac{3}{4} A_1C_1$. (В координатах $Q_2(\frac{3}{8}, \frac{3\sqrt{3}}{8}, 1)$). Соедините $Q_2$ и $K$. Это еще одна сторона сечения.
8. Соедините точки $Q_1$ и $Q_2$. Этот отрезок является последней стороной сечения.
Искомое сечение - это пятиугольник $MNKQ_2Q_1$.

Найдите его площадь

Для нахождения площади сечения воспользуемся методом проекций. Площадь сечения $S$ связана с площадью его проекции $S_{proj}$ на координатную плоскость соотношением $S = S_{proj} / \cos\theta$, где $\theta$ - угол между плоскостью сечения и плоскостью проекции.

Уравнение плоскости сечения: $x + \sqrt{3}y - z = \frac{1}{2}$.
Вектор нормали к этой плоскости: $\vec{n} = (1, \sqrt{3}, -1)$.
Модуль вектора нормали: $|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 3 + 1} = \sqrt{5}$.
Выберем плоскость $xy$ (основание призмы) в качестве плоскости проекции. Вектор нормали к плоскости $xy$ равен $\vec{k} = (0,0,1)$.
Косинус угла между плоскостями: $\cos\theta = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{k}|}{|\vec{n}| \cdot |\vec{k}|} = \frac{|(1, \sqrt{3}, -1) \cdot (0,0,1)|}{\sqrt{5} \cdot 1} = \frac{|-1|}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.

Найдем координаты вершин проекции пятиугольника $MNKQ_2Q_1$ на плоскость $xy$ (просто обнуляем z-координаты):
$M_p = (\frac{1}{2}, 0)$
$N_p = (1, 0)$
$K_p = (\frac{3}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4})$
$Q_{2p} = (\frac{3}{8}, \frac{3\sqrt{3}}{8})$
$Q_{1p} = (\frac{1}{8}, \frac{\sqrt{3}}{8})$

Вычислим площадь $S_{proj}$ этого пятиугольника с помощью формулы площади многоугольника по координатам вершин (формула Гаусса, или shoelace formula):
$S_{proj} = \frac{1}{2} |(x_1y_2 - y_1x_2) + (x_2y_3 - y_2x_3) + \dots + (x_ny_1 - y_nx_1)|$.
Вершины в порядке обхода: $M_p(\frac{1}{2}, 0)$, $N_p(1, 0)$, $K_p(\frac{3}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4})$, $Q_{2p}(\frac{3}{8}, \frac{3\sqrt{3}}{8})$, $Q_{1p}(\frac{1}{8}, \frac{\sqrt{3}}{8})$.

Вычислим сумму $x_iy_{i+1}$ (и $x_ny_1$):
$\frac{1}{2} \cdot 0 = 0$
$1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4}$
$\frac{3}{4} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{8} = \frac{9\sqrt{3}}{32}$
$\frac{3}{8} \cdot \frac{\sqrt{3}}{8} = \frac{3\sqrt{3}}{64}$
$\frac{1}{8} \cdot 0 = 0$
Сумма $S_1 = 0 + \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{9\sqrt{3}}{32} + \frac{3\sqrt{3}}{64} + 0 = \frac{16\sqrt{3} + 18\sqrt{3} + 3\sqrt{3}}{64} = \frac{37\sqrt{3}}{64}$.

Вычислим сумму $y_ix_{i+1}$ (и $y_nx_1$):
$0 \cdot 1 = 0$
$0 \cdot \frac{3}{4} = 0$
$\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{3}{8} = \frac{3\sqrt{3}}{32}$
$\frac{3\sqrt{3}}{8} \cdot \frac{1}{8} = \frac{3\sqrt{3}}{64}$
$\frac{\sqrt{3}}{8} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{16}$
Сумма $S_2 = 0 + 0 + \frac{3\sqrt{3}}{32} + \frac{3\sqrt{3}}{64} + \frac{\sqrt{3}}{16} = \frac{6\sqrt{3} + 3\sqrt{3} + 4\sqrt{3}}{64} = \frac{13\sqrt{3}}{64}$.

Площадь проекции $S_{proj} = \frac{1}{2} |S_1 - S_2| = \frac{1}{2} |\frac{37\sqrt{3}}{64} - \frac{13\sqrt{3}}{64}| = \frac{1}{2} |\frac{24\sqrt{3}}{64}| = \frac{1}{2} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{8} = \frac{3\sqrt{3}}{16}$.

