Страница 180 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

115. Изобразите сечение правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины $B, E$ и $C_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра призмы равны $1$. Это означает, что длина стороны основания $a = 1$ и высота призмы $h = 1$ (длина бокового ребра).

Сечение проходит через вершины $B, E, C_1$.

Найти:

Площадь сечения.

Решение:

Изобразите сечение

Сечение, проходящее через вершины $B$, $E$, $C_1$, является треугольником $BEC_1$. Для построения этого сечения необходимо соединить отрезками указанные вершины: $BE$, $EC_1$ и $C_1B$. Вершины $B$ и $E$ лежат в плоскости нижнего основания $ABCDEF$, а вершина $C_1$ лежит в плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Таким образом, сечение представляет собой плоскую фигуру - треугольник.

Ответ: Сечение является треугольником $BEC_1$.

Найдите его площадь

Для вычисления площади треугольника $BEC_1$ необходимо найти длины его сторон.

1. Длина стороны $BE$:

Отрезок $BE$ является главной диагональю правильного шестиугольника $ABCDEF$ (нижнего основания). Сторона шестиугольника $a=1$. Длина главной диагонали правильного шестиугольника равна $2a$.

$BE = 2 \cdot 1 = 2$.

2. Длина стороны $C_1B$:

Отрезок $C_1B$ является диагональю боковой грани $BCC_1B_1$. Так как все ребра призмы равны $1$, грань $BCC_1B_1$ представляет собой квадрат со стороной $1$ ($BC=1$, $CC_1=1$).

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $BCC_1$ ($CC_1 \perp BC$):

$C_1B = \sqrt{BC^2 + CC_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.

3. Длина стороны $EC_1$:

Рассмотрим треугольник $ECC_1$. Это прямоугольный треугольник, поскольку боковое ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости нижнего основания $ABCDEF$, а следовательно, перпендикулярно любому отрезку, лежащему в этой плоскости, включая $EC$.

Сначала найдем длину отрезка $EC$. $EC$ является малой диагональю правильного шестиугольника $ABCDEF$ (соединяет вершины через одну). Длина такой диагонали для правильного шестиугольника со стороной $a$ равна $a\sqrt{3}$.

$EC = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Теперь, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника $ECC_1$ ($CC_1 \perp EC$):

$EC_1 = \sqrt{EC^2 + CC_1^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

Таким образом, стороны треугольника $BEC_1$ имеют длины: $BE=2$, $C_1B=\sqrt{2}$, $EC_1=2$.

Треугольник $BEC_1$ является равнобедренным, поскольку две его стороны равны ($BE=EC_1=2$). Основание равнобедренного треугольника - сторона $C_1B=\sqrt{2}$.

Найдем высоту $h_k$ этого равнобедренного треугольника, опущенную из вершины $E$ на основание $C_1B$. Пусть $K$ - середина отрезка $C_1B$. Тогда $KC_1 = \frac{C_1B}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Из прямоугольного треугольника $EKC_1$ (где $EK$ - высота, $KC_1$ - половина основания, $EC_1$ - боковая сторона):

$h_k^2 = EC_1^2 - KC_1^2 = 2^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 4 - \frac{2}{4} = 4 - \frac{1}{2} = \frac{8-1}{2} = \frac{7}{2}$.

$h_k = \sqrt{\frac{7}{2}} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{7} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{14}}{2}$.

Площадь треугольника $S_{BEC_1}$ вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.

$S_{BEC_1} = \frac{1}{2} \cdot C_1B \cdot h_k = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{14}}{2} = \frac{\sqrt{2 \cdot 14}}{4} = \frac{\sqrt{28}}{4} = \frac{2\sqrt{7}}{4} = \frac{\sqrt{7}}{2}$.

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{\sqrt{7}}{2}$.

116. Изобразите сечение правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины $C, F$ и $E_1$. Найдите его площадь.

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
Все рёбра призмы равны 1.

Длина ребра основания призмы: $a = 1$
Высота призмы: $h = 1$

1. Изобразить сечение, проходящее через вершины $C$, $F$ и $E_1$.
2. Площадь сечения.

1. Изображение сечения:
Сечение, проходящее через три точки $C$, $F$ и $E_1$, является треугольником $CFE_1$, так как эти точки не лежат на одной прямой.
Для изображения сечения необходимо выполнить следующие шаги:
a) Начертить правильную шестиугольную призму $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ с основаниями $ABCDEF$ и $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
b) Соединить вершины $C$ и $F$ на нижнем основании. Отрезок $CF$ будет диагональю шестиугольника $ABCDEF$.
c) Соединить вершины $F$ (нижнего основания) и $E_1$ (верхнего основания). Отрезок $FE_1$ будет диагональю боковой грани $FEE_1F_1$.
d) Соединить вершины $C$ (нижнего основания) и $E_1$ (верхнего основания). Отрезок $CE_1$ соединяет вершину нижнего основания с вершиной верхнего основания.
Таким образом, образуется треугольник $CFE_1$, который и является искомым сечением.

2. Нахождение площади сечения:
Для вычисления площади треугольника $CFE_1$ определим длины его сторон. Из условия задачи все рёбра призмы равны 1. Это означает, что длина стороны основания шестиугольника $a=1$ и высота призмы $h=1$.

Длина стороны $CF$:
Вершины $C$ и $F$ принадлежат нижнему основанию $ABCDEF$. В правильном шестиугольнике с вершинами, расположенными в порядке $A, B, C, D, E, F$ против часовой стрелки, отрезок $CF$ является большой диагональю, проходящей через центр шестиугольника. Длина большой диагонали правильного шестиугольника равна $2a$.
Следовательно, $CF = 2 \cdot 1 = 2$.

