Номер 123, страница 180 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

123. Изобразите сечение правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины $D$, $E$ и $A_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех рёбер призмы равна $1$. Это означает, что сторона основания $a = 1$ и высота призмы $h = 1$.

Сечение проходит через вершины $D$, $E$ и $A_1$.

Найти:

Изобразите сечение: Описание геометрической формы сечения.

Найдите его площадь: Площадь сечения $S_{A_1DE}$.

Решение:

Изобразите сечение

Сечение, проходящее через три заданные вершины $D$, $E$ и $A_1$, является плоскостью, которая в данном случае определяет треугольник. Таким образом, искомое сечение — это треугольник $A_1DE$.

Вершины $D$ и $E$ являются смежными вершинами нижнего основания шестиугольной призмы $ABCDEF$. Отрезок $DE$ является ребром этого основания.

Вершина $A_1$ является вершиной верхнего основания призмы $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Стороны треугольника $A_1DE$ - это отрезки $DE$, $A_1D$ и $A_1E$.

Ответ: Сечение представляет собой треугольник $A_1DE$.

Найдите его площадь

Для нахождения площади треугольника $A_1DE$ вычислим длины его сторон.

1. Длина стороны $DE$:

Поскольку $DE$ является ребром основания правильной шестиугольной призмы, и по условию длина всех рёбер равна $1$, то:

$DE = 1$

2. Длина стороны $A_1D$:

Рассмотрим прямоугольный треугольник $A_1AD$. Катет $AA_1$ - это высота призмы, которая равна длине ребра, то есть $AA_1 = 1$. Катет $AD$ - это главная (большая) диагональ правильного шестиугольника $ABCDEF$. Длина главной диагонали правильного шестиугольника со стороной $a$ равна $2a$. В нашем случае $a=1$, поэтому:

$AD = 2 \cdot 1 = 2$

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $A_1AD$ (где $A_1D$ - гипотенуза):

$A_1D^2 = AA_1^2 + AD^2$

$A_1D^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$

$A_1D = \sqrt{5}$

3. Длина стороны $A_1E$:

Рассмотрим прямоугольный треугольник $A_1AE$. Катет $AA_1$ - это высота призмы, $AA_1 = 1$. Катет $AE$ - это меньшая диагональ правильного шестиугольника $ABCDEF$. Длина меньшей диагонали правильного шестиугольника со стороной $a$ равна $a\sqrt{3}$. В нашем случае $a=1$, поэтому:

$AE = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $A_1AE$ (где $A_1E$ - гипотенуза):

$A_1E^2 = AA_1^2 + AE^2$

$A_1E^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4$

$A_1E = \sqrt{4} = 2$

Итак, мы нашли длины всех сторон треугольника $A_1DE$: $DE = 1$, $A_1D = \sqrt{5}$, $A_1E = 2$.

Проверим, является ли треугольник $A_1DE$ прямоугольным, используя обратную теорему Пифагора:

$DE^2 + A_1E^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$

$A_1D^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$

Так как $DE^2 + A_1E^2 = A_1D^2$, треугольник $A_1DE$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $E$ (угол $\angle DEA_1 = 90^\circ$).

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения длин его катетов. В данном случае катетами являются стороны $DE$ и $A_1E$.

$S_{A_1DE} = \frac{1}{2} \cdot DE \cdot A_1E$

$S_{A_1DE} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 1$

Ответ: Площадь сечения равна $1$.