Теперь найдем площадь сечения $S$:
$S = S_{proj} / \cos\theta = \frac{3\sqrt{3}}{16} / \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{3}}{16} \cdot \sqrt{5} = \frac{3\sqrt{15}}{16}$.

Ответ:

Искомое сечение представляет собой пятиугольник $MNKQ_2Q_1$, где $M$ - середина $AB$, $N$ - середина $BB_1$, $K$ - середина $B_1C_1$, $Q_1$ - точка на $AC$ такая, что $AQ_1 = \frac{1}{4}AC$, и $Q_2$ - точка на $A_1C_1$ такая, что $A_1Q_2 = \frac{3}{4}A_1C_1$.
Площадь сечения равна $\frac{3\sqrt{15}}{16}$.

111. Изобразите сечение правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через середины ребер $BC$, $CC_1$ и $A_1C_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная треугольная призма \( ABCA_1B_1C_1 \).

Все ребра равны 1.

Сечение проходит через середины ребер \( BC \), \( CC_1 \) и \( A_1C_1 \).

Перевод в СИ:

Длина ребра призмы \( a = 1 \) (единицы не указаны).

Найти:

Изобразить сечение и найти его площадь.

Решение:

Изображение сечения

1. Обозначим середины заданных ребер:
Пусть \( K \) — середина ребра \( BC \).
Пусть \( L \) — середина ребра \( CC_1 \).
Пусть \( M \) — середина ребра \( A_1C_1 \).
Эти три точки \( K, L, M \) определяют плоскость сечения.

2. Построим известные линии сечения:
Соединим точки \( K \) и \( L \). Отрезок \( KL \) лежит в боковой грани \( BCC_1B_1 \).
Соединим точки \( L \) и \( M \). Отрезок \( LM \) лежит в боковой грани \( ACC_1A_1 \).

3. Для нахождения остальных вершин сечения, используем метод координат.
Разместим призму в декартовой системе координат. Пусть начало координат совпадает с вершиной \( C \).
Тогда координаты вершин будут:
\( C = (0,0,0) \)
\( B = (1,0,0) \)
\( A = (1/2, \sqrt{3}/2, 0) \) (так как \( \triangle ABC \) правильный со стороной 1)
\( C_1 = (0,0,1) \)
\( B_1 = (1,0,1) \)
\( A_1 = (1/2, \sqrt{3}/2, 1) \)

Координаты заданных середин ребер:
\( K = (1/2, 0, 0) \) (середина \( BC \))
\( L = (0, 0, 1/2) \) (середина \( CC_1 \))
\( M = (1/4, \sqrt{3}/4, 1) \) (середина \( A_1C_1 \))

4. Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки \( K, L, M \).
Вектор \( \vec{LK} = K - L = (1/2, 0, -1/2) \).
Вектор \( \vec{LM} = M - L = (1/4, \sqrt{3}/4, 1/2) \).
Вектор нормали к плоскости \( \vec{n} = \vec{LK} \times \vec{LM} \):
$ \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1/2 & 0 & -1/2 \\ 1/4 & \sqrt{3}/4 & 1/2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1/2 - (-1/2) \cdot \sqrt{3}/4) - \mathbf{j}(1/2 \cdot 1/2 - (-1/2) \cdot 1/4) + \mathbf{k}(1/2 \cdot \sqrt{3}/4 - 0 \cdot 1/4) $
$ = \mathbf{i}(\sqrt{3}/8) - \mathbf{j}(1/4 + 1/8) + \mathbf{k}(\sqrt{3}/8) $
$ = (\sqrt{3}/8, -3/8, \sqrt{3}/8) $
Для упрощения, умножим вектор нормали на 8, получим \( \vec{n}' = (\sqrt{3}, -3, \sqrt{3}) \).
Уравнение плоскости имеет вид \( \sqrt{3}x - 3y + \sqrt{3}z + D = 0 \).
Подставим координаты точки \( L(0,0,1/2) \):
\( \sqrt{3}(0) - 3(0) + \sqrt{3}(1/2) + D = 0 \Rightarrow D = -\sqrt{3}/2 \).
Уравнение плоскости сечения: \( \sqrt{3}x - 3y + \sqrt{3}z - \sqrt{3}/2 = 0 \).
Разделив на \( \sqrt{3} \), получим: \( x - \sqrt{3}y + z - 1/2 = 0 \).