Длина стороны $FE_1$:
Отрезок $FE_1$ является диагональю прямоугольной боковой грани $FEE_1F_1$. Сторона $FE$ является ребром основания и равна $a=1$. Сторона $EE_1$ является боковым ребром призмы (высотой) и равна $h=1$.
По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $FEE_1$:
$FE_1^2 = FE^2 + EE_1^2 = a^2 + h^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$.
$FE_1 = \sqrt{2}$.

Длина стороны $CE_1$:
Отрезок $CE_1$ соединяет вершину $C$ нижнего основания с вершиной $E_1$ верхнего основания. Рассмотрим прямоугольный треугольник $CEE_1$, где $E$ является проекцией вершины $E_1$ на плоскость нижнего основания. Катет $EE_1$ - это высота призмы, $EE_1 = h = 1$.
Катет $CE$ - это диагональ нижнего основания. В правильном шестиугольнике отрезок $CE$ соединяет вершины, разделённые одной вершиной ($D$). Длина такой диагонали (короткой диагонали) равна $a\sqrt{3}$.
Следовательно, $CE = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.
По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $CEE_1$:
$CE_1^2 = CE^2 + EE_1^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$.
$CE_1 = \sqrt{4} = 2$.

Таким образом, мы получили треугольник $CFE_1$ со сторонами: $CF=2$, $FE_1=\sqrt{2}$, $CE_1=2$.
Так как $CF = CE_1 = 2$, треугольник $CFE_1$ является равнобедренным с основанием $FE_1 = \sqrt{2}$.
Для вычисления площади равнобедренного треугольника, проведём высоту $CK$ из вершины $C$ к основанию $FE_1$. Высота $CK$ делит основание $FE_1$ пополам, поэтому $K$ является серединой $FE_1$.
$FK = FE_1 / 2 = \sqrt{2} / 2$.
В прямоугольном треугольнике $CKF$ (или $CKE_1$) по теореме Пифагора:
$CK^2 = CF^2 - FK^2 = 2^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 4 - \frac{2}{4} = 4 - \frac{1}{2} = \frac{8}{2} - \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$.
$CK = \sqrt{\frac{7}{2}} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{7}\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{14}}{2}$.
Площадь треугольника $S$ вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.
$S = \frac{1}{2} \cdot FE_1 \cdot CK = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{14}}{2} = \frac{1}{4} \cdot \sqrt{2 \cdot 14} = \frac{1}{4} \cdot \sqrt{28} = \frac{1}{4} \cdot \sqrt{4 \cdot 7} = \frac{1}{4} \cdot 2\sqrt{7} = \frac{\sqrt{7}}{2}$.

Сечением является треугольник $CFE_1$. Его площадь равна $\frac{\sqrt{7}}{2}$.

117. Изобразите сечение правильной шестиугольной призмы $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины $D, A$ и $E_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра равны $a = 1$. Это означает, что длина стороны основания призмы $a=1$, и высота призмы $h=1$.

Сечение проходит через вершины $D$, $A$ и $E_1$.

Перевод в СИ:

Все размеры даны в относительных единицах. Для вычислений можно использовать их как есть.

Найти:

1. Изобразить (описать) сечение.

2. Площадь сечения.

Решение:

Изобразите сечение

Сечение призмы задается тремя точками $A$, $D$ и $E_1$.

1. Точки $A$ и $D$ лежат в нижнем основании призмы $ABCDEF$. Отрезок $AD$ является большой диагональю правильного шестиугольника $ABCDEF$. Длина этой диагонали равна двум длинам стороны шестиугольника, т.е. $AD = 2a = 2 \cdot 1 = 2$.

2. Точка $E_1$ лежит в верхнем основании призмы $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

3. Плоскость сечения проходит через $AD$. Так как нижнее и верхнее основания призмы параллельны, то линия пересечения секущей плоскости с верхним основанием должна быть параллельна линии пересечения с нижним основанием. То есть, если секущая плоскость пересекает нижнее основание по линии $AD$, то она пересечет верхнее основание по линии, проходящей через $E_1$ и параллельной $AD$.

4. В правильном шестиугольнике $AD$ параллельна стороне $EF$. Следовательно, в верхнем основании $AD$ параллельна $E_1F_1$. Поскольку $E_1$ является одной из заданных точек, и $AD$ параллельна $E_1F_1$, то линия пересечения секущей плоскости с верхним основанием будет отрезок $E_1F_1$. Длина $E_1F_1$ равна стороне шестиугольника, т.е. $E_1F_1 = a = 1$.

5. Таким образом, сечение является четырехугольником $ADE_1F_1$. Поскольку $AD \parallel E_1F_1$, этот четырехугольник является трапецией.

6. Найдем длины боковых сторон трапеции $AF_1$ и $DE_1$.

   Рассмотрим отрезок $AF_1$. Он соединяет вершину $A$ нижнего основания с вершиной $F_1$ верхнего основания. В прямоугольном треугольнике $AFF_1$ (где $FF_1$ — высота призмы, а $AF$ — отрезок в основании):

   Длина $AF$ в правильном шестиугольнике $ABCDEF$ со стороной $a=1$: $AF$ является стороной шестиугольника (если вершины нумеруются по кругу $A,B,C,D,E,F$), поэтому $AF=a=1$.

   Высота призмы $FF_1 = h = 1$.

