Номер 106, страница 179 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

106. Изобразите сечение правильной треугольной призмы $ABC A_1 B_1 C_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через середины ребер $AB$, $AA_1$ и $A_1 C_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Призма $ABCA_1B_1C_1$ - правильная треугольная.

Длина всех ребер $a = 1$.

Сечение проходит через:

• Точка $K$ - середина ребра $AB$.

• Точка $L$ - середина ребра $AA_1$.

• Точка $M$ - середина ребра $A_1C_1$.

Перевод в СИ:

Все ребра $a = 1$ (условная единица длины, т.к. конкретные единицы не заданы).

Найти:

• Изобразить сечение.

• Площадь сечения.

Решение:

Изобразите сечение

Пусть точки $K, L, M$ — середины ребер $AB, AA_1, A_1C_1$ соответственно.Сечение, проходящее через эти три точки, представляет собой треугольник $KLM$, так как эти точки не лежат на одной прямой.

Для построения сечения необходимо:
1. Построить правильную треугольную призму $ABCA_1B_1C_1$.
2. Отметить середины указанных ребер:
- Точка $K$ — середина ребра $AB$.
- Точка $L$ — середина ребра $AA_1$.
- Точка $M$ — середина ребра $A_1C_1$.
3. Соединить точки $K, L, M$ отрезками. Отрезки $KL$, $LM$ и $MK$ являются сторонами искомого сечения — треугольника $KLM$.
Отрезок $KL$ лежит в боковой грани $AA_1B_1B$.
Отрезок $LM$ лежит в боковой грани $AA_1C_1C$.
Отрезок $MK$ является диагональю сечения.

(Так как я не могу создать изображение, выше приведено подробное описание процесса построения сечения.)

Ответ: Описание построений.

Найдите его площадь

Обозначим длину всех ребер призмы как $a=1$.

Найдем длины сторон треугольника $KLM$.

1. Длина отрезка $KL$:
Точка $K$ — середина $AB$, значит $AK = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}a = \frac{1}{2}$.
Точка $L$ — середина $AA_1$, значит $AL = \frac{1}{2}AA_1 = \frac{1}{2}a = \frac{1}{2}$.
Треугольник $AKL$ является прямоугольным (так как $AA_1 \perp AB$). По теореме Пифагора:
$KL^2 = AK^2 + AL^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
$KL = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

2. Длина отрезка $LM$:
Точка $L$ — середина $AA_1$, значит $A_1L = \frac{1}{2}AA_1 = \frac{1}{2}a = \frac{1}{2}$.
Точка $M$ — середина $A_1C_1$, значит $A_1M = \frac{1}{2}A_1C_1 = \frac{1}{2}a = \frac{1}{2}$.
Треугольник $A_1LM$ является прямоугольным (так как $AA_1 \perp A_1C_1$ в правильной призме). По теореме Пифагора:
$LM^2 = A_1L^2 + A_1M^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
$LM = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

3. Длина отрезка $KM$:
Пусть $P$ — проекция точки $M$ на плоскость основания $ABC$. Так как $M$ — середина $A_1C_1$, то $P$ — середина $AC$.
Расстояние от $M$ до плоскости $ABC$ равно высоте призмы, т.е. $MP = AA_1 = 1$.
Рассмотрим треугольник $AKP$. $K$ — середина $AB$, $P$ — середина $AC$. Значит, $KP$ — средняя линия треугольника $ABC$.
$KP = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}a = \frac{1}{2}$.
Так как $MP \perp KP$, треугольник $KPM$ является прямоугольным с гипотенузой $KM$. По теореме Пифагора:
$KM^2 = KP^2 + MP^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 1^2 = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4}$.
$KM = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Таким образом, стороны треугольника $KLM$ равны:
$KL = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $LM = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $KM = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
Треугольник $KLM$ является равнобедренным с основанием $KM$.

Для нахождения площади равнобедренного треугольника $KLM$, опустим высоту $LH$ из вершины $L$ на основание $KM$. Точка $H$ является серединой $KM$.
Длина отрезка $KH = \frac{1}{2} KM = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{\sqrt{5}}{4}$.
В прямоугольном треугольнике $LHK$ (с прямым углом $H$) по теореме Пифагора:
$LH^2 = KL^2 - KH^2 = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{5}}{4}\right)^2 = \frac{2}{4} - \frac{5}{16} = \frac{1}{2} - \frac{5}{16} = \frac{8}{16} - \frac{5}{16} = \frac{3}{16}$.
$LH = \sqrt{\frac{3}{16}} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

Площадь треугольника $KLM$ вычисляется по формуле:
$S_{KLM} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot KM \cdot LH$.
$S_{KLM} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{15}}{16}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{15}}{16}$.