5. Найдем точки пересечения плоскости с остальными ребрами призмы:
* С ребром \( AB \) (лежащим в плоскости \( z=0 \)):
Подставим \( z=0 \) в уравнение плоскости: \( x - \sqrt{3}y - 1/2 = 0 \).
Уравнение прямой \( AB \) (соединяющей \( A(1/2, \sqrt{3}/2, 0) \) и \( B(1,0,0) \)) в плоскости \( z=0 \) имеет вид \( y = -\sqrt{3}(x-1) \).
Подставим \( y \) в уравнение следа плоскости: \( x - \sqrt{3}(-\sqrt{3}(x-1)) - 1/2 = 0 \).
\( x + 3(x-1) - 1/2 = 0 \Rightarrow 4x - 3 - 1/2 = 0 \Rightarrow 4x = 7/2 \Rightarrow x = 7/8 \).
Тогда \( y = -\sqrt{3}(7/8 - 1) = -\sqrt{3}(-1/8) = \sqrt{3}/8 \).
Точка пересечения \( P = (7/8, \sqrt{3}/8, 0) \). Проверка показывает, что \( P \) лежит на отрезке \( AB \) (так как \( 1/2 < 7/8 < 1 \) и \( 0 < \sqrt{3}/8 < \sqrt{3}/2 \)).
Это означает, что \( BP = 1/4 \). То есть \( P \) делит \( AB \) в отношении \( AP:PB = 3:1 \).
* С ребром \( A_1B_1 \) (лежащим в плоскости \( z=1 \)):
Подставим \( z=1 \) в уравнение плоскости: \( x - \sqrt{3}y + 1 - 1/2 = 0 \Rightarrow x - \sqrt{3}y + 1/2 = 0 \).
Уравнение прямой \( A_1B_1 \) (соединяющей \( A_1(1/2, \sqrt{3}/2, 1) \) и \( B_1(1,0,1) \)) в плоскости \( z=1 \) имеет вид \( y = -\sqrt{3}(x-1) \).
Подставим \( y \): \( x - \sqrt{3}(-\sqrt{3}(x-1)) + 1/2 = 0 \Rightarrow x + 3(x-1) + 1/2 = 0 \Rightarrow 4x - 3 + 1/2 = 0 \Rightarrow 4x = 5/2 \Rightarrow x = 5/8 \).
Тогда \( y = -\sqrt{3}(5/8 - 1) = -\sqrt{3}(-3/8) = 3\sqrt{3}/8 \).
Точка пересечения \( Q = (5/8, 3\sqrt{3}/8, 1) \). Проверка показывает, что \( Q \) лежит на отрезке \( A_1B_1 \) (так как \( 1/2 < 5/8 < 1 \) и \( 0 < 3\sqrt{3}/8 < \sqrt{3}/2 \)).
Это означает, что \( A_1Q = 1/4 \). То есть \( Q \) делит \( A_1B_1 \) в отношении \( A_1Q:QB_1 = 1:3 \).
* Пересечения с ребрами \( AA_1 \) и \( BB_1 \) отсутствуют, так как соответствующие значения параметра \( t \) выходят за пределы отрезка \( [0,1] \).

6. Таким образом, сечение является пятиугольником \( KPQML \), где вершины:
\( K(1/2,0,0) \) — середина \( BC \)
\( P(7/8, \sqrt{3}/8, 0) \) — на ребре \( AB \)
\( Q(5/8, 3\sqrt{3}/8, 1) \) — на ребре \( A_1B_1 \)
\( M(1/4, \sqrt{3}/4, 1) \) — середина \( A_1C_1 \)
\( L(0,0,1/2) \) — середина \( CC_1 \)

Сечение \( KPQML \) можно изобразить, последовательно соединяя найденные точки. Отрезок \( KP \) лежит в нижнем основании, \( QM \) в верхнем основании. Поскольку основания параллельны, то \( KP \parallel QM \).