   По теореме Пифагора: $AF_1 = \sqrt{AF^2 + FF_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.

   Рассмотрим отрезок $DE_1$. Он соединяет вершину $D$ нижнего основания с вершиной $E_1$ верхнего основания. В прямоугольном треугольнике $DEE_1$ (где $EE_1$ — высота призмы, а $DE$ — отрезок в основании):

   Длина $DE$ является стороной шестиугольника $ABCDEF$, поэтому $DE=a=1$.

   Высота призмы $EE_1 = h = 1$.

   По теореме Пифагора: $DE_1 = \sqrt{DE^2 + EE_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.

7. Так как $AF_1 = DE_1 = \sqrt{2}$, трапеция $ADE_1F_1$ является равнобедренной.

Ответ: Сечение представляет собой равнобедренную трапецию $ADE_1F_1$.

Найдите его площадь

Для нахождения площади трапеции $ADE_1F_1$ используем формулу $S = \frac{b_1+b_2}{2}h_s$, где $b_1$ и $b_2$ — длины параллельных оснований, а $h_s$ — высота трапеции.

Основания трапеции: $b_1 = AD = 2$ и $b_2 = E_1F_1 = 1$.

Найдем высоту $h_s$ равнобедренной трапеции. Опустим перпендикуляры из вершин $F_1$ и $E_1$ на продолжение основания $AD$. Пусть точки пересечения будут $K$ и $L$ соответственно. В этом случае $AK = LD = \frac{AD - E_1F_1}{2} = \frac{2-1}{2} = \frac{1}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной $AF_1$, ее проекцией $AK$ на основание $AD$, и высотой трапеции $h_s$.

По теореме Пифагора: $h_s^2 = AF_1^2 - AK^2$.

$h_s^2 = (\sqrt{2})^2 - (\frac{1}{2})^2 = 2 - \frac{1}{4} = \frac{8}{4} - \frac{1}{4} = \frac{7}{4}$.

$h_s = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$.

Теперь вычислим площадь трапеции:

$S = \frac{AD + E_1F_1}{2} \cdot h_s = \frac{2+1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{2} = \frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{2} = \frac{3\sqrt{7}}{4}$.

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{3\sqrt{7}}{4}$.

118. Изобразите сечение правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины $B, E$ и $F_1$. Найдите его площадь.

Дано

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра равны 1. То есть, сторона основания $a = 1$, высота призмы $h = 1$.

Сечение проходит через вершины $B$, $E$, $F_1$.

Перевод в СИ

Так как единицы измерения не указаны, принимаем длину ребра за $1$ условную единицу.

$a = 1$ (ед. длины)

$h = 1$ (ед. длины)

Найти

Площадь сечения $S_{BEF_1}$.

Решение

Изобразите сечение

Сечение, проходящее через три вершины $B$, $E$, $F_1$, является треугольником $BEF_1$. Для построения сечения необходимо соединить эти вершины. Сегмент $BE$ лежит в плоскости нижнего основания $ABCDEF$. Сегменты $BF_1$ и $EF_1$ являются пространственными диагоналями.

Найдем длины сторон треугольника $BEF_1$.

1. Длина стороны $BE$: Вершины $B$ и $E$ лежат в нижнем основании, которое является правильным шестиугольником со стороной $a=1$. Диагональ $BE$ соединяет противоположные вершины шестиугольника. Длина такой диагонали равна $2a$.

Таким образом, $BE = 2 \cdot 1 = 2$.

2. Длина стороны $EF_1$: Вершины $E$ и $F$ лежат в нижнем основании, а $F_1$ - в верхнем. Ребро $EF$ является стороной нижнего основания, $EF = a = 1$. Ребро $FF_1$ является боковым ребром призмы, $FF_1 = h = 1$. Боковая грань $EFF_1E_1$ является квадратом, так как $EF = FF_1 = 1$. $EF_1$ является диагональю этого квадрата.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $EFF_1$:

$EF_1 = \sqrt{EF^2 + FF_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

3. Длина стороны $BF_1$: Вершина $B$ лежит в нижнем основании, а $F_1$ - в верхнем. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BFF_1$. Катет $FF_1$ - это высота призмы $h = 1$. Катет $BF$ - это диагональ нижнего основания. Диагональ $BF$ соединяет вершины, расположенные "через одну" ($B$ и $F$ разделены $A$). Длина такой диагонали в правильном шестиугольнике со стороной $a$ равна $a\sqrt{3}$.

Таким образом, $BF = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Теперь найдем $BF_1$ по теореме Пифагора для треугольника $BFF_1$:

$BF_1 = \sqrt{BF^2 + FF_1^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

Таким образом, треугольник $BEF_1$ имеет стороны: $BE = 2$, $EF_1 = \sqrt{2}$, $BF_1 = 2$.

Это равнобедренный треугольник с основанием $EF_1 = \sqrt{2}$ и равными сторонами $BE = BF_1 = 2$.

Ответ: Сечение является равнобедренным треугольником $BEF_1$ со сторонами $BE=2$, $EF_1=\sqrt{2}$, $BF_1=2$.

Найдите его площадь

Для нахождения площади равнобедренного треугольника $BEF_1$ (со сторонами $2, 2, \sqrt{2}$) опустим высоту из вершины $B$ на основание $EF_1$. Пусть $M$ - середина $EF_1$. Тогда $BM$ - высота.

В прямоугольном треугольнике $BME$:

Гипотенуза $BE = 2$.

