Номер 121, страница 180 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

121. Изобразите сечение правильной шестиугольной призмы $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины $B$, $C_1$ и $E_1$. Найдите его площадь.

Дано

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер призмы $a = 1$.

Сечение проходит через вершины $B$, $C_1$, и $E$.

Перевод в СИ:

Длина ребра основания $a = 1$ (единица длины).

Высота призмы $h = 1$ (единица длины), так как все ребра равны.

Найти:

Изображение сечения.

Площадь сечения.

Решение

Построение сечения

Сечение определяется тремя точками $B$, $C_1$, $E$.

Точки $B$ и $E$ лежат в плоскости нижнего основания $ABCDEF$. Соединим их отрезком $BE$. Этот отрезок является стороной сечения.

Точки $B$ и $C_1$ лежат в плоскости боковой грани $BCC_1B_1$. Соединим их отрезком $BC_1$. Этот отрезок также является стороной сечения.

Для завершения сечения необходимо соединить точки $E$ и $C_1$ отрезком $EC_1$. Этот отрезок является третьей стороной сечения.

Таким образом, сечением является треугольник $BEC_1$.

Расчет площади сечения

Для нахождения площади треугольника $BEC_1$ необходимо вычислить длины его сторон.

1. Длина стороны $BE$:

Отрезок $BE$ соединяет две противоположные вершины правильного шестиугольника $ABCDEF$. В правильном шестиугольнике со стороной $a$, длина главной диагонали (соединяющей противоположные вершины) равна $2a$.

Так как $a = 1$, то $BE = 2 \times 1 = 2$.

2. Длина стороны $BC_1$:

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BCC_1$. Катет $BC$ является стороной основания призмы, $BC = a = 1$. Катет $CC_1$ является высотой призмы, $CC_1 = h = 1$.

По теореме Пифагора:

$BC_1^2 = BC^2 + CC_1^2$

$BC_1^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$

$BC_1 = \sqrt{2}$

3. Длина стороны $EC_1$:

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ECC_1$. Катет $EC$ является малой диагональю (или короткой) правильного шестиугольника $ABCDEF$. Длина малой диагонали шестиугольника со стороной $a$ равна $a\sqrt{3}$.

Так как $a = 1$, то $EC = 1 \times \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Катет $CC_1$ является высотой призмы, $CC_1 = h = 1$.

По теореме Пифагора:

$EC_1^2 = EC^2 + CC_1^2$

$EC_1^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$

$EC_1 = \sqrt{4} = 2$

Таким образом, стороны треугольника $BEC_1$ имеют длины: $BE = 2$, $BC_1 = \sqrt{2}$, $EC_1 = 2$.

Мы видим, что треугольник $BEC_1$ является равнобедренным с равными сторонами $BE = EC_1 = 2$ и основанием $BC_1 = \sqrt{2}$.

Для вычисления площади равнобедренного треугольника можно использовать формулу: $S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}$.

Опустим высоту $h_s$ из вершины $E$ на основание $BC_1$. Пусть $M$ - середина $BC_1$. Тогда $EM$ - высота.

Длина отрезка $MC_1 = \frac{BC_1}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

В прямоугольном треугольнике $EMC_1$ (с гипотенузой $EC_1$):

$h_s^2 = EM^2 = EC_1^2 - MC_1^2$

$h_s^2 = 2^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 4 - \frac{2}{4} = 4 - \frac{1}{2} = \frac{8-1}{2} = \frac{7}{2}$

$h_s = \sqrt{\frac{7}{2}} = \frac{\sqrt{14}}{2}$

Площадь треугольника $BEC_1$:

$S_{BEC_1} = \frac{1}{2} \times BC_1 \times h_s$

$S_{BEC_1} = \frac{1}{2} \times \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{14}}{2} = \frac{\sqrt{2 \times 14}}{4} = \frac{\sqrt{28}}{4} = \frac{2\sqrt{7}}{4} = \frac{\sqrt{7}}{2}$

Ответ:

Сечение представляет собой треугольник $BEC_1$.

Площадь сечения равна $\frac{\sqrt{7}}{2}$.