Площадь сечения

Площадь пятиугольника \( KPQML \) можно найти, разбив его на параллелограмм и треугольник.
Проверим параллельность и длины отрезков \( KP \) и \( QM \):
Вектор \( \vec{KP} = P - K = (7/8 - 1/2, \sqrt{3}/8 - 0, 0 - 0) = (3/8, \sqrt{3}/8, 0) \).
Длина \( KP = \sqrt{(3/8)^2 + (\sqrt{3}/8)^2} = \sqrt{9/64 + 3/64} = \sqrt{12/64} = \sqrt{3/16} = \frac{\sqrt{3}}{4} \).
Вектор \( \vec{MQ} = Q - M = (5/8 - 1/4, 3\sqrt{3}/8 - \sqrt{3}/4, 1 - 1) = (3/8, \sqrt{3}/8, 0) \).
Длина \( MQ = \sqrt{(3/8)^2 + (\sqrt{3}/8)^2} = \sqrt{9/64 + 3/64} = \sqrt{12/64} = \sqrt{3/16} = \frac{\sqrt{3}}{4} \).
Таким образом, \( \vec{KP} = \vec{MQ} \), следовательно, четырехугольник \( KPQM \) является параллелограммом.

1. Площадь параллелограмма \( KPQM \):
Площадь параллелограмма, образованного векторами \( \vec{KP} \) и \( \vec{PQ} \), равна модулю их векторного произведения.
\( \vec{KP} = (3/8, \sqrt{3}/8, 0) \).
\( \vec{PQ} = Q - P = (5/8 - 7/8, 3\sqrt{3}/8 - \sqrt{3}/8, 1 - 0) = (-2/8, 2\sqrt{3}/8, 1) = (-1/4, \sqrt{3}/4, 1) \).
$ \vec{KP} \times \vec{PQ} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3/8 & \sqrt{3}/8 & 0 \\ -1/4 & \sqrt{3}/4 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(\sqrt{3}/8 \cdot 1 - 0 \cdot \sqrt{3}/4) - \mathbf{j}(3/8 \cdot 1 - 0 \cdot (-1/4)) + \mathbf{k}(3/8 \cdot \sqrt{3}/4 - \sqrt{3}/8 \cdot (-1/4)) $
$ = \mathbf{i}(\sqrt{3}/8) - \mathbf{j}(3/8) + \mathbf{k}(3\sqrt{3}/32 + \sqrt{3}/32) $
$ = (\sqrt{3}/8, -3/8, 4\sqrt{3}/32) = (\sqrt{3}/8, -3/8, \sqrt{3}/8) $
\( S_{KPQM} = \sqrt{(\sqrt{3}/8)^2 + (-3/8)^2 + (\sqrt{3}/8)^2} = \sqrt{3/64 + 9/64 + 3/64} = \sqrt{15/64} = \frac{\sqrt{15}}{8} \).

2. Площадь треугольника \( KML \):
Вершины \( K(1/2,0,0) \), \( M(1/4, \sqrt{3}/4, 1) \), \( L(0,0,1/2) \).
Векторы \( \vec{LK} = K - L = (1/2, 0, -1/2) \) и \( \vec{LM} = M - L = (1/4, \sqrt{3}/4, 1/2) \).
Площадь \( S_{KML} = 1/2 |\vec{LK} \times \vec{LM}| \).
Векторное произведение \( \vec{LK} \times \vec{LM} \) было найдено ранее как \( (\sqrt{3}/8, -3/8, \sqrt{3}/8) \).
Его модуль равен \( \sqrt{15}/8 \).
Следовательно, \( S_{KML} = 1/2 \cdot \frac{\sqrt{15}}{8} = \frac{\sqrt{15}}{16} \).

3. Общая площадь сечения:
Площадь пятиугольника \( KPQML \) равна сумме площади параллелограмма \( KPQM \) и площади треугольника \( KML \).
\( S = S_{KPQM} + S_{KML} = \frac{\sqrt{15}}{8} + \frac{\sqrt{15}}{16} = \frac{2\sqrt{15} + \sqrt{15}}{16} = \frac{3\sqrt{15}}{16} \).

Ответ: \( \frac{3\sqrt{15}}{16} \)

112. Изобразите сечение правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через вершину A и перпендикулярное прямой $BC_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Длина всех ребер $a = 1$.

Сечение проходит через вершину $A$.

Плоскость сечения перпендикулярна прямой $BC_1$.

Перевод в СИ:

Все данные уже представлены в безразмерных единицах, что является приемлемым для геометрических задач, где масштаб не влияет на относительные величины.

Найти:

Площадь сечения.

Решение:

1. Введем систему координат для удобства вычислений. Пусть вершина $C$ находится в начале координат $(0,0,0)$. Тогда координаты остальных вершин призмы (учитывая, что длина всех ребер равна 1) будут:

• $C(0,0,0)$
• $B(1,0,0)$ (ребро $CB$ лежит на оси $Ox$)
• $A(0.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ (так как $\triangle ABC$ - правильный, а $AB=BC=AC=1$)
• $C_1(0,0,1)$
• $B_1(1,0,1)$
• $A_1(0.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

2. Найдем вектор, задающий прямую $BC_1$. Этот вектор будет нормалью к плоскости сечения, так как плоскость перпендикулярна прямой $BC_1$.