Катет $ME = \frac{EF_1}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Высота $BM = \sqrt{BE^2 - ME^2}$

$BM = \sqrt{2^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{4 - \frac{2}{4}} = \sqrt{4 - \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{8 - 1}{2}} = \sqrt{\frac{7}{2}} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{14}}{2}$.

Площадь треугольника $BEF_1$ равна:

$S_{BEF_1} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot EF_1 \cdot BM$

$S_{BEF_1} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{14}}{2} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2 \cdot 7}}{4} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{7}}{4} = \frac{2\sqrt{7}}{4} = \frac{\sqrt{7}}{2}$.

Ответ: $S_{BEF_1} = \frac{\sqrt{7}}{2}$.

119. Изобразите сечение правильной шестиугольной призмы $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины $C$, $F$ и $A_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер призмы равна 1. Это означает, что сторона основания $a = 1$ и высота призмы $h = 1$.

Сечение проходит через вершины $C$, $F$ и $A_1$.

Перевод в систему СИ:

Длины ребер уже заданы в виде числового значения 1, что является безразмерной величиной или условной единицей длины. Для вычислений это не требует дополнительного перевода в конкретные СИ-единицы, такие как метры, если в задаче не указано иное.

Найти:

Площадь сечения $S_{CFA_1}$.

Решение:

Изображение сечения:

Сечение, проходящее через три заданные вершины $C$, $F$ и $A_1$, является треугольником. Таким образом, нам нужно найти площадь треугольника $CFA_1$.

Нахождение сторон треугольника $CFA_1$:

Для вычисления площади треугольника $CFA_1$ нам необходимо знать длины его сторон.

1. Сторона $CF$ лежит в основании $ABCDEF$. Это большая диагональ правильного шестиугольника со стороной $a = 1$. Длина большой диагонали правильного шестиугольника равна $2a$.

$CF = 2 \cdot a = 2 \cdot 1 = 2$.

2. Сторона $FA_1$ соединяет вершину $F$ нижнего основания с вершиной $A_1$ верхнего основания. Рассмотрим прямоугольный треугольник $FAA_1$. Катетами этого треугольника являются сторона основания $FA$ и высота призмы $AA_1$.

$FA = a = 1$ (сторона шестиугольника).

$AA_1 = h = 1$ (высота призмы).

По теореме Пифагора:

$FA_1^2 = FA^2 + AA_1^2$

$FA_1^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$

$FA_1 = \sqrt{2}$.

3. Сторона $A_1C$ соединяет вершину $C$ нижнего основания с вершиной $A_1$ верхнего основания. Рассмотрим прямоугольный треугольник $A_1AC$. Катетами этого треугольника являются диагональ $AC$ нижнего основания и высота призмы $AA_1$.

Диагональ $AC$ является малой диагональю правильного шестиугольника со стороной $a = 1$. Длина малой диагонали правильного шестиугольника равна $a\sqrt{3}$.

$AC = a\sqrt{3} = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Высота призмы $AA_1 = h = 1$.

По теореме Пифагора:

$A_1C^2 = AC^2 + AA_1^2$

$A_1C^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$

$A_1C = \sqrt{4} = 2$.

Таким образом, длины сторон треугольника $CFA_1$ равны: $CF = 2$, $FA_1 = \sqrt{2}$, $A_1C = 2$.

Нахождение площади треугольника $CFA_1$:

Поскольку $CF = A_1C = 2$, треугольник $CFA_1$ является равнобедренным с основанием $FA_1 = \sqrt{2}$. Однако удобнее взять за основание сторону $CF$, так как она целое число.

Проведем высоту $A_1M$ из вершины $A_1$ к основанию $CF$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. Следовательно, точка $M$ является серединой отрезка $CF$.

$CM = MF = \frac{CF}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $A_1MC$. У нас есть гипотенуза $A_1C = 2$ и катет $CM = 1$. Найдем высоту $A_1M$ по теореме Пифагора:

$A_1M^2 + CM^2 = A_1C^2$

$A_1M^2 + 1^2 = 2^2$

$A_1M^2 + 1 = 4$

$A_1M^2 = 3$

$A_1M = \sqrt{3}$.

Площадь треугольника $CFA_1$ вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.

$S_{CFA_1} = \frac{1}{2} \cdot CF \cdot A_1M$

$S_{CFA_1} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{3}$

$S_{CFA_1} = \sqrt{3}$.

Ответ:

Площадь сечения равна $\sqrt{3}$.

120. Изобразите сечение правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины $A$, $B$ и $D_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер $a = 1$.

Сечение проходит через вершины $A$, $B$, $D_1$.

Найти:

Площадь сечения $S_{сеч}$.

Решение:

Изобразите сечение

Сечение призмы плоскостью, проходящей через три заданные вершины $A$, $B$ и $D_1$, является треугольником $ABD_1$. Вершины $A$ и $B$ лежат в плоскости нижнего основания призмы, а вершина $D_1$ лежит в плоскости верхнего основания.

Отрезок $AB$ является стороной правильного шестиугольника, лежащего в основании призмы. Отрезки $AD_1$ и $BD_1$ являются диагоналями боковых граней призмы.

Ответ: Сечение представляет собой треугольник $ABD_1$.

Найдите его площадь

Для нахождения площади треугольника $ABD_1$ вычислим длины его сторон.

1.Длина стороны $AB$:

$AB$ – это сторона правильного шестиугольника, лежащего в основании. По условию, длина всех ребер равна 1.

$AB = 1$.

