Номер 115, страница 180 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

115. Изобразите сечение правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины $B, E$ и $C_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра призмы равны $1$. Это означает, что длина стороны основания $a = 1$ и высота призмы $h = 1$ (длина бокового ребра).

Сечение проходит через вершины $B, E, C_1$.

Найти:

Площадь сечения.

Решение:

Изобразите сечение

Сечение, проходящее через вершины $B$, $E$, $C_1$, является треугольником $BEC_1$. Для построения этого сечения необходимо соединить отрезками указанные вершины: $BE$, $EC_1$ и $C_1B$. Вершины $B$ и $E$ лежат в плоскости нижнего основания $ABCDEF$, а вершина $C_1$ лежит в плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Таким образом, сечение представляет собой плоскую фигуру - треугольник.

Ответ: Сечение является треугольником $BEC_1$.

Найдите его площадь

Для вычисления площади треугольника $BEC_1$ необходимо найти длины его сторон.

1. Длина стороны $BE$:

Отрезок $BE$ является главной диагональю правильного шестиугольника $ABCDEF$ (нижнего основания). Сторона шестиугольника $a=1$. Длина главной диагонали правильного шестиугольника равна $2a$.

$BE = 2 \cdot 1 = 2$.

2. Длина стороны $C_1B$:

Отрезок $C_1B$ является диагональю боковой грани $BCC_1B_1$. Так как все ребра призмы равны $1$, грань $BCC_1B_1$ представляет собой квадрат со стороной $1$ ($BC=1$, $CC_1=1$).

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $BCC_1$ ($CC_1 \perp BC$):

$C_1B = \sqrt{BC^2 + CC_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.

3. Длина стороны $EC_1$:

Рассмотрим треугольник $ECC_1$. Это прямоугольный треугольник, поскольку боковое ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости нижнего основания $ABCDEF$, а следовательно, перпендикулярно любому отрезку, лежащему в этой плоскости, включая $EC$.

Сначала найдем длину отрезка $EC$. $EC$ является малой диагональю правильного шестиугольника $ABCDEF$ (соединяет вершины через одну). Длина такой диагонали для правильного шестиугольника со стороной $a$ равна $a\sqrt{3}$.

$EC = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Теперь, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника $ECC_1$ ($CC_1 \perp EC$):

$EC_1 = \sqrt{EC^2 + CC_1^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

Таким образом, стороны треугольника $BEC_1$ имеют длины: $BE=2$, $C_1B=\sqrt{2}$, $EC_1=2$.

Треугольник $BEC_1$ является равнобедренным, поскольку две его стороны равны ($BE=EC_1=2$). Основание равнобедренного треугольника - сторона $C_1B=\sqrt{2}$.

Найдем высоту $h_k$ этого равнобедренного треугольника, опущенную из вершины $E$ на основание $C_1B$. Пусть $K$ - середина отрезка $C_1B$. Тогда $KC_1 = \frac{C_1B}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Из прямоугольного треугольника $EKC_1$ (где $EK$ - высота, $KC_1$ - половина основания, $EC_1$ - боковая сторона):

$h_k^2 = EC_1^2 - KC_1^2 = 2^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 4 - \frac{2}{4} = 4 - \frac{1}{2} = \frac{8-1}{2} = \frac{7}{2}$.

$h_k = \sqrt{\frac{7}{2}} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{7} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{14}}{2}$.

Площадь треугольника $S_{BEC_1}$ вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.

$S_{BEC_1} = \frac{1}{2} \cdot C_1B \cdot h_k = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{14}}{2} = \frac{\sqrt{2 \cdot 14}}{4} = \frac{\sqrt{28}}{4} = \frac{2\sqrt{7}}{4} = \frac{\sqrt{7}}{2}$.

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{\sqrt{7}}{2}$.