Вектор $\vec{BC_1} = C_1 - B = (0-1, 0-0, 1-0) = (-1, 0, 1)$.

3. Составим уравнение плоскости сечения. Плоскость проходит через вершину $A(0.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ и имеет нормальный вектор $\vec{n} = (-1, 0, 1)$.

Уравнение плоскости: $A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$

$-1(x - 0.5) + 0(y - \frac{\sqrt{3}}{2}) + 1(z - 0) = 0$

$-x + 0.5 + z = 0$, или $x - z - 0.5 = 0$.

4. Найдем точки пересечения плоскости сечения с ребрами призмы.

Сечение уже проходит через вершину $A(0.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$. Проверим ее принадлежность плоскости: $0.5 - 0 - 0.5 = 0$. Верно.

• Пересечение с ребром $BB_1$: Точка на ребре $BB_1$ имеет координаты $(1, 0, t)$, где $0 \le t \le 1$.

  Подставим в уравнение плоскости: $1 - t - 0.5 = 0 \implies 0.5 - t = 0 \implies t = 0.5$.

  Точка пересечения $K(1, 0, 0.5)$. Поскольку $t=0.5$, $K$ является серединой ребра $BB_1$.

• Пересечение с ребром $CC_1$: Точка на ребре $CC_1$ имеет координаты $(0, 0, t)$, где $0 \le t \le 1$.

  Подставим в уравнение плоскости: $0 - t - 0.5 = 0 \implies t = -0.5$.

  Так как $t < 0$, плоскость не пересекает ребро $CC_1$ между $C$ и $C_1$.

• Пересечение с ребром $BC$: Точка на ребре $BC$ имеет координаты $(t, 0, 0)$, где $0 \le t \le 1$ (так как $C(0,0,0)$ и $B(1,0,0)$).

  Подставим в уравнение плоскости: $t - 0 - 0.5 = 0 \implies t = 0.5$.

  Точка пересечения $L(0.5, 0, 0)$. Поскольку $t=0.5$, $L$ является серединой ребра $BC$.

Таким образом, сечение представляет собой треугольник $AKL$, где $A(0.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ — вершина нижнего основания призмы, $K(1, 0, 0.5)$ — середина ребра $BB_1$, а $L(0.5, 0, 0)$ — середина ребра $BC$.

5. Найдем длины сторон треугольника $AKL$:

• Длина $AL$: $AL = \sqrt{(0.5-0.5)^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2}-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{0^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
• Длина $LK$: $LK = \sqrt{(1-0.5)^2 + (0-0)^2 + (0.5-0)^2} = \sqrt{(0.5)^2 + 0^2 + (0.5)^2} = \sqrt{0.25+0.25} = \sqrt{0.5} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
• Длина $AK$: $AK = \sqrt{(1-0.5)^2 + (0-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (0.5-0)^2} = \sqrt{(0.5)^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (0.5)^2} = \sqrt{0.25+0.75+0.25} = \sqrt{1.25} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

6. Проверим, является ли треугольник $AKL$ прямоугольным, используя теорему Пифагора:

$AL^2 = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4}$.

$LK^2 = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4}$.

$AK^2 = (\frac{\sqrt{5}}{2})^2 = \frac{5}{4}$.

Заметим, что $AL^2 + LK^2 = \frac{3}{4} + \frac{2}{4} = \frac{5}{4}$. Это равно $AK^2$.

Следовательно, по обратной теореме Пифагора, треугольник $AKL$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $L$ (угол $ALC$).

7. Вычислим площадь прямоугольного треугольника $AKL$.

Площадь $S_{AKL} = \frac{1}{2} \cdot AL \cdot LK = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{8}$.

Ответ:

Площадь сечения составляет $\frac{\sqrt{6}}{8}$.

113. Изобразите сечение правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины $A$, $B_1$ и параллельное прямой $BC_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Длина всех ребер призмы $a = 1$.

Сечение проходит через вершины $A$ и $B_1$.

Сечение параллельно прямой $BC_1$.

Перевод в СИ:

Все размеры даны в условных единицах длины, поэтому перевод в СИ не требуется.