2.Длина стороны $BD_1$:

Рассмотрим треугольник $BDD_1$. Это прямоугольный треугольник, так как $DD_1$ является боковым ребром призмы и перпендикулярен плоскости основания.

Длина ребра $DD_1 = 1$ (высота призмы).

Длина отрезка $BD$ – это малая диагональ правильного шестиугольника со стороной $a=1$. Длина малой диагонали правильного шестиугольника вычисляется по формуле $a\sqrt{3}$.

$BD = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $\Delta BDD_1$:

$BD_1^2 = BD^2 + DD_1^2$

$BD_1^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$

$BD_1 = \sqrt{4} = 2$.

3.Длина стороны $AD_1$:

Рассмотрим треугольник $ADD_1$. Это прямоугольный треугольник, так как $DD_1$ перпендикулярен плоскости основания.

Длина ребра $DD_1 = 1$ (высота призмы).

Длина отрезка $AD$ – это большая диагональ правильного шестиугольника со стороной $a=1$. Длина большой диагонали правильного шестиугольника вычисляется по формуле $2a$.

$AD = 2 \cdot 1 = 2$.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $\Delta ADD_1$:

$AD_1^2 = AD^2 + DD_1^2$

$AD_1^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$

$AD_1 = \sqrt{5}$.

Таким образом, стороны треугольника $ABD_1$ имеют длины:

$AB = 1$

$BD_1 = 2$

$AD_1 = \sqrt{5}$

Проверим, является ли треугольник $ABD_1$ прямоугольным, используя обратную теорему Пифагора:

$AB^2 + BD_1^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$

$AD_1^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$

Так как $AB^2 + BD_1^2 = AD_1^2$, треугольник $ABD_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$.

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется как половина произведения длин катетов:

$S_{ABD_1} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BD_1$

$S_{ABD_1} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 1$.

Ответ: $1$

121. Изобразите сечение правильной шестиугольной призмы $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины $B$, $C_1$ и $E_1$. Найдите его площадь.

Дано

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер призмы $a = 1$.

Сечение проходит через вершины $B$, $C_1$, и $E$.

Перевод в СИ:

Длина ребра основания $a = 1$ (единица длины).

Высота призмы $h = 1$ (единица длины), так как все ребра равны.

Найти:

Изображение сечения.

Площадь сечения.

Решение

Построение сечения

Сечение определяется тремя точками $B$, $C_1$, $E$.

Точки $B$ и $E$ лежат в плоскости нижнего основания $ABCDEF$. Соединим их отрезком $BE$. Этот отрезок является стороной сечения.

Точки $B$ и $C_1$ лежат в плоскости боковой грани $BCC_1B_1$. Соединим их отрезком $BC_1$. Этот отрезок также является стороной сечения.

Для завершения сечения необходимо соединить точки $E$ и $C_1$ отрезком $EC_1$. Этот отрезок является третьей стороной сечения.

Таким образом, сечением является треугольник $BEC_1$.

Расчет площади сечения

Для нахождения площади треугольника $BEC_1$ необходимо вычислить длины его сторон.

1. Длина стороны $BE$:

Отрезок $BE$ соединяет две противоположные вершины правильного шестиугольника $ABCDEF$. В правильном шестиугольнике со стороной $a$, длина главной диагонали (соединяющей противоположные вершины) равна $2a$.

Так как $a = 1$, то $BE = 2 \times 1 = 2$.

2. Длина стороны $BC_1$:

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BCC_1$. Катет $BC$ является стороной основания призмы, $BC = a = 1$. Катет $CC_1$ является высотой призмы, $CC_1 = h = 1$.

По теореме Пифагора:

$BC_1^2 = BC^2 + CC_1^2$

$BC_1^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$

$BC_1 = \sqrt{2}$

3. Длина стороны $EC_1$:

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ECC_1$. Катет $EC$ является малой диагональю (или короткой) правильного шестиугольника $ABCDEF$. Длина малой диагонали шестиугольника со стороной $a$ равна $a\sqrt{3}$.

Так как $a = 1$, то $EC = 1 \times \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Катет $CC_1$ является высотой призмы, $CC_1 = h = 1$.

По теореме Пифагора:

$EC_1^2 = EC^2 + CC_1^2$

$EC_1^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$

$EC_1 = \sqrt{4} = 2$

Таким образом, стороны треугольника $BEC_1$ имеют длины: $BE = 2$, $BC_1 = \sqrt{2}$, $EC_1 = 2$.

Мы видим, что треугольник $BEC_1$ является равнобедренным с равными сторонами $BE = EC_1 = 2$ и основанием $BC_1 = \sqrt{2}$.

Для вычисления площади равнобедренного треугольника можно использовать формулу: $S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}$.

Опустим высоту $h_s$ из вершины $E$ на основание $BC_1$. Пусть $M$ - середина $BC_1$. Тогда $EM$ - высота.

Длина отрезка $MC_1 = \frac{BC_1}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

В прямоугольном треугольнике $EMC_1$ (с гипотенузой $EC_1$):

$h_s^2 = EM^2 = EC_1^2 - MC_1^2$

$h_s^2 = 2^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 4 - \frac{2}{4} = 4 - \frac{1}{2} = \frac{8-1}{2} = \frac{7}{2}$

$h_s = \sqrt{\frac{7}{2}} = \frac{\sqrt{14}}{2}$

Площадь треугольника $BEC_1$:

$S_{BEC_1} = \frac{1}{2} \times BC_1 \times h_s$

$S_{BEC_1} = \frac{1}{2} \times \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{14}}{2} = \frac{\sqrt{2 \times 14}}{4} = \frac{\sqrt{28}}{4} = \frac{2\sqrt{7}}{4} = \frac{\sqrt{7}}{2}$

Ответ:

Сечение представляет собой треугольник $BEC_1$.

