Номер 117, страница 180 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

117. Изобразите сечение правильной шестиугольной призмы $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины $D, A$ и $E_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра равны $a = 1$. Это означает, что длина стороны основания призмы $a=1$, и высота призмы $h=1$.

Сечение проходит через вершины $D$, $A$ и $E_1$.

Перевод в СИ:

Все размеры даны в относительных единицах. Для вычислений можно использовать их как есть.

Найти:

1. Изобразить (описать) сечение.

2. Площадь сечения.

Решение:

Изобразите сечение

Сечение призмы задается тремя точками $A$, $D$ и $E_1$.

1. Точки $A$ и $D$ лежат в нижнем основании призмы $ABCDEF$. Отрезок $AD$ является большой диагональю правильного шестиугольника $ABCDEF$. Длина этой диагонали равна двум длинам стороны шестиугольника, т.е. $AD = 2a = 2 \cdot 1 = 2$.

2. Точка $E_1$ лежит в верхнем основании призмы $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

3. Плоскость сечения проходит через $AD$. Так как нижнее и верхнее основания призмы параллельны, то линия пересечения секущей плоскости с верхним основанием должна быть параллельна линии пересечения с нижним основанием. То есть, если секущая плоскость пересекает нижнее основание по линии $AD$, то она пересечет верхнее основание по линии, проходящей через $E_1$ и параллельной $AD$.

4. В правильном шестиугольнике $AD$ параллельна стороне $EF$. Следовательно, в верхнем основании $AD$ параллельна $E_1F_1$. Поскольку $E_1$ является одной из заданных точек, и $AD$ параллельна $E_1F_1$, то линия пересечения секущей плоскости с верхним основанием будет отрезок $E_1F_1$. Длина $E_1F_1$ равна стороне шестиугольника, т.е. $E_1F_1 = a = 1$.

5. Таким образом, сечение является четырехугольником $ADE_1F_1$. Поскольку $AD \parallel E_1F_1$, этот четырехугольник является трапецией.

6. Найдем длины боковых сторон трапеции $AF_1$ и $DE_1$.

   Рассмотрим отрезок $AF_1$. Он соединяет вершину $A$ нижнего основания с вершиной $F_1$ верхнего основания. В прямоугольном треугольнике $AFF_1$ (где $FF_1$ — высота призмы, а $AF$ — отрезок в основании):

   Длина $AF$ в правильном шестиугольнике $ABCDEF$ со стороной $a=1$: $AF$ является стороной шестиугольника (если вершины нумеруются по кругу $A,B,C,D,E,F$), поэтому $AF=a=1$.

   Высота призмы $FF_1 = h = 1$.

   По теореме Пифагора: $AF_1 = \sqrt{AF^2 + FF_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.

   Рассмотрим отрезок $DE_1$. Он соединяет вершину $D$ нижнего основания с вершиной $E_1$ верхнего основания. В прямоугольном треугольнике $DEE_1$ (где $EE_1$ — высота призмы, а $DE$ — отрезок в основании):

   Длина $DE$ является стороной шестиугольника $ABCDEF$, поэтому $DE=a=1$.

   Высота призмы $EE_1 = h = 1$.

   По теореме Пифагора: $DE_1 = \sqrt{DE^2 + EE_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.

7. Так как $AF_1 = DE_1 = \sqrt{2}$, трапеция $ADE_1F_1$ является равнобедренной.

Ответ: Сечение представляет собой равнобедренную трапецию $ADE_1F_1$.

Найдите его площадь

Для нахождения площади трапеции $ADE_1F_1$ используем формулу $S = \frac{b_1+b_2}{2}h_s$, где $b_1$ и $b_2$ — длины параллельных оснований, а $h_s$ — высота трапеции.

Основания трапеции: $b_1 = AD = 2$ и $b_2 = E_1F_1 = 1$.

Найдем высоту $h_s$ равнобедренной трапеции. Опустим перпендикуляры из вершин $F_1$ и $E_1$ на продолжение основания $AD$. Пусть точки пересечения будут $K$ и $L$ соответственно. В этом случае $AK = LD = \frac{AD - E_1F_1}{2} = \frac{2-1}{2} = \frac{1}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной $AF_1$, ее проекцией $AK$ на основание $AD$, и высотой трапеции $h_s$.

По теореме Пифагора: $h_s^2 = AF_1^2 - AK^2$.

$h_s^2 = (\sqrt{2})^2 - (\frac{1}{2})^2 = 2 - \frac{1}{4} = \frac{8}{4} - \frac{1}{4} = \frac{7}{4}$.

$h_s = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$.

Теперь вычислим площадь трапеции:

$S = \frac{AD + E_1F_1}{2} \cdot h_s = \frac{2+1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{2} = \frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{2} = \frac{3\sqrt{7}}{4}$.

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{3\sqrt{7}}{4}$.