Найти:

Изобразить сечение (описать его).

Площадь сечения.

Решение:

Изобразите сечение

Для определения сечения воспользуемся методом координат. Разместим вершину $A$ в начале координат $(0,0,0)$. Так как призма правильная и все её ребра равны 1, основание $ABC$ является равносторонним треугольником со стороной 1, а высота призмы (боковые ребра) также равна 1. Координаты вершин призмы будут:

• $A=(0,0,0)$
• $B=(1,0,0)$
• $C=(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• $A_1=(0,0,1)$
• $B_1=(1,0,1)$
• $C_1=(1/2, \sqrt{3}/2, 1)$

Сечение проходит через вершины $A=(0,0,0)$ и $B_1=(1,0,1)$.

Сечение параллельно прямой $BC_1$. Найдем вектор $\vec{BC_1}$:

$\vec{BC_1} = C_1 - B = (1/2 - 1, \sqrt{3}/2 - 0, 1 - 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$.

Плоскость сечения содержит точки $A$ и $B_1$, значит вектор $\vec{AB_1}$ лежит в этой плоскости:

$\vec{AB_1} = B_1 - A = (1,0,1)$.

Поскольку плоскость сечения параллельна прямой $BC_1$, нормальный вектор $\vec{n}$ плоскости должен быть ортогонален вектору $\vec{BC_1}$. Также $\vec{n}$ ортогонален вектору $\vec{AB_1}$. Следовательно, $\vec{n}$ можно найти как векторное произведение $\vec{AB_1} \times \vec{BC_1}$:

$\vec{n} = \vec{AB_1} \times \vec{BC_1} = \text{det}\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 1 \\ -1/2 & \sqrt{3}/2 & 1 \end{vmatrix} = (0 \cdot 1 - 1 \cdot \sqrt{3}/2)\mathbf{i} - (1 \cdot 1 - 1 \cdot (-1/2))\mathbf{j} + (1 \cdot \sqrt{3}/2 - 0 \cdot (-1/2))\mathbf{k}$

$\vec{n} = (-\sqrt{3}/2)\mathbf{i} - (1 + 1/2)\mathbf{j} + (\sqrt{3}/2)\mathbf{k} = (-\sqrt{3}/2, -3/2, \sqrt{3}/2)$.

Для удобства, умножим нормальный вектор на $-2/\sqrt{3}$, получим $\vec{n}' = (1, \sqrt{3}, -1)$.

Уравнение плоскости сечения имеет вид $x + \sqrt{3}y - z = D$. Так как точка $A(0,0,0)$ лежит в плоскости, $D=0$.

Уравнение плоскости сечения: $x + \sqrt{3}y - z = 0$.

Найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами призмы:

1. Ребро $AA_1$: Точки на этом ребре имеют вид $(0,0,z)$ для $0 \le z \le 1$. Подставим в уравнение плоскости: $0 + \sqrt{3} \cdot 0 - z = 0 \Rightarrow z=0$. Это точка $A(0,0,0)$, уже известна.
2. Ребро $BB_1$: Точки на этом ребре имеют вид $(1,0,z)$ для $0 \le z \le 1$. Подставим в уравнение плоскости: $1 + \sqrt{3} \cdot 0 - z = 0 \Rightarrow z=1$. Это точка $B_1(1,0,1)$, уже известна.
3. Ребро $CC_1$: Точки на этом ребре имеют вид $(1/2, \sqrt{3}/2, z)$ для $0 \le z \le 1$. Подставим в уравнение плоскости: $1/2 + \sqrt{3} \cdot (\sqrt{3}/2) - z = 0 \Rightarrow 1/2 + 3/2 - z = 0 \Rightarrow 2 - z = 0 \Rightarrow z=2$. Поскольку $z=2$ не лежит в отрезке $[0,1]$, плоскость не пересекает ребро $CC_1$ внутри призмы.
4. Ребро $A_1B_1$: Точки на этом ребре имеют вид $(x,y,1)$. $A_1=(0,0,1)$, $B_1=(1,0,1)$. Это отрезок, соединяющий $A_1$ и $B_1$. Подставим $z=1$ в уравнение плоскости: $x + \sqrt{3}y - 1 = 0$. Уравнение прямой $A_1B_1$ в плоскости $z=1$: $y=0$ и $0 \le x \le 1$. Подставим $y=0$: $x - 1 = 0 \Rightarrow x=1$. Это точка $B_1(1,0,1)$, уже известна.
5. Ребро $B_1C_1$: Точки на этом ребре имеют вид $(x,y,1)$. $B_1=(1,0,1)$, $C_1=(1/2, \sqrt{3}/2, 1)$. Это отрезок, соединяющий $B_1$ и $C_1$. Подставим $z=1$ в уравнение плоскости: $x + \sqrt{3}y - 1 = 0$. Отрезок $B_1C_1$ можно параметризовать как $(1-t)B_1 + tC_1 = (1-t)(1,0,1) + t(1/2, \sqrt{3}/2, 1) = (1-t/2, t\sqrt{3}/2, 1)$ для $0 \le t \le 1$. Подставим в уравнение плоскости: $(1-t/2) + \sqrt{3}(t\sqrt{3}/2) - 1 = 0 \Rightarrow 1-t/2 + 3t/2 - 1 = 0 \Rightarrow t = 0$. Это точка $B_1(1,0,1)$, уже известна.
6. Ребро $A_1C_1$: Точки на этом ребре имеют вид $(x,y,1)$. $A_1=(0,0,1)$, $C_1=(1/2, \sqrt{3}/2, 1)$. Это отрезок, соединяющий $A_1$ и $C_1$. Подставим $z=1$ в уравнение плоскости: $x + \sqrt{3}y - 1 = 0$. Отрезок $A_1C_1$ можно параметризовать как $(1-t)A_1 + tC_1 = (1-t)(0,0,1) + t(1/2, \sqrt{3}/2, 1) = (t/2, t\sqrt{3}/2, 1)$ для $0 \le t \le 1$. Подставим в уравнение плоскости: $t/2 + \sqrt{3}(t\sqrt{3}/2) - 1 = 0 \Rightarrow t/2 + 3t/2 - 1 = 0 \Rightarrow 2t = 1 \Rightarrow t=1/2$. Точка пересечения $P = ((1/2)/2, (1/2)\sqrt{3}/2, 1) = (1/4, \sqrt{3}/4, 1)$. Эта точка является серединой ребра $A_1C_1$.

Таким образом, сечение проходит через точки $A(0,0,0)$, $B_1(1,0,1)$ и $P(1/4, \sqrt{3}/4, 1)$. Эти три точки не лежат на одной прямой, поэтому сечение является треугольником $APB_1$.

Для изображения сечения необходимо начертить призму $ABCA_1B_1C_1$. Отметить вершины $A$ и $B_1$. Найти середину ребра $A_1C_1$ и обозначить её как $P$. Соединить отрезками точки $A$ с $B_1$, $A$ с $P$ и $B_1$ с $P$. Полученный треугольник $APB_1$ и будет искомым сечением.

Ответ: Сечением является треугольник $APB_1$, где $P$ - середина ребра $A_1C_1$.

Найдите его площадь

Площадь треугольника $APB_1$ можно найти, используя векторное произведение двух его сторон. Возьмем векторы $\vec{AB_1}$ и $\vec{AP}$.

Координаты точек: $A=(0,0,0)$, $B_1=(1,0,1)$, $P=(1/4, \sqrt{3}/4, 1)$.

Векторы сторон:

• $\vec{AB_1} = (1,0,1)$
• $\vec{AP} = (1/4, \sqrt{3}/4, 1)$

Вычислим векторное произведение $\vec{AB_1} \times \vec{AP}$:

$\vec{AB_1} \times \vec{AP} = \text{det}\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 1 \\ 1/4 & \sqrt{3}/4 & 1 \end{vmatrix} = (0 \cdot 1 - 1 \cdot \sqrt{3}/4)\mathbf{i} - (1 \cdot 1 - 1 \cdot 1/4)\mathbf{j} + (1 \cdot \sqrt{3}/4 - 0 \cdot 1/4)\mathbf{k}$

$= (-\sqrt{3}/4)\mathbf{i} - (1 - 1/4)\mathbf{j} + (\sqrt{3}/4)\mathbf{k} = (-\sqrt{3}/4, -3/4, \sqrt{3}/4)$.

Площадь треугольника равна половине модуля векторного произведения:

$S = \frac{1}{2} |\vec{AB_1} \times \vec{AP}|$

$|\vec{AB_1} \times \vec{AP}| = \sqrt{(-\sqrt{3}/4)^2 + (-3/4)^2 + (\sqrt{3}/4)^2}$

$ = \sqrt{3/16 + 9/16 + 3/16} = \sqrt{15/16} = \frac{\sqrt{15}}{4}$.