Площадь сечения равна $\frac{\sqrt{7}}{2}$.

122. Изобразите сечение правильной шестиугольной призмы

$ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, проходящее

через вершины $C, D_1$ и $F$. Найдите его площадь.

Дано

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
Все ребра равны 1.

Перевод в СИ

Длина стороны основания $a = 1$.
Высота призмы $h = 1$.

Найти:

Площадь сечения, проходящего через вершины $C, D_1, F$.

Решение

Сечение, проходящее через три вершины $C$, $D_1$, и $F$, образует треугольник $CFD_1$.
Для его построения необходимо соединить вершины $C$ и $F$ на нижнем основании, а затем соединить каждую из этих вершин с вершиной $D_1$ на верхнем основании. Для нахождения площади этого треугольника необходимо определить длины его сторон: $CF$, $CD_1$, $FD_1$.

1. Длина стороны $CF$. Вершины $C$ и $F$ лежат в плоскости нижнего основания $ABCDEF$. $CF$ является главной диагональю правильного шестиугольника. Длина главной диагонали правильного шестиугольника со стороной $a$ равна $2a$.
Так как $a=1$, то $CF = 2 \times 1 = 2$.

2. Длина стороны $CD_1$. Вершина $C$ лежит в нижнем основании, а вершина $D_1$ — в верхнем. Рассмотрим прямоугольный треугольник $CDD_1$, где $D$ является проекцией $D_1$ на нижнее основание. Катет $CD$ является стороной правильного шестиугольника основания, поэтому $CD = a = 1$. Катет $DD_1$ является высотой призмы, $DD_1 = h = 1$. По теореме Пифагора:
$CD_1 = \sqrt{CD^2 + DD_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

3. Длина стороны $FD_1$. Вершина $F$ лежит в нижнем основании, а вершина $D_1$ — в верхнем. Рассмотрим прямоугольный треугольник $FDD_1$, где $D$ является проекцией $D_1$ на нижнее основание. Катет $FD$ является малой диагональю правильного шестиугольника основания (соединяет вершины $F$ и $D$, между которыми одна вершина $E$). Длина малой диагонали правильного шестиугольника со стороной $a$ равна $a\sqrt{3}$.
Так как $a=1$, то $FD = 1 \times \sqrt{3} = \sqrt{3}$. Катет $DD_1$ является высотой призмы, $DD_1 = h = 1$. По теореме Пифагора:
$FD_1 = \sqrt{FD^2 + DD_1^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

Таким образом, треугольник $CFD_1$ имеет стороны $CF=2$, $CD_1=\sqrt{2}$, $FD_1=2$. Этот треугольник является равнобедренным с основанием $CD_1=\sqrt{2}$ и равными сторонами $CF=FD_1=2$.

Площадь равнобедренного треугольника можно найти, проведя высоту к основанию. Пусть $M$ — середина основания $CD_1$. Тогда высота $FM$ перпендикулярна $CD_1$. В прямоугольном треугольнике $FMC$:
$CM = \frac{CD_1}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
По теореме Пифагора:
$FM^2 + CM^2 = CF^2$
$FM^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 2^2$
$FM^2 + \frac{2}{4} = 4$
$FM^2 + \frac{1}{2} = 4$
$FM^2 = 4 - \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$
$FM = \sqrt{\frac{7}{2}} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{7} \times \sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{14}}{2}$.

Площадь треугольника $S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}$.
$S_{CFD_1} = \frac{1}{2} \times CD_1 \times FM = \frac{1}{2} \times \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{14}}{2}$
$S_{CFD_1} = \frac{\sqrt{2} \times \sqrt{14}}{4} = \frac{\sqrt{28}}{4} = \frac{2\sqrt{7}}{4} = \frac{\sqrt{7}}{2}$.

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{\sqrt{7}}{2}$.

123. Изобразите сечение правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины $D$, $E$ и $A_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех рёбер призмы равна $1$. Это означает, что сторона основания $a = 1$ и высота призмы $h = 1$.

Сечение проходит через вершины $D$, $E$ и $A_1$.

Найти:

Изобразите сечение: Описание геометрической формы сечения.

Найдите его площадь: Площадь сечения $S_{A_1DE}$.

Решение:

Изобразите сечение

Сечение, проходящее через три заданные вершины $D$, $E$ и $A_1$, является плоскостью, которая в данном случае определяет треугольник. Таким образом, искомое сечение — это треугольник $A_1DE$.

Вершины $D$ и $E$ являются смежными вершинами нижнего основания шестиугольной призмы $ABCDEF$. Отрезок $DE$ является ребром этого основания.

Вершина $A_1$ является вершиной верхнего основания призмы $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Стороны треугольника $A_1DE$ - это отрезки $DE$, $A_1D$ и $A_1E$.

Ответ: Сечение представляет собой треугольник $A_1DE$.

Найдите его площадь

Для нахождения площади треугольника $A_1DE$ вычислим длины его сторон.

