Номер 118, страница 180 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

118. Изобразите сечение правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины $B, E$ и $F_1$. Найдите его площадь.

Дано

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра равны 1. То есть, сторона основания $a = 1$, высота призмы $h = 1$.

Сечение проходит через вершины $B$, $E$, $F_1$.

Перевод в СИ

Так как единицы измерения не указаны, принимаем длину ребра за $1$ условную единицу.

$a = 1$ (ед. длины)

$h = 1$ (ед. длины)

Найти

Площадь сечения $S_{BEF_1}$.

Решение

Изобразите сечение

Сечение, проходящее через три вершины $B$, $E$, $F_1$, является треугольником $BEF_1$. Для построения сечения необходимо соединить эти вершины. Сегмент $BE$ лежит в плоскости нижнего основания $ABCDEF$. Сегменты $BF_1$ и $EF_1$ являются пространственными диагоналями.

Найдем длины сторон треугольника $BEF_1$.

1. Длина стороны $BE$: Вершины $B$ и $E$ лежат в нижнем основании, которое является правильным шестиугольником со стороной $a=1$. Диагональ $BE$ соединяет противоположные вершины шестиугольника. Длина такой диагонали равна $2a$.

Таким образом, $BE = 2 \cdot 1 = 2$.

2. Длина стороны $EF_1$: Вершины $E$ и $F$ лежат в нижнем основании, а $F_1$ - в верхнем. Ребро $EF$ является стороной нижнего основания, $EF = a = 1$. Ребро $FF_1$ является боковым ребром призмы, $FF_1 = h = 1$. Боковая грань $EFF_1E_1$ является квадратом, так как $EF = FF_1 = 1$. $EF_1$ является диагональю этого квадрата.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $EFF_1$:

$EF_1 = \sqrt{EF^2 + FF_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

3. Длина стороны $BF_1$: Вершина $B$ лежит в нижнем основании, а $F_1$ - в верхнем. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BFF_1$. Катет $FF_1$ - это высота призмы $h = 1$. Катет $BF$ - это диагональ нижнего основания. Диагональ $BF$ соединяет вершины, расположенные "через одну" ($B$ и $F$ разделены $A$). Длина такой диагонали в правильном шестиугольнике со стороной $a$ равна $a\sqrt{3}$.

Таким образом, $BF = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Теперь найдем $BF_1$ по теореме Пифагора для треугольника $BFF_1$:

$BF_1 = \sqrt{BF^2 + FF_1^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

Таким образом, треугольник $BEF_1$ имеет стороны: $BE = 2$, $EF_1 = \sqrt{2}$, $BF_1 = 2$.

Это равнобедренный треугольник с основанием $EF_1 = \sqrt{2}$ и равными сторонами $BE = BF_1 = 2$.

Ответ: Сечение является равнобедренным треугольником $BEF_1$ со сторонами $BE=2$, $EF_1=\sqrt{2}$, $BF_1=2$.

Найдите его площадь

Для нахождения площади равнобедренного треугольника $BEF_1$ (со сторонами $2, 2, \sqrt{2}$) опустим высоту из вершины $B$ на основание $EF_1$. Пусть $M$ - середина $EF_1$. Тогда $BM$ - высота.

В прямоугольном треугольнике $BME$:

Гипотенуза $BE = 2$.

Катет $ME = \frac{EF_1}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Высота $BM = \sqrt{BE^2 - ME^2}$

$BM = \sqrt{2^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{4 - \frac{2}{4}} = \sqrt{4 - \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{8 - 1}{2}} = \sqrt{\frac{7}{2}} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{14}}{2}$.

Площадь треугольника $BEF_1$ равна:

$S_{BEF_1} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot EF_1 \cdot BM$

$S_{BEF_1} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{14}}{2} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2 \cdot 7}}{4} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{7}}{4} = \frac{2\sqrt{7}}{4} = \frac{\sqrt{7}}{2}$.

Ответ: $S_{BEF_1} = \frac{\sqrt{7}}{2}$.