$S = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{15}}{4} = \frac{\sqrt{15}}{8}$.

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{\sqrt{15}}{8}$.

114. Изобразите сечение правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины A, D и $C_1$. Найдите его площадь.

Дано: Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Длина всех ребер $a = 1$. Сечение проходит через вершины $A, D, C_1$.

Перевод в СИ: Длина всех ребер $a = 1$ ед. Высота призмы $h = 1$ ед.

Найти: Площадь сечения.

Решение:Изображение сечения: Сечение проходит через вершины $A$ и $D$ нижнего основания $ABCDEF$ и вершину $C_1$ верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Отрезок $AD$ соединяет противоположные вершины правильного шестиугольника $ABCDEF$. Длина такой главной диагонали в правильном шестиугольнике со стороной $a$ равна $2a$. Следовательно, $AD = 2 \cdot 1 = 2$ ед.

Поскольку основания призмы ($ABCDEF$ и $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$) параллельны, то линии пересечения секущей плоскости с этими основаниями также параллельны. Отрезок $AD$ лежит в нижнем основании. В верхнем основании $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ главная диагональ $C_1F_1$ параллельна $AD$ (так как $AD \parallel CF$ и $CF \parallel C_1F_1$). Поскольку точка $C_1$ принадлежит сечению, а $AD$ является частью сечения, то $C_1F_1$ также является частью сечения. Длина $C_1F_1 = 2a = 2$ ед.

Таким образом, сечение является четырехугольником $ADC_1F_1$. Поскольку $AD \parallel C_1F_1$ и $AD = C_1F_1$, четырехугольник $ADC_1F_1$ является параллелограммом. Другие две стороны параллелограмма - это отрезки $AF_1$ и $DC_1$.

Нахождение площади: Для вычисления площади параллелограмма $ADC_1F_1$ нам понадобятся длины его смежных сторон. $AD = 2$ ед. (как главная диагональ основания). $DC_1$ является диагональю боковой грани $CDD_1C_1$. Боковая грань $CDD_1C_1$ представляет собой прямоугольник со сторонами $CD = a = 1$ ед. (сторона основания) и $DD_1 = h = 1$ ед. (высота призмы, равная длине ребра). Используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника $DDC_1$: $DC_1 = \sqrt{CD^2 + DD_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$ ед. Аналогично, $AF_1$ является диагональю боковой грани $AFF_1A_1$, которая также является прямоугольником со сторонами $AF = a = 1$ ед. и $AA_1 = h = 1$ ед. Следовательно, $AF_1 = \sqrt{AF^2 + AA_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ ед. Таким образом, параллелограмм $ADC_1F_1$ имеет стороны длиной $2$ ед. и $\sqrt{2}$ ед.

Для вычисления площади параллелограмма воспользуемся методом векторного произведения. Разместим центр нижнего основания в начале координат $(0,0,0)$. Координаты вершин: $A = (1, 0, 0)$ $D = (-1, 0, 0)$ $C_1 = (-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$ (вершина $C$ нижнего основания имеет координаты $(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$, а $C_1$ находится над $C$ на высоте $h=1$).

Рассмотрим векторы, образующие две смежные стороны параллелограмма $ADC_1F_1$: Вектор $\vec{DA} = A - D = (1 - (-1), 0 - 0, 0 - 0) = (2, 0, 0)$. Вектор $\vec{DC_1} = C_1 - D = (-1/2 - (-1), \sqrt{3}/2 - 0, 1 - 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$.

Площадь параллелограмма равна модулю векторного произведения этих двух векторов: $S = |\vec{DA} \times \vec{DC_1}|$ Вычислим векторное произведение: $\vec{DA} \times \vec{DC_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 0 & 0 \\ 1/2 & \sqrt{3}/2 & 1 \end{vmatrix}$ $= \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) - \mathbf{j}(2 \cdot 1 - 0 \cdot \frac{1}{2}) + \mathbf{k}(2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 0 \cdot \frac{1}{2})$ $= \mathbf{i}(0) - \mathbf{j}(2) + \mathbf{k}(\sqrt{3})$ $= (0, -2, \sqrt{3})$

Модуль полученного вектора равен площади параллелограмма: $S = \sqrt{0^2 + (-2)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{0 + 4 + 3} = \sqrt{7}$ ед.$^2$.

Ответ: $\sqrt{7}$