Номер 110, страница 179 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

110. Изобразите сечение правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через середины ребер $AB$, $BB_1$ и $B_1C_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABC A_1 B_1 C_1$.
Длина всех ребер $a = 1$.
Сечение проходит через середины ребер $AB$, $BB_1$ и $B_1 C_1$.

Перевод в СИ:

Данные уже представлены в безразмерном виде, что соответствует системе СИ для относительных длин. Длина ребра $a = 1$ (условная единица).

Найти:

1. Изобразить сечение.
2. Площадь сечения.

Решение:

Для решения задачи введем декартову систему координат. Пусть вершина $A$ имеет координаты $(0,0,0)$. Ребро $AB$ лежит на оси $Ox$, а ось $Oz$ направлена вдоль ребра $AA_1$.
Координаты вершин призмы (с длиной ребра $a=1$):
$A = (0,0,0)$
$B = (1,0,0)$
$C = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
$A_1 = (0,0,1)$
$B_1 = (1,0,1)$
$C_1 = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Найдем координаты заданных точек:
1. Точка $M$ - середина ребра $AB$: $M = (\frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}) = (\frac{1}{2}, 0, 0)$.
2. Точка $N$ - середина ребра $BB_1$: $N = (\frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}) = (1, 0, \frac{1}{2})$.
3. Точка $K$ - середина ребра $B_1C_1$: $K = (\frac{1+1/2}{2}, \frac{0+\sqrt{3}/2}{2}, \frac{1+1}{2}) = (\frac{3}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}, 1)$.

Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки $M, N, K$. Общее уравнение плоскости: $Ax + By + Cz = D$.
Подставим координаты точек в уравнение:
Для $M(\frac{1}{2}, 0, 0)$: $A(\frac{1}{2}) + B(0) + C(0) = D \Rightarrow A = 2D$.
Для $N(1, 0, \frac{1}{2})$: $A(1) + B(0) + C(\frac{1}{2}) = D \Rightarrow A + \frac{C}{2} = D$.
Подставим $A=2D$ во второе уравнение: $2D + \frac{C}{2} = D \Rightarrow \frac{C}{2} = -D \Rightarrow C = -2D$.
Для $K(\frac{3}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}, 1)$: $A(\frac{3}{4}) + B(\frac{\sqrt{3}}{4}) + C(1) = D$.
Подставим $A=2D$ и $C=-2D$: $2D(\frac{3}{4}) + B(\frac{\sqrt{3}}{4}) + (-2D)(1) = D$.
$\frac{3}{2}D + \frac{\sqrt{3}}{4}B - 2D = D \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{4}B = D - \frac{3}{2}D + 2D = \frac{3}{2}D$.
$B = \frac{3}{2}D \cdot \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{6D}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}D$.
Приняв $D=1$, получаем $A=2$, $B=2\sqrt{3}$, $C=-2$.
Уравнение плоскости сечения: $2x + 2\sqrt{3}y - 2z = 1$, или $x + \sqrt{3}y - z = \frac{1}{2}$.

Найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами призмы. Мы уже знаем $M, N, K$.
1. Пересечение с ребром $AC$ (лежит в плоскости $z=0$, от $A(0,0,0)$ до $C(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$). Точки на $AC$ имеют вид $(x, \sqrt{3}x, 0)$ для $x \in [0, 1/2]$.
$x + \sqrt{3}(\sqrt{3}x) - 0 = \frac{1}{2} \Rightarrow x + 3x = \frac{1}{2} \Rightarrow 4x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{1}{8}$.
Координаты точки $Q_1 = (\frac{1}{8}, \frac{\sqrt{3}}{8}, 0)$. Эта точка лежит на $AC$, так как $0 \le 1/8 \le 1/2$.

