Номер 113, страница 179 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

113. Изобразите сечение правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины $A$, $B_1$ и параллельное прямой $BC_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Длина всех ребер призмы $a = 1$.

Сечение проходит через вершины $A$ и $B_1$.

Сечение параллельно прямой $BC_1$.

Перевод в СИ:

Все размеры даны в условных единицах длины, поэтому перевод в СИ не требуется.

Найти:

Изобразить сечение (описать его).

Площадь сечения.

Решение:

Изобразите сечение

Для определения сечения воспользуемся методом координат. Разместим вершину $A$ в начале координат $(0,0,0)$. Так как призма правильная и все её ребра равны 1, основание $ABC$ является равносторонним треугольником со стороной 1, а высота призмы (боковые ребра) также равна 1. Координаты вершин призмы будут:

• $A=(0,0,0)$
• $B=(1,0,0)$
• $C=(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• $A_1=(0,0,1)$
• $B_1=(1,0,1)$
• $C_1=(1/2, \sqrt{3}/2, 1)$

Сечение проходит через вершины $A=(0,0,0)$ и $B_1=(1,0,1)$.

Сечение параллельно прямой $BC_1$. Найдем вектор $\vec{BC_1}$:

$\vec{BC_1} = C_1 - B = (1/2 - 1, \sqrt{3}/2 - 0, 1 - 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$.

Плоскость сечения содержит точки $A$ и $B_1$, значит вектор $\vec{AB_1}$ лежит в этой плоскости:

$\vec{AB_1} = B_1 - A = (1,0,1)$.

Поскольку плоскость сечения параллельна прямой $BC_1$, нормальный вектор $\vec{n}$ плоскости должен быть ортогонален вектору $\vec{BC_1}$. Также $\vec{n}$ ортогонален вектору $\vec{AB_1}$. Следовательно, $\vec{n}$ можно найти как векторное произведение $\vec{AB_1} \times \vec{BC_1}$:

$\vec{n} = \vec{AB_1} \times \vec{BC_1} = \text{det}\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 1 \\ -1/2 & \sqrt{3}/2 & 1 \end{vmatrix} = (0 \cdot 1 - 1 \cdot \sqrt{3}/2)\mathbf{i} - (1 \cdot 1 - 1 \cdot (-1/2))\mathbf{j} + (1 \cdot \sqrt{3}/2 - 0 \cdot (-1/2))\mathbf{k}$

$\vec{n} = (-\sqrt{3}/2)\mathbf{i} - (1 + 1/2)\mathbf{j} + (\sqrt{3}/2)\mathbf{k} = (-\sqrt{3}/2, -3/2, \sqrt{3}/2)$.

Для удобства, умножим нормальный вектор на $-2/\sqrt{3}$, получим $\vec{n}' = (1, \sqrt{3}, -1)$.

Уравнение плоскости сечения имеет вид $x + \sqrt{3}y - z = D$. Так как точка $A(0,0,0)$ лежит в плоскости, $D=0$.

Уравнение плоскости сечения: $x + \sqrt{3}y - z = 0$.

Найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами призмы:

1. Ребро $AA_1$: Точки на этом ребре имеют вид $(0,0,z)$ для $0 \le z \le 1$. Подставим в уравнение плоскости: $0 + \sqrt{3} \cdot 0 - z = 0 \Rightarrow z=0$. Это точка $A(0,0,0)$, уже известна.
2. Ребро $BB_1$: Точки на этом ребре имеют вид $(1,0,z)$ для $0 \le z \le 1$. Подставим в уравнение плоскости: $1 + \sqrt{3} \cdot 0 - z = 0 \Rightarrow z=1$. Это точка $B_1(1,0,1)$, уже известна.
3. Ребро $CC_1$: Точки на этом ребре имеют вид $(1/2, \sqrt{3}/2, z)$ для $0 \le z \le 1$. Подставим в уравнение плоскости: $1/2 + \sqrt{3} \cdot (\sqrt{3}/2) - z = 0 \Rightarrow 1/2 + 3/2 - z = 0 \Rightarrow 2 - z = 0 \Rightarrow z=2$. Поскольку $z=2$ не лежит в отрезке $[0,1]$, плоскость не пересекает ребро $CC_1$ внутри призмы.
4. Ребро $A_1B_1$: Точки на этом ребре имеют вид $(x,y,1)$. $A_1=(0,0,1)$, $B_1=(1,0,1)$. Это отрезок, соединяющий $A_1$ и $B_1$. Подставим $z=1$ в уравнение плоскости: $x + \sqrt{3}y - 1 = 0$. Уравнение прямой $A_1B_1$ в плоскости $z=1$: $y=0$ и $0 \le x \le 1$. Подставим $y=0$: $x - 1 = 0 \Rightarrow x=1$. Это точка $B_1(1,0,1)$, уже известна.
5. Ребро $B_1C_1$: Точки на этом ребре имеют вид $(x,y,1)$. $B_1=(1,0,1)$, $C_1=(1/2, \sqrt{3}/2, 1)$. Это отрезок, соединяющий $B_1$ и $C_1$. Подставим $z=1$ в уравнение плоскости: $x + \sqrt{3}y - 1 = 0$. Отрезок $B_1C_1$ можно параметризовать как $(1-t)B_1 + tC_1 = (1-t)(1,0,1) + t(1/2, \sqrt{3}/2, 1) = (1-t/2, t\sqrt{3}/2, 1)$ для $0 \le t \le 1$. Подставим в уравнение плоскости: $(1-t/2) + \sqrt{3}(t\sqrt{3}/2) - 1 = 0 \Rightarrow 1-t/2 + 3t/2 - 1 = 0 \Rightarrow t = 0$. Это точка $B_1(1,0,1)$, уже известна.
6. Ребро $A_1C_1$: Точки на этом ребре имеют вид $(x,y,1)$. $A_1=(0,0,1)$, $C_1=(1/2, \sqrt{3}/2, 1)$. Это отрезок, соединяющий $A_1$ и $C_1$. Подставим $z=1$ в уравнение плоскости: $x + \sqrt{3}y - 1 = 0$. Отрезок $A_1C_1$ можно параметризовать как $(1-t)A_1 + tC_1 = (1-t)(0,0,1) + t(1/2, \sqrt{3}/2, 1) = (t/2, t\sqrt{3}/2, 1)$ для $0 \le t \le 1$. Подставим в уравнение плоскости: $t/2 + \sqrt{3}(t\sqrt{3}/2) - 1 = 0 \Rightarrow t/2 + 3t/2 - 1 = 0 \Rightarrow 2t = 1 \Rightarrow t=1/2$. Точка пересечения $P = ((1/2)/2, (1/2)\sqrt{3}/2, 1) = (1/4, \sqrt{3}/4, 1)$. Эта точка является серединой ребра $A_1C_1$.

Таким образом, сечение проходит через точки $A(0,0,0)$, $B_1(1,0,1)$ и $P(1/4, \sqrt{3}/4, 1)$. Эти три точки не лежат на одной прямой, поэтому сечение является треугольником $APB_1$.

Для изображения сечения необходимо начертить призму $ABCA_1B_1C_1$. Отметить вершины $A$ и $B_1$. Найти середину ребра $A_1C_1$ и обозначить её как $P$. Соединить отрезками точки $A$ с $B_1$, $A$ с $P$ и $B_1$ с $P$. Полученный треугольник $APB_1$ и будет искомым сечением.

Ответ: Сечением является треугольник $APB_1$, где $P$ - середина ребра $A_1C_1$.

Найдите его площадь

Площадь треугольника $APB_1$ можно найти, используя векторное произведение двух его сторон. Возьмем векторы $\vec{AB_1}$ и $\vec{AP}$.

Координаты точек: $A=(0,0,0)$, $B_1=(1,0,1)$, $P=(1/4, \sqrt{3}/4, 1)$.

Векторы сторон:

• $\vec{AB_1} = (1,0,1)$
• $\vec{AP} = (1/4, \sqrt{3}/4, 1)$

Вычислим векторное произведение $\vec{AB_1} \times \vec{AP}$:

$\vec{AB_1} \times \vec{AP} = \text{det}\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 1 \\ 1/4 & \sqrt{3}/4 & 1 \end{vmatrix} = (0 \cdot 1 - 1 \cdot \sqrt{3}/4)\mathbf{i} - (1 \cdot 1 - 1 \cdot 1/4)\mathbf{j} + (1 \cdot \sqrt{3}/4 - 0 \cdot 1/4)\mathbf{k}$

$= (-\sqrt{3}/4)\mathbf{i} - (1 - 1/4)\mathbf{j} + (\sqrt{3}/4)\mathbf{k} = (-\sqrt{3}/4, -3/4, \sqrt{3}/4)$.

Площадь треугольника равна половине модуля векторного произведения:

$S = \frac{1}{2} |\vec{AB_1} \times \vec{AP}|$

$|\vec{AB_1} \times \vec{AP}| = \sqrt{(-\sqrt{3}/4)^2 + (-3/4)^2 + (\sqrt{3}/4)^2}$

$ = \sqrt{3/16 + 9/16 + 3/16} = \sqrt{15/16} = \frac{\sqrt{15}}{4}$.

$S = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{15}}{4} = \frac{\sqrt{15}}{8}$.

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{\sqrt{15}}{8}$.