1. Длина стороны $DE$:

Поскольку $DE$ является ребром основания правильной шестиугольной призмы, и по условию длина всех рёбер равна $1$, то:

$DE = 1$

2. Длина стороны $A_1D$:

Рассмотрим прямоугольный треугольник $A_1AD$. Катет $AA_1$ - это высота призмы, которая равна длине ребра, то есть $AA_1 = 1$. Катет $AD$ - это главная (большая) диагональ правильного шестиугольника $ABCDEF$. Длина главной диагонали правильного шестиугольника со стороной $a$ равна $2a$. В нашем случае $a=1$, поэтому:

$AD = 2 \cdot 1 = 2$

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $A_1AD$ (где $A_1D$ - гипотенуза):

$A_1D^2 = AA_1^2 + AD^2$

$A_1D^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$

$A_1D = \sqrt{5}$

3. Длина стороны $A_1E$:

Рассмотрим прямоугольный треугольник $A_1AE$. Катет $AA_1$ - это высота призмы, $AA_1 = 1$. Катет $AE$ - это меньшая диагональ правильного шестиугольника $ABCDEF$. Длина меньшей диагонали правильного шестиугольника со стороной $a$ равна $a\sqrt{3}$. В нашем случае $a=1$, поэтому:

$AE = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $A_1AE$ (где $A_1E$ - гипотенуза):

$A_1E^2 = AA_1^2 + AE^2$

$A_1E^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4$

$A_1E = \sqrt{4} = 2$

Итак, мы нашли длины всех сторон треугольника $A_1DE$: $DE = 1$, $A_1D = \sqrt{5}$, $A_1E = 2$.

Проверим, является ли треугольник $A_1DE$ прямоугольным, используя обратную теорему Пифагора:

$DE^2 + A_1E^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$

$A_1D^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$

Так как $DE^2 + A_1E^2 = A_1D^2$, треугольник $A_1DE$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $E$ (угол $\angle DEA_1 = 90^\circ$).

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения длин его катетов. В данном случае катетами являются стороны $DE$ и $A_1E$.

$S_{A_1DE} = \frac{1}{2} \cdot DE \cdot A_1E$

$S_{A_1DE} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 1$

Ответ: Площадь сечения равна $1$.

124. Изобразите сечение правильной шестиугольной призмы $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины $E$, $F$ и $B_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер $a = 1$.

Сечение проходит через вершины $E, F, B_1$.

Перевод в систему СИ:

Длина всех ребер $a = 1$ м.

Найти:

Площадь сечения.

Решение:

Изобразите сечение правильной шестиугольной призмы

Обозначим вершины нижнего основания как $A, B, C, D, E, F$ и вершины верхнего основания как $A_1, B_1, C_1, D_1, E_1, F_1$. По условию, все ребра призмы равны 1, что означает, что сторона основания $a = 1$ и высота призмы $h = 1$.

Сечение проходит через вершины $E$ и $F$, которые лежат в нижнем основании, и вершину $B_1$, которая лежит в верхнем основании.

1. Отрезок $EF$ является стороной сечения, так как точки $E$ и $F$ лежат в одной плоскости (плоскости нижнего основания $ABCDEF$). Длина $EF = a = 1$.
2. Поскольку основания призмы параллельны, линии пересечения плоскости сечения с плоскостями оснований должны быть параллельны.
3. В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ сторона $EF$ параллельна стороне $BC$.
4. Так как $BC$ и $B_1C_1$ являются соответствующими сторонами оснований правильной призмы, то $BC \parallel B_1C_1$.
5. Из пунктов 3 и 4 следует, что $EF \parallel B_1C_1$.
6. Поскольку плоскость сечения содержит точку $B_1$ и линия пересечения с верхним основанием должна быть параллельна $EF$, то эта линия должна быть $B_1C_1$. Следовательно, вершина $C_1$ также принадлежит сечению.
7. Таким образом, сечение представляет собой четырехугольник $EFB_1C_1$. Поскольку $EF \parallel B_1C_1$ и $EF = B_1C_1 = 1$, этот четырехугольник является параллелограммом.

Чтобы определить вид этого параллелограмма, найдем длины его смежных сторон и угол между ними.

• Длины сторон: $EF = 1$ (как ребро основания) и $B_1C_1 = 1$ (как ребро верхнего основания).
• Найдем длину отрезка $FB_1$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $FBB_1$. Катет $BB_1$ - это высота призмы, $BB_1 = h = 1$. Катет $FB$ - это малая диагональ правильного шестиугольника $ABCDEF$. Длина малой диагонали правильного шестиугольника со стороной $a$ равна $a\sqrt{3}$. В нашем случае $FB = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

По теореме Пифагора: $FB_1^2 = FB^2 + BB_1^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$.

Следовательно, $FB_1 = \sqrt{4} = 2$.

Аналогично, $EC_1 = 2$.

Таким образом, параллелограмм $EFB_1C_1$ имеет стороны длиной 1 и 2.

Определим угол между сторонами $EF$ и $FB_1$.

1. Отрезок $EF$ перпендикулярен боковому ребру $BB_1$, так как $EF$ лежит в плоскости основания, а $BB_1$ перпендикулярно этой плоскости.
2. Рассмотрим угол между $EF$ и $FB$ (проекция $FB_1$ на плоскость основания) в основании. В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ можно показать, что диагональ $FB$ перпендикулярна стороне $EF$. Это можно увидеть, если поместить центр шестиугольника в начало координат: если $F=(1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$ и $E=(-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$, то $B=(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$. Вектор $FE = E - F = (-1, 0, 0)$. Вектор $FB = B - F = (0, \sqrt{3}, 0)$. Скалярное произведение $FE \cdot FB = (-1)(0) + (0)(\sqrt{3}) + (0)(0) = 0$. Это означает, что $FE \perp FB$.
3. Поскольку $EF$ перпендикулярен $FB$ (проекции $FB_1$ на плоскость основания) и $EF$ перпендикулярен $BB_1$ (перпендикуляру к плоскости основания), то $EF$ перпендикулярен плоскости, содержащей $FB$ и $BB_1$. Эта плоскость содержит отрезок $FB_1$.
4. Следовательно, $EF \perp FB_1$.

