Номер 119, страница 180 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

119. Изобразите сечение правильной шестиугольной призмы $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины $C$, $F$ и $A_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер призмы равна 1. Это означает, что сторона основания $a = 1$ и высота призмы $h = 1$.

Сечение проходит через вершины $C$, $F$ и $A_1$.

Перевод в систему СИ:

Длины ребер уже заданы в виде числового значения 1, что является безразмерной величиной или условной единицей длины. Для вычислений это не требует дополнительного перевода в конкретные СИ-единицы, такие как метры, если в задаче не указано иное.

Найти:

Площадь сечения $S_{CFA_1}$.

Решение:

Изображение сечения:

Сечение, проходящее через три заданные вершины $C$, $F$ и $A_1$, является треугольником. Таким образом, нам нужно найти площадь треугольника $CFA_1$.

Нахождение сторон треугольника $CFA_1$:

Для вычисления площади треугольника $CFA_1$ нам необходимо знать длины его сторон.

1. Сторона $CF$ лежит в основании $ABCDEF$. Это большая диагональ правильного шестиугольника со стороной $a = 1$. Длина большой диагонали правильного шестиугольника равна $2a$.

$CF = 2 \cdot a = 2 \cdot 1 = 2$.

2. Сторона $FA_1$ соединяет вершину $F$ нижнего основания с вершиной $A_1$ верхнего основания. Рассмотрим прямоугольный треугольник $FAA_1$. Катетами этого треугольника являются сторона основания $FA$ и высота призмы $AA_1$.

$FA = a = 1$ (сторона шестиугольника).

$AA_1 = h = 1$ (высота призмы).

По теореме Пифагора:

$FA_1^2 = FA^2 + AA_1^2$

$FA_1^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$

$FA_1 = \sqrt{2}$.

3. Сторона $A_1C$ соединяет вершину $C$ нижнего основания с вершиной $A_1$ верхнего основания. Рассмотрим прямоугольный треугольник $A_1AC$. Катетами этого треугольника являются диагональ $AC$ нижнего основания и высота призмы $AA_1$.

Диагональ $AC$ является малой диагональю правильного шестиугольника со стороной $a = 1$. Длина малой диагонали правильного шестиугольника равна $a\sqrt{3}$.

$AC = a\sqrt{3} = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Высота призмы $AA_1 = h = 1$.

По теореме Пифагора:

$A_1C^2 = AC^2 + AA_1^2$

$A_1C^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$

$A_1C = \sqrt{4} = 2$.

Таким образом, длины сторон треугольника $CFA_1$ равны: $CF = 2$, $FA_1 = \sqrt{2}$, $A_1C = 2$.

Нахождение площади треугольника $CFA_1$:

Поскольку $CF = A_1C = 2$, треугольник $CFA_1$ является равнобедренным с основанием $FA_1 = \sqrt{2}$. Однако удобнее взять за основание сторону $CF$, так как она целое число.

Проведем высоту $A_1M$ из вершины $A_1$ к основанию $CF$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. Следовательно, точка $M$ является серединой отрезка $CF$.

$CM = MF = \frac{CF}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $A_1MC$. У нас есть гипотенуза $A_1C = 2$ и катет $CM = 1$. Найдем высоту $A_1M$ по теореме Пифагора:

$A_1M^2 + CM^2 = A_1C^2$

$A_1M^2 + 1^2 = 2^2$

$A_1M^2 + 1 = 4$

$A_1M^2 = 3$

$A_1M = \sqrt{3}$.

Площадь треугольника $CFA_1$ вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.

$S_{CFA_1} = \frac{1}{2} \cdot CF \cdot A_1M$

$S_{CFA_1} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{3}$

$S_{CFA_1} = \sqrt{3}$.

Ответ:

Площадь сечения равна $\sqrt{3}$.