2. Пересечение с ребром $A_1C_1$ (лежит в плоскости $z=1$, от $A_1(0,0,1)$ до $C_1(1/2, \sqrt{3}/2, 1)$). Точки на $A_1C_1$ имеют вид $(x, \sqrt{3}x, 1)$ для $x \in [0, 1/2]$.
$x + \sqrt{3}(\sqrt{3}x) - 1 = \frac{1}{2} \Rightarrow x + 3x = \frac{3}{2} \Rightarrow 4x = \frac{3}{2} \Rightarrow x = \frac{3}{8}$.
Координаты точки $Q_2 = (\frac{3}{8}, \frac{3\sqrt{3}}{8}, 1)$. Эта точка лежит на $A_1C_1$, так как $0 \le 3/8 \le 1/2$.

Проверка других ребер:
* $AA_1$ ($x=0, y=0, z \in [0,1]$): $0 + 0 - z = 1/2 \Rightarrow z = -1/2$. Точка вне ребра.
* $CC_1$ ($x=1/2, y=\sqrt{3}/2, z \in [0,1]$): $1/2 + \sqrt{3}(\sqrt{3}/2) - z = 1/2 \Rightarrow 1/2 + 3/2 - z = 1/2 \Rightarrow 2 - z = 1/2 \Rightarrow z = 3/2$. Точка вне ребра.
* $BC$ ($z=0$, от $B(1,0,0)$ до $C(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$): $x + \sqrt{3}y = 1/2$. Прямая $Q_1M$ имеет уравнение $y = -\sqrt{3}x + \sqrt{3}/2$. Прямая $BC$ имеет уравнение $y = -\sqrt{3}(x-1)$. У них одинаковый угловой коэффициент $-\sqrt{3}$, следовательно, они параллельны. То есть, сечение не пересекает ребро $BC$.
* $A_1B_1$ ($y=0, z=1, x \in [0,1]$): $x + 0 - 1 = 1/2 \Rightarrow x = 3/2$. Точка вне ребра.

Таким образом, сечение является пятиугольником, вершинами которого являются $M, N, K, Q_2, Q_1$.
Отрезки сечения лежат на гранях призмы: $MN$ на $ABB_1A_1$, $NK$ на $BB_1C_1C$, $KQ_2$ на $A_1B_1C_1$, $Q_2Q_1$ на $AA_1C_1C$, $Q_1M$ на $ABC$.

Изобразите сечение

Для изображения сечения необходимо выполнить следующие действия:
1. Нарисуйте правильную треугольную призму $ABC A_1 B_1 C_1$ с основанием $ABC$ и верхним основанием $A_1 B_1 C_1$. Все ребра призмы равны 1.
2. Отметьте на ребре $AB$ точку $M$ как его середину.
3. Отметьте на ребре $BB_1$ точку $N$ как его середину.
4. Отметьте на ребре $B_1C_1$ точку $K$ как его середину.
5. Соедините отрезками точки $M$ и $N$, а также $N$ и $K$. Эти отрезки являются сторонами сечения.
6. На ребре $AC$ найдите точку $Q_1$ такую, что $AQ_1 = \frac{1}{4} AC$. (В координатах $Q_1(\frac{1}{8}, \frac{\sqrt{3}}{8}, 0)$). Соедините $Q_1$ и $M$. Это еще одна сторона сечения.
7. На ребре $A_1C_1$ найдите точку $Q_2$ такую, что $A_1Q_2 = \frac{3}{4} A_1C_1$. (В координатах $Q_2(\frac{3}{8}, \frac{3\sqrt{3}}{8}, 1)$). Соедините $Q_2$ и $K$. Это еще одна сторона сечения.
8. Соедините точки $Q_1$ и $Q_2$. Этот отрезок является последней стороной сечения.
Искомое сечение - это пятиугольник $MNKQ_2Q_1$.

Найдите его площадь

Для нахождения площади сечения воспользуемся методом проекций. Площадь сечения $S$ связана с площадью его проекции $S_{proj}$ на координатную плоскость соотношением $S = S_{proj} / \cos\theta$, где $\theta$ - угол между плоскостью сечения и плоскостью проекции.

