Номер 109, страница 179 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

109. Изобразите сечение правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через середины ребер $AC$, $AA_1$ и $A_1B_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Все ребра призмы равны 1. Пусть $a = 1$.

Сечение проходит через:

• Точку $K$ - середину ребра $AC$.
• Точку $L$ - середину ребра $AA_1$.
• Точку $M$ - середину ребра $A_1B_1$.

Перевод в систему СИ:

Длина ребра призмы $a = 1$ (условные единицы длины, например, метр).

Найти:

Площадь сечения.

Решение:

Для решения задачи введем декартову систему координат. Пусть начало координат совпадает с вершиной $A(0,0,0)$. Ребро $AB$ лежит на оси $Ox$, плоскость основания $ABC$ совпадает с плоскостью $Oxy$. Так как призма правильная, ее основания являются равносторонними треугольниками, а боковые ребра перпендикулярны основаниям.

Координаты вершин призмы:

• $A = (0, 0, 0)$
• $B = (1, 0, 0)$
• $C = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• $A_1 = (0, 0, 1)$
• $B_1 = (1, 0, 1)$
• $C_1 = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$

Координаты заданных точек сечения:

• $K$ - середина $AC$: $K = (\frac{0+1/2}{2}, \frac{0+\sqrt{3}/2}{2}, \frac{0+0}{2}) = (1/4, \sqrt{3}/4, 0)$.
• $L$ - середина $AA_1$: $L = (\frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}) = (0, 0, 1/2)$.
• $M$ - середина $A_1B_1$: $M = (\frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{1+1}{2}) = (1/2, 0, 1)$.

Изобразите сечение:

Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки $K, L, M$. Общее уравнение плоскости: $Ax + By + Cz = D$.

Подставим координаты точек:

1. Для $L(0, 0, 1/2)$: $A(0) + B(0) + C(1/2) = D \implies C/2 = D \implies C = 2D$.
2. Для $M(1/2, 0, 1)$: $A(1/2) + B(0) + C(1) = D \implies A/2 + 2D = D \implies A/2 = -D \implies A = -2D$.
3. Для $K(1/4, \sqrt{3}/4, 0)$: $A(1/4) + B(\sqrt{3}/4) + C(0) = D \implies (-2D)(1/4) + B(\sqrt{3}/4) = D \implies -D/2 + B\sqrt{3}/4 = D \implies B\sqrt{3}/4 = 3D/2 \implies B = \frac{3D}{2} \cdot \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{6D}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}D$.

Разделим уравнение на $D$ (предполагая $D \neq 0$, иначе плоскость проходит через начало координат $A$, но $A$ не является точкой сечения), получим: $-2x + 2\sqrt{3}y + 2z = 1$. Или, умножив на -1: $2x - 2\sqrt{3}y - 2z = -1$.

Теперь найдем точки пересечения этой плоскости с другими ребрами призмы:

1. Ребро $B_1C_1$: Точки на $B_1C_1$ имеют вид $B_1 + t(C_1 - B_1)$ для $t \in [0, 1]$. $B_1 = (1, 0, 1)$, $C_1 = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$. $(1-t)B_1 + tC_1 = (1-t)(1,0,1) + t(1/2, \sqrt{3}/2, 1) = (1-t+t/2, t\sqrt{3}/2, 1) = (1-t/2, t\sqrt{3}/2, 1)$. Подставим в уравнение плоскости: $2(1-t/2) - 2\sqrt{3}(t\sqrt{3}/2) - 2(1) = -1$. $2 - t - 3t - 2 = -1 \implies -4t = -1 \implies t = 1/4$. Так как $t=1/4 \in [0, 1]$, точка пересечения $N$ лежит на ребре $B_1C_1$. $N = (1-1/8, \sqrt{3}/8, 1) = (7/8, \sqrt{3}/8, 1)$. Это означает, что $N$ делит $B_1C_1$ в отношении $1:3$ от $B_1$ ($B_1N = (1/4)B_1C_1$).
2. Ребро $BC$: Точки на $BC$ имеют вид $(1-t)B + tC$ для $t \in [0, 1]$. $B = (1, 0, 0)$, $C = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$. $(1-t)(1,0,0) + t(1/2, \sqrt{3}/2, 0) = (1-t/2, t\sqrt{3}/2, 0)$. Подставим в уравнение плоскости: $2(1-t/2) - 2\sqrt{3}(t\sqrt{3}/2) - 2(0) = -1$. $2 - t - 3t = -1 \implies 2 - 4t = -1 \implies 4t = 3 \implies t = 3/4$. Так как $t=3/4 \in [0, 1]$, точка пересечения $P$ лежит на ребре $BC$. $P = (1-3/8, 3\sqrt{3}/8, 0) = (5/8, 3\sqrt{3}/8, 0)$. Это означает, что $P$ делит $BC$ в отношении $3:1$ от $B$ ($BP = (3/4)BC$, или $CP = (1/4)BC$).
3. Ребро $BB_1$: Точки на $BB_1$ имеют вид $(1,0,h)$ для $h \in [0, 1]$. Подставим в уравнение плоскости: $2(1) - 2\sqrt{3}(0) - 2h = -1 \implies 2 - 2h = -1 \implies 2h = 3 \implies h = 3/2$. Так как $h=3/2 > 1$, сечение не пересекает ребро $BB_1$.
4. Ребро $CC_1$: Точки на $CC_1$ имеют вид $(1/2, \sqrt{3}/2, h)$ для $h \in [0, 1]$. Подставим в уравнение плоскости: $2(1/2) - 2\sqrt{3}(\sqrt{3}/2) - 2h = -1 \implies 1 - 3 - 2h = -1 \implies -2 - 2h = -1 \implies 2h = -1 \implies h = -1/2$. Так как $h=-1/2 < 0$, сечение не пересекает ребро $CC_1$.

