Номер 107, страница 179 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

107. Изобразите сечение правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через середины ребер $BC$, $BB_1$ и $A_1B_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.
Длина всех ребер $a = 1$.
Сечение проходит через середины ребер $BC$, $BB_1$ и $A_1B_1$.

Найти:

Изобразить сечение (описать построение).
Площадь сечения.

Решение:

Обозначим середины ребер:
Пусть $M$ - середина ребра $BC$.
Пусть $N$ - середина ребра $BB_1$.
Пусть $K$ - середина ребра $A_1B_1$.

Построение сечения:

1. Соединим точки $M$ и $N$. Отрезок $MN$ лежит в грани $BCC_1B_1$.2. Соединим точки $N$ и $K$. Отрезок $NK$ лежит в грани $ABB_1A_1$.3. Для определения остальных вершин сечения, воспользуемся свойством параллельности линий пересечения плоскости сечения с параллельными плоскостями оснований призмы.4. Введем декартову систему координат. Пусть начало координат $A = (0,0,0)$. Тогда координаты вершин основания $ABC$ будут $A=(0,0,0)$, $B=(1,0,0)$, $C=(0.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ (так как все ребра призмы, включая стороны основания, равны 1). Вершины верхнего основания: $A_1=(0,0,1)$, $B_1=(1,0,1)$, $C_1=(0.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$. Координаты заданных середин ребер: $M = \text{середина } BC = (\frac{1+0.5}{2}, \frac{0+\sqrt{3}/2}{2}, 0) = (0.75, \frac{\sqrt{3}}{4}, 0)$. $N = \text{середина } BB_1 = (\frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}) = (1, 0, 0.5)$. $K = \text{середина } A_1B_1 = (\frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{1+1}{2}) = (0.5, 0, 1)$.5. Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки $M, N, K$. Вектор $\vec{MN} = N - M = (1 - 0.75, 0 - \frac{\sqrt{3}}{4}, 0.5 - 0) = (0.25, -\frac{\sqrt{3}}{4}, 0.5)$. Вектор $\vec{NK} = K - N = (0.5 - 1, 0 - 0, 1 - 0.5) = (-0.5, 0, 0.5)$. Вектор нормали к плоскости $\vec{n} = \vec{MN} \times \vec{NK}$: $\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0.25 & -\frac{\sqrt{3}}{4} & 0.5 \\ -0.5 & 0 & 0.5 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 0.5 - 0 \cdot 0.5) - \mathbf{j}(0.25 \cdot 0.5 - (-0.5) \cdot 0.5) + \mathbf{k}(0.25 \cdot 0 - (-0.5) \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{4}))$ $= \mathbf{i}(-\frac{\sqrt{3}}{8}) - \mathbf{j}(0.125 + 0.25) + \mathbf{k}(-\frac{\sqrt{3}}{8}) = (-\frac{\sqrt{3}}{8}, -\frac{3}{8}, -\frac{\sqrt{3}}{8})$. Для удобства расчетов можно использовать пропорциональный вектор нормали, например, умножив его на $-8$: $(\sqrt{3}, 3, \sqrt{3})$. Уравнение