Номер 120, страница 180 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

120. Изобразите сечение правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины $A$, $B$ и $D_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер $a = 1$.

Сечение проходит через вершины $A$, $B$, $D_1$.

Найти:

Площадь сечения $S_{сеч}$.

Решение:

Изобразите сечение

Сечение призмы плоскостью, проходящей через три заданные вершины $A$, $B$ и $D_1$, является треугольником $ABD_1$. Вершины $A$ и $B$ лежат в плоскости нижнего основания призмы, а вершина $D_1$ лежит в плоскости верхнего основания.

Отрезок $AB$ является стороной правильного шестиугольника, лежащего в основании призмы. Отрезки $AD_1$ и $BD_1$ являются диагоналями боковых граней призмы.

Ответ: Сечение представляет собой треугольник $ABD_1$.

Найдите его площадь

Для нахождения площади треугольника $ABD_1$ вычислим длины его сторон.

1.Длина стороны $AB$:

$AB$ – это сторона правильного шестиугольника, лежащего в основании. По условию, длина всех ребер равна 1.

$AB = 1$.

2.Длина стороны $BD_1$:

Рассмотрим треугольник $BDD_1$. Это прямоугольный треугольник, так как $DD_1$ является боковым ребром призмы и перпендикулярен плоскости основания.

Длина ребра $DD_1 = 1$ (высота призмы).

Длина отрезка $BD$ – это малая диагональ правильного шестиугольника со стороной $a=1$. Длина малой диагонали правильного шестиугольника вычисляется по формуле $a\sqrt{3}$.

$BD = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $\Delta BDD_1$:

$BD_1^2 = BD^2 + DD_1^2$

$BD_1^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$

$BD_1 = \sqrt{4} = 2$.

3.Длина стороны $AD_1$:

Рассмотрим треугольник $ADD_1$. Это прямоугольный треугольник, так как $DD_1$ перпендикулярен плоскости основания.

Длина ребра $DD_1 = 1$ (высота призмы).

Длина отрезка $AD$ – это большая диагональ правильного шестиугольника со стороной $a=1$. Длина большой диагонали правильного шестиугольника вычисляется по формуле $2a$.

$AD = 2 \cdot 1 = 2$.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $\Delta ADD_1$:

$AD_1^2 = AD^2 + DD_1^2$

$AD_1^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$

$AD_1 = \sqrt{5}$.

Таким образом, стороны треугольника $ABD_1$ имеют длины:

$AB = 1$

$BD_1 = 2$

$AD_1 = \sqrt{5}$

Проверим, является ли треугольник $ABD_1$ прямоугольным, используя обратную теорему Пифагора:

$AB^2 + BD_1^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$

$AD_1^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$

Так как $AB^2 + BD_1^2 = AD_1^2$, треугольник $ABD_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$.

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется как половина произведения длин катетов:

$S_{ABD_1} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BD_1$

$S_{ABD_1} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 1$.

Ответ: $1$