Номер 124, страница 180 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

124. Изобразите сечение правильной шестиугольной призмы $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины $E$, $F$ и $B_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер $a = 1$.

Сечение проходит через вершины $E, F, B_1$.

Перевод в систему СИ:

Длина всех ребер $a = 1$ м.

Найти:

Площадь сечения.

Решение:

Изобразите сечение правильной шестиугольной призмы

Обозначим вершины нижнего основания как $A, B, C, D, E, F$ и вершины верхнего основания как $A_1, B_1, C_1, D_1, E_1, F_1$. По условию, все ребра призмы равны 1, что означает, что сторона основания $a = 1$ и высота призмы $h = 1$.

Сечение проходит через вершины $E$ и $F$, которые лежат в нижнем основании, и вершину $B_1$, которая лежит в верхнем основании.

1. Отрезок $EF$ является стороной сечения, так как точки $E$ и $F$ лежат в одной плоскости (плоскости нижнего основания $ABCDEF$). Длина $EF = a = 1$.
2. Поскольку основания призмы параллельны, линии пересечения плоскости сечения с плоскостями оснований должны быть параллельны.
3. В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ сторона $EF$ параллельна стороне $BC$.
4. Так как $BC$ и $B_1C_1$ являются соответствующими сторонами оснований правильной призмы, то $BC \parallel B_1C_1$.
5. Из пунктов 3 и 4 следует, что $EF \parallel B_1C_1$.
6. Поскольку плоскость сечения содержит точку $B_1$ и линия пересечения с верхним основанием должна быть параллельна $EF$, то эта линия должна быть $B_1C_1$. Следовательно, вершина $C_1$ также принадлежит сечению.
7. Таким образом, сечение представляет собой четырехугольник $EFB_1C_1$. Поскольку $EF \parallel B_1C_1$ и $EF = B_1C_1 = 1$, этот четырехугольник является параллелограммом.

Чтобы определить вид этого параллелограмма, найдем длины его смежных сторон и угол между ними.

• Длины сторон: $EF = 1$ (как ребро основания) и $B_1C_1 = 1$ (как ребро верхнего основания).
• Найдем длину отрезка $FB_1$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $FBB_1$. Катет $BB_1$ - это высота призмы, $BB_1 = h = 1$. Катет $FB$ - это малая диагональ правильного шестиугольника $ABCDEF$. Длина малой диагонали правильного шестиугольника со стороной $a$ равна $a\sqrt{3}$. В нашем случае $FB = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

По теореме Пифагора: $FB_1^2 = FB^2 + BB_1^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$.

Следовательно, $FB_1 = \sqrt{4} = 2$.

Аналогично, $EC_1 = 2$.

Таким образом, параллелограмм $EFB_1C_1$ имеет стороны длиной 1 и 2.

Определим угол между сторонами $EF$ и $FB_1$.

1. Отрезок $EF$ перпендикулярен боковому ребру $BB_1$, так как $EF$ лежит в плоскости основания, а $BB_1$ перпендикулярно этой плоскости.
2. Рассмотрим угол между $EF$ и $FB$ (проекция $FB_1$ на плоскость основания) в основании. В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ можно показать, что диагональ $FB$ перпендикулярна стороне $EF$. Это можно увидеть, если поместить центр шестиугольника в начало координат: если $F=(1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$ и $E=(-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$, то $B=(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$. Вектор $FE = E - F = (-1, 0, 0)$. Вектор $FB = B - F = (0, \sqrt{3}, 0)$. Скалярное произведение $FE \cdot FB = (-1)(0) + (0)(\sqrt{3}) + (0)(0) = 0$. Это означает, что $FE \perp FB$.
3. Поскольку $EF$ перпендикулярен $FB$ (проекции $FB_1$ на плоскость основания) и $EF$ перпендикулярен $BB_1$ (перпендикуляру к плоскости основания), то $EF$ перпендикулярен плоскости, содержащей $FB$ и $BB_1$. Эта плоскость содержит отрезок $FB_1$.
4. Следовательно, $EF \perp FB_1$.

Поскольку смежные стороны параллелограмма $EFB_1C_1$ перпендикулярны, то он является прямоугольником со сторонами $EF=1$ и $FB_1=2$.

Визуально сечение можно представить как прямоугольник, одна сторона которого является ребром нижнего основания ($EF$), а другая сторона ($FB_1$ или $EC_1$) соединяет вершину одного основания с вершиной другого, находящейся "через одну" вершину по периметру и через боковое ребро.

Найдите его площадь

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется как произведение длин его сторон:

$S = EF \cdot FB_1 = 1 \cdot 2 = 2$.

Ответ: 2