Таким образом, сечение является пятиугольником $KPNML$ с вершинами:

• $K = (1/4, \sqrt{3}/4, 0)$ (середина $AC$)
• $P = (5/8, 3\sqrt{3}/8, 0)$ (на $BC$, $CP = 1/4$)
• $N = (7/8, \sqrt{3}/8, 1)$ (на $B_1C_1$, $B_1N = 1/4$)
• $M = (1/2, 0, 1)$ (середина $A_1B_1$)
• $L = (0, 0, 1/2)$ (середина $AA_1$)

Для "изображения" сечения (поскольку изображение невозможно в текстовом формате), опишем его. Сечение $KPNML$ имеет две вершины $K$ и $P$ на нижнем основании $ABC$, две вершины $N$ и $M$ на верхнем основании $A_1B_1C_1$, и одну вершину $L$ на боковом ребре $AA_1$.

Заметим, что вектор $\vec{PK} = K - P = (1/4-5/8, \sqrt{3}/4-3\sqrt{3}/8, 0) = (-3/8, -\sqrt{3}/8, 0)$.

И вектор $\vec{MN} = N - M = (7/8-1/2, \sqrt{3}/8-0, 1-1) = (3/8, \sqrt{3}/8, 0)$.

Поскольку $\vec{PK} = -\vec{MN}$, отрезки $PK$ и $MN$ параллельны и равны по длине. Это означает, что четырехугольник $KPMN$ является параллелограммом. Пятиугольник $KPNML$ состоит из этого параллелограмма и треугольника $LKM$.

Ответ: Сечение является пятиугольником $KPNML$, где $K$ - середина $AC$, $L$ - середина $AA_1$, $M$ - середина $A_1B_1$, $N$ - точка на $B_1C_1$ ($B_1N = (1/4)B_1C_1$), $P$ - точка на $BC$ ($CP = (1/4)BC$).

Найдите его площадь:

Воспользуемся методом проекции. Площадь сечения $S$ связана с площадью его проекции $S_{proj}$ на координатную плоскость $Oxy$ формулой $S = S_{proj} / \cos \alpha$, где $\alpha$ - угол между плоскостью сечения и плоскостью $Oxy$.

Нормальный вектор к плоскости сечения $2x - 2\sqrt{3}y - 2z = -1$ равен $\vec{n} = (2, -2\sqrt{3}, -2)$.

Модуль нормального вектора: $|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-2\sqrt{3})^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 12 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.

Нормальный вектор к плоскости $Oxy$ (координатная плоскость $z=0$) равен $\vec{k} = (0, 0, 1)$.

Косинус угла между плоскостями: $\cos \alpha = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{k}|}{|\vec{n}| \cdot |\vec{k}|} = \frac{|(2, -2\sqrt{3}, -2) \cdot (0,0,1)|}{2\sqrt{5} \cdot 1} = \frac{|-2|}{2\sqrt{5}} = \frac{2}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.

Проекция пятиугольника $KPNML$ на плоскость $Oxy$ является пятиугольником $K'P'N'M'L'$ с координатами $z=0$ для всех вершин:

• $K' = (1/4, \sqrt{3}/4)$
• $P' = (5/8, 3\sqrt{3}/8)$
• $N' = (7/8, \sqrt{3}/8)$
• $M' = (1/2, 0)$
• $L' = (0, 0)$

Вычислим площадь $S_{proj}$ пятиугольника $K'P'N'M'L'$ по формуле площади Гаусса (Shoelace formula):

$S_{proj} = \frac{1}{2} | (x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_5 + x_5y_1) - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_5 + y_5x_1) |$

Сумма $x_iy_{i+1}$ (прямые произведения):

• $K'P': (1/4)(3\sqrt{3}/8) = 3\sqrt{3}/32$
• $P'N': (5/8)(\sqrt{3}/8) = 5\sqrt{3}/64$
• $N'M': (7/8)(0) = 0$
• $M'L': (1/2)(0) = 0$
• $L'K': (0)(\sqrt{3}/4) = 0$

Сумма прямых произведений: $3\sqrt{3}/32 + 5\sqrt{3}/64 = 6\sqrt{3}/64 + 5\sqrt{3}/64 = 11\sqrt{3}/64$.