плоскости имеет вид $\sqrt{3}x + 3y + \sqrt{3}z + D = 0$. Подставим координаты точки $K(0.5, 0, 1)$ в уравнение: $\sqrt{3}(0.5) + 3(0) + \sqrt{3}(1) + D = 0 \implies 0.5\sqrt{3} + \sqrt{3} + D = 0 \implies 1.5\sqrt{3} + D = 0 \implies D = -1.5\sqrt{3}$. Таким образом, уравнение плоскости сечения: $\sqrt{3}x + 3y + \sqrt{3}z - 1.5\sqrt{3} = 0$. Разделим на $\sqrt{3}$: $x + \sqrt{3}y + z - 1.5 = 0$.6. Найдем точки пересечения плоскости сечения с остальными ребрами призмы. * Линия пересечения с основанием $ABC$ (плоскость $z=0$): $x + \sqrt{3}y - 1.5 = 0$. * Точка $M(0.75, \frac{\sqrt{3}}{4}, 0)$ лежит на ребре $BC$ и удовлетворяет этому уравнению. * Найдем точку пересечения с ребром $AC$. Уравнение прямой $AC$ в плоскости $z=0$ (проходит через $A(0,0)$ и $C(0.5, \frac{\sqrt{3}}{2})$) задается как $y=\sqrt{3}x$ при $0 \le x \le 0.5$. Подставим $y=\sqrt{3}x$ в уравнение линии пересечения: $x + \sqrt{3}(\sqrt{3}x) - 1.5 = 0 \implies x + 3x - 1.5 = 0 \implies 4x = 1.5 \implies x = 3/8$. Тогда $y = \sqrt{3}(3/8) = 3\sqrt{3}/8$. Обозначим эту точку $P = (3/8, 3\sqrt{3}/8, 0)$. Точка $P$ лежит на ребре $AC$ (так как $0 \le 3/8 \le 0.5$). * Отрезок $MP$ является стороной сечения, лежащей в плоскости основания $ABC$. * Линия пересечения с верхним основанием $A_1B_1C_1$ (плоскость $z=1$): $x + \sqrt{3}y + 1 - 1.5 = 0 \implies x + \sqrt{3}y - 0.5 = 0$. * Точка $K(0.5, 0, 1)$ лежит на ребре $A_1B_1$ и удовлетворяет этому уравнению. * Найдем точку пересечения с ребром $A_1C_1$. Уравнение прямой $A_1C_1$ в плоскости $z=1$ (проходит через $A_1(0,0)$ и $C_1(0.5, \frac{\sqrt{3}}{2})$) задается как $y=\sqrt{3}x$ при $0 \le x \le 0.5$. Подставим $y=\sqrt{3}x$ в уравнение линии пересечения: $x + \sqrt{3}(\sqrt{3}x) - 0.5 = 0 \implies x + 3x - 0.5 = 0 \implies 4x = 0.5 \implies x = 1/8$. Тогда $y = \sqrt{3}(1/8) = \sqrt{3}/8$. Обозначим эту точку $Q = (1/8, \sqrt{3}/8, 1)$. Точка $Q$ лежит на ребре $A_1C_1$ (так как $0 \le 1/8 \le 0.5$). * Отрезок $KQ$ является стороной сечения, лежащей в плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1$. * Последний отрезок сечения $QP$ соединяет точку $Q$ на $A_1C_1$ и точку $P$ на $AC$. Поскольку обе эти точки лежат в одной грани $ACC_1A_1$ (координаты $x$ и $y$ для обеих точек удовлетворяют соотношению $y=\sqrt{3}x$), отрезок $QP$ лежит в этой грани. Таким образом, сечение является пятиугольником $MNKQP$ с вершинами: $M = (0.75, \frac{\sqrt{3}}{4}, 0)$ $N = (1, 0, 0.5)$ $K = (0.5, 0, 1)$ $Q = (\frac{1}{8}, \frac{\sqrt{3}}{8}, 1)$ $P = (\frac{3}{8}, \frac{3\sqrt{3}}{8}, 0)$

