Номер 114, страница 179 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

114. Изобразите сечение правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины A, D и $C_1$. Найдите его площадь.

Дано: Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Длина всех ребер $a = 1$. Сечение проходит через вершины $A, D, C_1$.

Перевод в СИ: Длина всех ребер $a = 1$ ед. Высота призмы $h = 1$ ед.

Найти: Площадь сечения.

Решение:Изображение сечения: Сечение проходит через вершины $A$ и $D$ нижнего основания $ABCDEF$ и вершину $C_1$ верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Отрезок $AD$ соединяет противоположные вершины правильного шестиугольника $ABCDEF$. Длина такой главной диагонали в правильном шестиугольнике со стороной $a$ равна $2a$. Следовательно, $AD = 2 \cdot 1 = 2$ ед.

Поскольку основания призмы ($ABCDEF$ и $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$) параллельны, то линии пересечения секущей плоскости с этими основаниями также параллельны. Отрезок $AD$ лежит в нижнем основании. В верхнем основании $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ главная диагональ $C_1F_1$ параллельна $AD$ (так как $AD \parallel CF$ и $CF \parallel C_1F_1$). Поскольку точка $C_1$ принадлежит сечению, а $AD$ является частью сечения, то $C_1F_1$ также является частью сечения. Длина $C_1F_1 = 2a = 2$ ед.

Таким образом, сечение является четырехугольником $ADC_1F_1$. Поскольку $AD \parallel C_1F_1$ и $AD = C_1F_1$, четырехугольник $ADC_1F_1$ является параллелограммом. Другие две стороны параллелограмма - это отрезки $AF_1$ и $DC_1$.

Нахождение площади: Для вычисления площади параллелограмма $ADC_1F_1$ нам понадобятся длины его смежных сторон. $AD = 2$ ед. (как главная диагональ основания). $DC_1$ является диагональю боковой грани $CDD_1C_1$. Боковая грань $CDD_1C_1$ представляет собой прямоугольник со сторонами $CD = a = 1$ ед. (сторона основания) и $DD_1 = h = 1$ ед. (высота призмы, равная длине ребра). Используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника $DDC_1$: $DC_1 = \sqrt{CD^2 + DD_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$ ед. Аналогично, $AF_1$ является диагональю боковой грани $AFF_1A_1$, которая также является прямоугольником со сторонами $AF = a = 1$ ед. и $AA_1 = h = 1$ ед. Следовательно, $AF_1 = \sqrt{AF^2 + AA_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ ед. Таким образом, параллелограмм $ADC_1F_1$ имеет стороны длиной $2$ ед. и $\sqrt{2}$ ед.

Для вычисления площади параллелограмма воспользуемся методом векторного произведения. Разместим центр нижнего основания в начале координат $(0,0,0)$. Координаты вершин: $A = (1, 0, 0)$ $D = (-1, 0, 0)$ $C_1 = (-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$ (вершина $C$ нижнего основания имеет координаты $(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$, а $C_1$ находится над $C$ на высоте $h=1$).

Рассмотрим векторы, образующие две смежные стороны параллелограмма $ADC_1F_1$: Вектор $\vec{DA} = A - D = (1 - (-1), 0 - 0, 0 - 0) = (2, 0, 0)$. Вектор $\vec{DC_1} = C_1 - D = (-1/2 - (-1), \sqrt{3}/2 - 0, 1 - 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$.

Площадь параллелограмма равна модулю векторного произведения этих двух векторов: $S = |\vec{DA} \times \vec{DC_1}|$ Вычислим векторное произведение: $\vec{DA} \times \vec{DC_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 0 & 0 \\ 1/2 & \sqrt{3}/2 & 1 \end{vmatrix}$ $= \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) - \mathbf{j}(2 \cdot 1 - 0 \cdot \frac{1}{2}) + \mathbf{k}(2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 0 \cdot \frac{1}{2})$ $= \mathbf{i}(0) - \mathbf{j}(2) + \mathbf{k}(\sqrt{3})$ $= (0, -2, \sqrt{3})$

Модуль полученного вектора равен площади параллелограмма: $S = \sqrt{0^2 + (-2)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{0 + 4 + 3} = \sqrt{7}$ ед.$^2$.

Ответ: $\sqrt{7}$