Уравнение плоскости сечения: $x + \sqrt{3}y - z = \frac{1}{2}$.
Вектор нормали к этой плоскости: $\vec{n} = (1, \sqrt{3}, -1)$.
Модуль вектора нормали: $|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 3 + 1} = \sqrt{5}$.
Выберем плоскость $xy$ (основание призмы) в качестве плоскости проекции. Вектор нормали к плоскости $xy$ равен $\vec{k} = (0,0,1)$.
Косинус угла между плоскостями: $\cos\theta = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{k}|}{|\vec{n}| \cdot |\vec{k}|} = \frac{|(1, \sqrt{3}, -1) \cdot (0,0,1)|}{\sqrt{5} \cdot 1} = \frac{|-1|}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.

Найдем координаты вершин проекции пятиугольника $MNKQ_2Q_1$ на плоскость $xy$ (просто обнуляем z-координаты):
$M_p = (\frac{1}{2}, 0)$
$N_p = (1, 0)$
$K_p = (\frac{3}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4})$
$Q_{2p} = (\frac{3}{8}, \frac{3\sqrt{3}}{8})$
$Q_{1p} = (\frac{1}{8}, \frac{\sqrt{3}}{8})$

Вычислим площадь $S_{proj}$ этого пятиугольника с помощью формулы площади многоугольника по координатам вершин (формула Гаусса, или shoelace formula):
$S_{proj} = \frac{1}{2} |(x_1y_2 - y_1x_2) + (x_2y_3 - y_2x_3) + \dots + (x_ny_1 - y_nx_1)|$.
Вершины в порядке обхода: $M_p(\frac{1}{2}, 0)$, $N_p(1, 0)$, $K_p(\frac{3}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4})$, $Q_{2p}(\frac{3}{8}, \frac{3\sqrt{3}}{8})$, $Q_{1p}(\frac{1}{8}, \frac{\sqrt{3}}{8})$.

Вычислим сумму $x_iy_{i+1}$ (и $x_ny_1$):
$\frac{1}{2} \cdot 0 = 0$
$1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4}$
$\frac{3}{4} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{8} = \frac{9\sqrt{3}}{32}$
$\frac{3}{8} \cdot \frac{\sqrt{3}}{8} = \frac{3\sqrt{3}}{64}$
$\frac{1}{8} \cdot 0 = 0$
Сумма $S_1 = 0 + \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{9\sqrt{3}}{32} + \frac{3\sqrt{3}}{64} + 0 = \frac{16\sqrt{3} + 18\sqrt{3} + 3\sqrt{3}}{64} = \frac{37\sqrt{3}}{64}$.

Вычислим сумму $y_ix_{i+1}$ (и $y_nx_1$):
$0 \cdot 1 = 0$
$0 \cdot \frac{3}{4} = 0$
$\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{3}{8} = \frac{3\sqrt{3}}{32}$
$\frac{3\sqrt{3}}{8} \cdot \frac{1}{8} = \frac{3\sqrt{3}}{64}$
$\frac{\sqrt{3}}{8} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{16}$
Сумма $S_2 = 0 + 0 + \frac{3\sqrt{3}}{32} + \frac{3\sqrt{3}}{64} + \frac{\sqrt{3}}{16} = \frac{6\sqrt{3} + 3\sqrt{3} + 4\sqrt{3}}{64} = \frac{13\sqrt{3}}{64}$.

Площадь проекции $S_{proj} = \frac{1}{2} |S_1 - S_2| = \frac{1}{2} |\frac{37\sqrt{3}}{64} - \frac{13\sqrt{3}}{64}| = \frac{1}{2} |\frac{24\sqrt{3}}{64}| = \frac{1}{2} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{8} = \frac{3\sqrt{3}}{16}$.

Теперь найдем площадь сечения $S$:
$S = S_{proj} / \cos\theta = \frac{3\sqrt{3}}{16} / \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{3}}{16} \cdot \sqrt{5} = \frac{3\sqrt{15}}{16}$.

Ответ:

Искомое сечение представляет собой пятиугольник $MNKQ_2Q_1$, где $M$ - середина $AB$, $N$ - середина $BB_1$, $K$ - середина $B_1C_1$, $Q_1$ - точка на $AC$ такая, что $AQ_1 = \frac{1}{4}AC$, и $Q_2$ - точка на $A_1C_1$ такая, что $A_1Q_2 = \frac{3}{4}A_1C_1$.
Площадь сечения равна $\frac{3\sqrt{15}}{16}$.