Вычисление площади сечения:

Для вычисления площади пятиугольника $MNKQP$ воспользуемся методом проекции. Площадь сечения $S_{сечения}$ связана с площадью ее проекции $S_{проекции}$ на плоскость основания формулой $S_{сечения} = S_{проекции} / \cos \alpha$, где $\alpha$ - угол между плоскостью сечения и плоскостью проекции.1. В качестве плоскости проекции выберем плоскость основания $ABC$ (плоскость $z=0$). Вектор нормали к этой плоскости $\vec{n}_{осн} = (0,0,1)$.2. Вектор нормали к плоскости сечения, полученный из ее уравнения $x + \sqrt{3}y + z - 1.5 = 0$, есть $\vec{n}_{сеч} = (1, \sqrt{3}, 1)$.3. Вычислим косинус угла $\alpha$ между плоскостью сечения и плоскостью основания: $\cos \alpha = \frac{|\vec{n}_{сеч} \cdot \vec{n}_{осн}|}{||\vec{n}_{сеч}|| \cdot ||\vec{n}_{осн}||}$ Скалярное произведение: $\vec{n}_{сеч} \cdot \vec{n}_{осн} = (1)(0) + (\sqrt{3})(0) + (1)(1) = 1$. Модуль вектора $\vec{n}_{сеч}$: $||\vec{n}_{сеч}|| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 3 + 1} = \sqrt{5}$. Модуль вектора $\vec{n}_{осн}$: $||\vec{n}_{осн}|| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1$. Тогда $\cos \alpha = \frac{|1|}{\sqrt{5} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$.4. Координаты вершин проекции пятиугольника $MNKQP$ на плоскость $z=0$ (просто отбрасываем $z$-координату): $M_{proj} = (0.75, \frac{\sqrt{3}}{4})$ $N_{proj} = (1, 0)$ $K_{proj} = (0.5, 0)$ $Q_{proj} = (\frac{1}{8}, \frac{\sqrt{3}}{8})$ $P_{proj} = (\frac{3}{8}, \frac{3\sqrt{3}}{8})$5. Вычислим площадь проекции $S_{проекции}$ с помощью формулы площади многоугольника (формула шнурков). Запишем вершины в порядке обхода: $P_{proj}$, $M_{proj}$, $N_{proj}$, $K_{proj}$, $Q_{proj}$. $S_{проекции} = \frac{1}{2} | (x_P y_M - y_P x_M) + (x_M y_N - y_M x_N) + (x_N y_K - y_N x_K) + (x_K y_Q - y_K x_Q) + (x_Q y_P - y_Q x_P) |$ Подставляем координаты: $P(\frac{3}{8}, \frac{3\sqrt{3}}{8})$ и $M(\frac{3}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4})$: $(\frac{3}{8})(\frac{\sqrt{3}}{4}) - (\frac{3\sqrt{3}}{8})(\frac{3}{4}) = \frac{3\sqrt{3}}{32} - \frac{9\sqrt{3}}{32} = -\frac{6\sqrt{3}}{32} = -\frac{3\sqrt{3}}{16}$. $M(\frac{3}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4})$ и $N(1, 0)$: $(\frac{3}{4})(0) - (\frac{\sqrt{3}}{4})(1) = -\frac{\sqrt{3}}{4} = -\frac{4\sqrt{3}}{16}$. $N(1, 0)$ и $K(\frac{1}{2}, 0)$: $(1)(0) - (0)(\frac{1}{2}) = 0$. $K(\frac{1}{2}, 0)$ и $Q(\frac{1}{8}, \frac{\sqrt{3}}{8})$: $(\frac{1}{2})(\frac{\sqrt{3}}{8}) - (0)(\frac{1}{8}) = \frac{\sqrt{3}}{16}$. $Q(\frac{1}{8}, \frac{\sqrt{3}}{8})$ и $P(\frac{3}{8}, \frac{3\sqrt{3}}{8})$: $(\frac{1}{8})(\frac{3\sqrt{3}}{8}) - (\frac{\sqrt{3}}{8})(\frac{3}{8}) = \frac{3\sqrt{3}}{64} - \frac{3\sqrt{3}}{64} = 0$. Сумма произведений: $-\frac{3\sqrt{3}}{16} - \frac{4\sqrt{3}}{16} + 0 + \frac{\sqrt{3}}{16} + 0 = \frac{(-3-4+1)\sqrt{3}}{16} = -\frac{6\sqrt{3}}{16} = -\frac{3\sqrt{3}}{8}$. Площадь проекции $S_{проекции} = \frac{1}{2} \left| -\frac{3\sqrt{3}}{8} \right| = \frac{3\sqrt{3}}{16}$.6. Площадь сечения: $S_{сечения} = \frac{S_{проекции}}{\cos \alpha} = \frac{3\sqrt{3}/16}{1/\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{3}}{16} \cdot \sqrt{5} = \frac{3\sqrt{15}}{16}$.

Ответ:

Построение сечения описано в пункте "Построение сечения".
Площадь сечения: $\frac{3\sqrt{15}}{16}$.