Номер 125, страница 180 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

125. Изобразите сечение правильной шестиугольной призмы $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины A, F и C. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер призмы равна 1. Это означает, что:

• Длина стороны основания (шестиугольника) $a = 1$ (единица длины).
• Высота призмы $h = 1$ (единица длины).

Сечение проходит через вершины $A$, $F_1$ и $C_1$.

Найти:

• Изобразить сечение.
• Площадь сечения.

Решение:

Изобразите сечение

Сечение, проходящее через вершины $A$, $F_1$ и $C_1$, является треугольником $AF_1C_1$. Для построения сечения необходимо соединить эти три точки:

• Точки $F_1$ и $C_1$ лежат в одной плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, поэтому отрезок $F_1C_1$ является одной из сторон сечения.
• Точка $A$ лежит в плоскости нижнего основания $ABCDEF$. Отрезок $AF_1$ соединяет вершину нижнего основания $A$ с вершиной верхнего основания $F_1$.
• Отрезок $AC_1$ соединяет вершину нижнего основания $A$ с вершиной верхнего основания $C_1$.

Таким образом, сечение представляет собой треугольник $AF_1C_1$.

Примечание: Данное изображение является иллюстрацией, оно может быть схематичным и не в масштабе.

Ответ: Сечением является треугольник $AF_1C_1$.

Найдите его площадь

Для нахождения площади треугольника $AF_1C_1$ необходимо определить длины его сторон. Пусть длина ребра призмы равна $a=1$ и высота призмы $h=1$.

1. Найдем длину стороны $F_1C_1$.

Сторона $F_1C_1$ лежит в плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Это правильный шестиугольник со стороной $a=1$. Вершины $F_1$ и $C_1$ являются противоположными в шестиугольнике (т.е. $C_1$ является вершиной, противоположной $F_1$ относительно центра шестиугольника). Длина такой "длинной" диагонали правильного шестиугольника со стороной $a$ равна $2a$.

$F_1C_1 = 2a = 2 \cdot 1 = 2$.

2. Найдем длину стороны $AF_1$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AA_1F_1$. Катеты этого треугольника: $AA_1$ (высота призмы) и $A_1F_1$ (сторона верхнего основания).
$AA_1 = h = 1$.
$A_1F_1 = a = 1$.
По теореме Пифагора:

$AF_1^2 = AA_1^2 + A_1F_1^2$

$AF_1^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$

$AF_1 = \sqrt{2}$.

3. Найдем длину стороны $AC_1$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AA_1C_1$. Катеты этого треугольника: $AA_1$ (высота призмы) и $A_1C_1$ (диагональ верхнего основания).
$AA_1 = h = 1$.
$A_1C_1$ является "короткой" диагональю правильного шестиугольника $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Длина короткой диагонали шестиугольника со стороной $a$ равна $a\sqrt{3}$.
$A_1C_1 = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.
По теореме Пифагора:

$AC_1^2 = AA_1^2 + A_1C_1^2$

$AC_1^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4$

$AC_1 = \sqrt{4} = 2$.

Таким образом, стороны треугольника $AF_1C_1$ равны:

• $AF_1 = \sqrt{2}$
• $F_1C_1 = 2$
• $AC_1 = 2$

Треугольник $AF_1C_1$ является равнобедренным, так как $F_1C_1 = AC_1 = 2$. Основание треугольника $AF_1 = \sqrt{2}$.

Для нахождения площади равнобедренного треугольника воспользуемся формулой $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. Проведем высоту $h_t$ из вершины $C_1$ к основанию $AF_1$. Пусть $M$ — середина отрезка $AF_1$. Тогда $AM = \frac{AF_1}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

В прямоугольном треугольнике $AMC_1$ (с прямым углом при $M$):

$C_1M^2 + AM^2 = AC_1^2$

$h_t^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 2^2$

$h_t^2 + \frac{2}{4} = 4$

$h_t^2 + \frac{1}{2} = 4$

$h_t^2 = 4 - \frac{1}{2} = \frac{8 - 1}{2} = \frac{7}{2}$

$h_t = \sqrt{\frac{7}{2}} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{7} \cdot \sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{14}}{2}$.

Площадь треугольника $AF_1C_1$:

$S_{AF_1C_1} = \frac{1}{2} \cdot AF_1 \cdot h_t = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{14}}{2}$

$S_{AF_1C_1} = \frac{\sqrt{2 \cdot 14}}{4} = \frac{\sqrt{28}}{4} = \frac{\sqrt{4 \cdot 7}}{4} = \frac{2\sqrt{7}}{4} = \frac{\sqrt{7}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{7}}{2}$.