Сумма $y_ix_{i+1}$ (обратные произведения):

• $K'P': (\sqrt{3}/4)(5/8) = 5\sqrt{3}/32$
• $P'N': (3\sqrt{3}/8)(7/8) = 21\sqrt{3}/64$
• $N'M': (\sqrt{3}/8)(1/2) = \sqrt{3}/16 = 4\sqrt{3}/64$
• $M'L': (0)(0) = 0$
• $L'K': (0)(1/4) = 0$

Сумма обратных произведений: $5\sqrt{3}/32 + 21\sqrt{3}/64 + 4\sqrt{3}/64 = 10\sqrt{3}/64 + 21\sqrt{3}/64 + 4\sqrt{3}/64 = 35\sqrt{3}/64$.

Площадь проекции $S_{proj} = \frac{1}{2} | 11\sqrt{3}/64 - 35\sqrt{3}/64 | = \frac{1}{2} | -24\sqrt{3}/64 | = \frac{1}{2} \cdot \frac{24\sqrt{3}}{64} = \frac{12\sqrt{3}}{64} = \frac{3\sqrt{3}}{16}$.

Площадь сечения $S = S_{proj} / \cos \alpha = \frac{3\sqrt{3}}{16} / \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}}{16} = \frac{3\sqrt{15}}{16}$.

Альтернативный метод: Разложение на параллелограмм и треугольник.

Как было показано выше, $KPNM$ является параллелограммом, так как $\vec{PK} = -\vec{MN}$. Площадь параллелограмма можно найти как половину модуля векторного произведения его диагоналей, или через две смежные стороны. Воспользуемся векторами $\vec{PM}$ и $\vec{PN}$.

$\vec{PK} = K - P = (-3/8, -\sqrt{3}/8, 0)$

$\vec{PM} = M - P = (1/2-5/8, 0-3\sqrt{3}/8, 1-0) = (-1/8, -3\sqrt{3}/8, 1)$

Площадь параллелограмма $S_{KPMN} = |\vec{PK} \times \vec{PM}|$.

$\vec{PK} \times \vec{PM} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -3/8 & -\sqrt{3}/8 & 0 \\ -1/8 & -3\sqrt{3}/8 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-\sqrt{3}/8 \cdot 1 - 0) - \mathbf{j}(-3/8 \cdot 1 - 0) + \mathbf{k}(-3/8 \cdot -3\sqrt{3}/8 - (-\sqrt{3}/8) \cdot (-1/8))$

$= -\frac{\sqrt{3}}{8}\mathbf{i} + \frac{3}{8}\mathbf{j} + (\frac{9\sqrt{3}}{64} - \frac{\sqrt{3}}{64})\mathbf{k} = (-\frac{\sqrt{3}}{8}, \frac{3}{8}, \frac{8\sqrt{3}}{64}) = (-\frac{\sqrt{3}}{8}, \frac{3}{8}, \frac{\sqrt{3}}{8})$

$S_{KPMN} = \sqrt{(-\sqrt{3}/8)^2 + (3/8)^2 + (\sqrt{3}/8)^2} = \sqrt{3/64 + 9/64 + 3/64} = \sqrt{15/64} = \frac{\sqrt{15}}{8}$.

Теперь вычислим площадь треугольника $LKM$ (вершины $K(1/4, \sqrt{3}/4, 0)$, $L(0, 0, 1/2)$, $M(1/2, 0, 1)$).

$\vec{LK} = K - L = (1/4, \sqrt{3}/4, -1/2)$

$\vec{LM} = M - L = (1/2, 0, 1/2)$

Площадь $S_{LKM} = \frac{1}{2} |\vec{LK} \times \vec{LM}|$.

$\vec{LK} \times \vec{LM} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1/4 & \sqrt{3}/4 & -1/2 \\ 1/2 & 0 & 1/2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(\sqrt{3}/4 \cdot 1/2 - (-1/2) \cdot 0) - \mathbf{j}(1/4 \cdot 1/2 - (-1/2) \cdot 1/2) + \mathbf{k}(1/4 \cdot 0 - \sqrt{3}/4 \cdot 1/2)$

$= \frac{\sqrt{3}}{8}\mathbf{i} - (\frac{1}{8} + \frac{1}{4})\mathbf{j} - \frac{\sqrt{3}}{8}\mathbf{k} = (\frac{\sqrt{3}}{8}, -\frac{3}{8}, -\frac{\sqrt{3}}{8})$

$S_{LKM} = \frac{1}{2} \sqrt{(\sqrt{3}/8)^2 + (-3/8)^2 + (-\sqrt{3}/8)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{3/64 + 9/64 + 3/64} = \frac{1}{2} \sqrt{15/64} = \frac{1}{2} \frac{\sqrt{15}}{8} = \frac{\sqrt{15}}{16}$.

Общая площадь пятиугольника $KPNML$ равна сумме площадей параллелограмма $KPMN$ и треугольника $LKM$:

$S = S_{KPMN} + S_{LKM} = \frac{\sqrt{15}}{8} + \frac{\sqrt{15}}{16} = \frac{2\sqrt{15}}{16} + \frac{\sqrt{15}}{16} = \frac{3\sqrt{15}}{16}$.

Оба метода дают одинаковый результат.

Ответ: Площадь сечения составляет $\frac{3\sqrt{15}}{16}$.