Номер 112, страница 179 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

112. Изобразите сечение правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через вершину A и перпендикулярное прямой $BC_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Длина всех ребер $a = 1$.

Сечение проходит через вершину $A$.

Плоскость сечения перпендикулярна прямой $BC_1$.

Перевод в СИ:

Все данные уже представлены в безразмерных единицах, что является приемлемым для геометрических задач, где масштаб не влияет на относительные величины.

Найти:

Площадь сечения.

Решение:

1. Введем систему координат для удобства вычислений. Пусть вершина $C$ находится в начале координат $(0,0,0)$. Тогда координаты остальных вершин призмы (учитывая, что длина всех ребер равна 1) будут:

• $C(0,0,0)$
• $B(1,0,0)$ (ребро $CB$ лежит на оси $Ox$)
• $A(0.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ (так как $\triangle ABC$ - правильный, а $AB=BC=AC=1$)
• $C_1(0,0,1)$
• $B_1(1,0,1)$
• $A_1(0.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

2. Найдем вектор, задающий прямую $BC_1$. Этот вектор будет нормалью к плоскости сечения, так как плоскость перпендикулярна прямой $BC_1$.

Вектор $\vec{BC_1} = C_1 - B = (0-1, 0-0, 1-0) = (-1, 0, 1)$.

3. Составим уравнение плоскости сечения. Плоскость проходит через вершину $A(0.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ и имеет нормальный вектор $\vec{n} = (-1, 0, 1)$.

Уравнение плоскости: $A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$

$-1(x - 0.5) + 0(y - \frac{\sqrt{3}}{2}) + 1(z - 0) = 0$

$-x + 0.5 + z = 0$, или $x - z - 0.5 = 0$.

4. Найдем точки пересечения плоскости сечения с ребрами призмы.

Сечение уже проходит через вершину $A(0.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$. Проверим ее принадлежность плоскости: $0.5 - 0 - 0.5 = 0$. Верно.

• Пересечение с ребром $BB_1$: Точка на ребре $BB_1$ имеет координаты $(1, 0, t)$, где $0 \le t \le 1$.

  Подставим в уравнение плоскости: $1 - t - 0.5 = 0 \implies 0.5 - t = 0 \implies t = 0.5$.

  Точка пересечения $K(1, 0, 0.5)$. Поскольку $t=0.5$, $K$ является серединой ребра $BB_1$.

• Пересечение с ребром $CC_1$: Точка на ребре $CC_1$ имеет координаты $(0, 0, t)$, где $0 \le t \le 1$.

  Подставим в уравнение плоскости: $0 - t - 0.5 = 0 \implies t = -0.5$.

  Так как $t < 0$, плоскость не пересекает ребро $CC_1$ между $C$ и $C_1$.

• Пересечение с ребром $BC$: Точка на ребре $BC$ имеет координаты $(t, 0, 0)$, где $0 \le t \le 1$ (так как $C(0,0,0)$ и $B(1,0,0)$).

  Подставим в уравнение плоскости: $t - 0 - 0.5 = 0 \implies t = 0.5$.

  Точка пересечения $L(0.5, 0, 0)$. Поскольку $t=0.5$, $L$ является серединой ребра $BC$.

Таким образом, сечение представляет собой треугольник $AKL$, где $A(0.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ — вершина нижнего основания призмы, $K(1, 0, 0.5)$ — середина ребра $BB_1$, а $L(0.5, 0, 0)$ — середина ребра $BC$.

5. Найдем длины сторон треугольника $AKL$:

• Длина $AL$: $AL = \sqrt{(0.5-0.5)^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2}-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{0^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
• Длина $LK$: $LK = \sqrt{(1-0.5)^2 + (0-0)^2 + (0.5-0)^2} = \sqrt{(0.5)^2 + 0^2 + (0.5)^2} = \sqrt{0.25+0.25} = \sqrt{0.5} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
• Длина $AK$: $AK = \sqrt{(1-0.5)^2 + (0-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (0.5-0)^2} = \sqrt{(0.5)^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (0.5)^2} = \sqrt{0.25+0.75+0.25} = \sqrt{1.25} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

6. Проверим, является ли треугольник $AKL$ прямоугольным, используя теорему Пифагора:

$AL^2 = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4}$.

$LK^2 = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4}$.

$AK^2 = (\frac{\sqrt{5}}{2})^2 = \frac{5}{4}$.

Заметим, что $AL^2 + LK^2 = \frac{3}{4} + \frac{2}{4} = \frac{5}{4}$. Это равно $AK^2$.

Следовательно, по обратной теореме Пифагора, треугольник $AKL$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $L$ (угол $ALC$).

7. Вычислим площадь прямоугольного треугольника $AKL$.

Площадь $S_{AKL} = \frac{1}{2} \cdot AL \cdot LK = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{8}$.

Ответ:

Площадь сечения составляет $\frac{\sqrt{6}}{8}$.