Поскольку смежные стороны параллелограмма $EFB_1C_1$ перпендикулярны, то он является прямоугольником со сторонами $EF=1$ и $FB_1=2$.

Визуально сечение можно представить как прямоугольник, одна сторона которого является ребром нижнего основания ($EF$), а другая сторона ($FB_1$ или $EC_1$) соединяет вершину одного основания с вершиной другого, находящейся "через одну" вершину по периметру и через боковое ребро.

Найдите его площадь

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется как произведение длин его сторон:

$S = EF \cdot FB_1 = 1 \cdot 2 = 2$.

Ответ: 2

125. Изобразите сечение правильной шестиугольной призмы $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины A, F и C. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер призмы равна 1. Это означает, что:

• Длина стороны основания (шестиугольника) $a = 1$ (единица длины).
• Высота призмы $h = 1$ (единица длины).

Сечение проходит через вершины $A$, $F_1$ и $C_1$.

Найти:

• Изобразить сечение.
• Площадь сечения.

Решение:

Изобразите сечение

Сечение, проходящее через вершины $A$, $F_1$ и $C_1$, является треугольником $AF_1C_1$. Для построения сечения необходимо соединить эти три точки:

• Точки $F_1$ и $C_1$ лежат в одной плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, поэтому отрезок $F_1C_1$ является одной из сторон сечения.
• Точка $A$ лежит в плоскости нижнего основания $ABCDEF$. Отрезок $AF_1$ соединяет вершину нижнего основания $A$ с вершиной верхнего основания $F_1$.
• Отрезок $AC_1$ соединяет вершину нижнего основания $A$ с вершиной верхнего основания $C_1$.

Таким образом, сечение представляет собой треугольник $AF_1C_1$.

Примечание: Данное изображение является иллюстрацией, оно может быть схематичным и не в масштабе.

Ответ: Сечением является треугольник $AF_1C_1$.

Найдите его площадь

Для нахождения площади треугольника $AF_1C_1$ необходимо определить длины его сторон. Пусть длина ребра призмы равна $a=1$ и высота призмы $h=1$.

1. Найдем длину стороны $F_1C_1$.

Сторона $F_1C_1$ лежит в плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Это правильный шестиугольник со стороной $a=1$. Вершины $F_1$ и $C_1$ являются противоположными в шестиугольнике (т.е. $C_1$ является вершиной, противоположной $F_1$ относительно центра шестиугольника). Длина такой "длинной" диагонали правильного шестиугольника со стороной $a$ равна $2a$.

$F_1C_1 = 2a = 2 \cdot 1 = 2$.

2. Найдем длину стороны $AF_1$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AA_1F_1$. Катеты этого треугольника: $AA_1$ (высота призмы) и $A_1F_1$ (сторона верхнего основания).
$AA_1 = h = 1$.
$A_1F_1 = a = 1$.
По теореме Пифагора:

$AF_1^2 = AA_1^2 + A_1F_1^2$

$AF_1^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$

$AF_1 = \sqrt{2}$.

3. Найдем длину стороны $AC_1$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AA_1C_1$. Катеты этого треугольника: $AA_1$ (высота призмы) и $A_1C_1$ (диагональ верхнего основания).
$AA_1 = h = 1$.
$A_1C_1$ является "короткой" диагональю правильного шестиугольника $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Длина короткой диагонали шестиугольника со стороной $a$ равна $a\sqrt{3}$.
$A_1C_1 = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.
По теореме Пифагора:

$AC_1^2 = AA_1^2 + A_1C_1^2$

$AC_1^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4$

$AC_1 = \sqrt{4} = 2$.

Таким образом, стороны треугольника $AF_1C_1$ равны:

• $AF_1 = \sqrt{2}$
• $F_1C_1 = 2$
• $AC_1 = 2$

Треугольник $AF_1C_1$ является равнобедренным, так как $F_1C_1 = AC_1 = 2$. Основание треугольника $AF_1 = \sqrt{2}$.

Для нахождения площади равнобедренного треугольника воспользуемся формулой $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. Проведем высоту $h_t$ из вершины $C_1$ к основанию $AF_1$. Пусть $M$ — середина отрезка $AF_1$. Тогда $AM = \frac{AF_1}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

В прямоугольном треугольнике $AMC_1$ (с прямым углом при $M$):

$C_1M^2 + AM^2 = AC_1^2$

$h_t^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 2^2$

$h_t^2 + \frac{2}{4} = 4$

$h_t^2 + \frac{1}{2} = 4$

$h_t^2 = 4 - \frac{1}{2} = \frac{8 - 1}{2} = \frac{7}{2}$

$h_t = \sqrt{\frac{7}{2}} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{7} \cdot \sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{14}}{2}$.

Площадь треугольника $AF_1C_1$:

$S_{AF_1C_1} = \frac{1}{2} \cdot AF_1 \cdot h_t = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{14}}{2}$

$S_{AF_1C_1} = \frac{\sqrt{2 \cdot 14}}{4} = \frac{\sqrt{28}}{4} = \frac{\sqrt{4 \cdot 7}}{4} = \frac{2\sqrt{7}}{4} = \frac{\sqrt{7}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{7}}{2}$.