Номер 102, страница 179 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

102. Изобразите сечение правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через середины ребер $BB_1$, $CC_1$ и $A_1B_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Длина всех ребер $a = 1$.

Сечение проходит через середины ребер $BB_1$, $CC_1$ и $A_1B_1$. Пусть $M$ – середина $BB_1$, $N$ – середина $CC_1$, $P$ – середина $A_1B_1$.

Перевод в СИ:

Все длины заданы безразмерными величинами (равны 1). Перевод в систему СИ не требуется, так как отсутствуют конкретные единицы измерения.

Найти:

Площадь сечения $S_{PMNQ}$.

Решение:

Для построения сечения отметим заданные точки $M, N, P$.

1. Точки $M$ (середина $BB_1$) и $N$ (середина $CC_1$) лежат в грани $BCC_1B_1$. Отрезок $MN$ является одной из сторон сечения. Поскольку $BB_1$ и $CC_1$ являются параллельными и равными ребрами призмы, а $M$ и $N$ — их середины, то отрезок $MN$ параллелен $BC$ и $B_1C_1$. Длина $MN = BC = 1$.

2. Точка $P$ (середина $A_1B_1$) и точка $M$ (середина $BB_1$) лежат в грани $ABB_1A_1$. Отрезок $PM$ является стороной сечения. Грань $ABB_1A_1$ является квадратом со стороной $a=1$. $PM$ является средней линией треугольника $A_1BB_1$. Длина диагонали $A_1B$ в квадрате $ABB_1A_1$ вычисляется по теореме Пифагора: $A_1B = \sqrt{AB^2 + BB_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. Следовательно, длина $PM = \frac{1}{2} A_1B = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

3. Поскольку отрезок $MN$ параллелен ребру $B_1C_1$, то плоскость сечения $PMN$ параллельна этому ребру. Если плоскость параллельна прямой, то линия пересечения этой плоскости с любой плоскостью, проходящей через эту прямую (например, с плоскостью верхней грани $A_1B_1C_1$), будет параллельна этой прямой. Таким образом, линия пересечения плоскости сечения с верхней гранью $A_1B_1C_1$ должна быть параллельна $B_1C_1$. Поскольку точка $P$ лежит на ребре $A_1B_1$, эта линия должна проходить через $P$ и быть параллельной $B_1C_1$. Назовем вторую точку этой линии $Q$. Точка $Q$ должна лежать на ребре $A_1C_1$. В треугольнике $A_1B_1C_1$ (который является равносторонним, так как призма правильная, и $A_1B_1=B_1C_1=A_1C_1=1$), если $P$ – середина $A_1B_1$ и $PQ \parallel B_1C_1$, то $Q$ обязательно является серединой $A_1C_1$. Таким образом, $Q$ – четвертая вершина сечения.

4. Отрезок $PQ$ является средней линией треугольника $A_1B_1C_1$. Длина $PQ = \frac{1}{2} B_1C_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

5. Отрезок $QN$ является стороной сечения. Точка $Q$ (середина $A_1C_1$) и точка $N$ (середина $CC_1$) лежат в грани $ACC_1A_1$. $QN$ является средней линией треугольника $A_1CC_1$. Грань $ACC_1A_1$ является квадратом со стороной $a=1$. Длина диагонали $A_1C$ в квадрате $ACC_1A_1$ вычисляется по теореме Пифагора: $A_1C = \sqrt{AC^2 + CC_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. Следовательно, длина $QN = \frac{1}{2} A_1C = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Таким образом, сечение представляет собой четырехугольник $PMNQ$ со сторонами $MN=1$, $PQ=\frac{1}{2}$, $PM=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $QN=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Поскольку $MN \parallel PQ$ (обе параллельны $B_1C_1$) и $PM=QN$, сечение является равнобедренной трапецией.

Для вычисления площади равнобедренной трапеции $S_{PMNQ}$ используем формулу $S = \frac{1}{2}(a+b)h$, где $a$ и $b$ – длины оснований, $h$ – высота.

Основания трапеции: $MN = 1$ и $PQ = \frac{1}{2}$.

Найдем высоту $h$. Опустим перпендикуляры из точек $P$ и $Q$ на основание $MN$. Пусть их основания будут $P'$ и $Q'$ соответственно. В равнобедренной трапеции отрезки $MP'$ и $Q'N$ равны:

$MP' = \frac{MN - PQ}{2} = \frac{1 - \frac{1}{2}}{2} = \frac{\frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{4}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $PMP'$. Гипотенуза $PM = \frac{\sqrt{2}}{2}$, катет $MP' = \frac{1}{4}$. Высота $h = PP'$.

По теореме Пифагора:

$h^2 = PM^2 - MP'^2$

$h^2 = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{4}\right)^2$

$h^2 = \frac{2}{4} - \frac{1}{16}$

$h^2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{16}$

$h^2 = \frac{8}{16} - \frac{1}{16} = \frac{7}{16}$

$h = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$.

Теперь вычислим площадь трапеции:

$S_{PMNQ} = \frac{1}{2} (MN + PQ) \cdot h$

$S_{PMNQ} = \frac{1}{2} \left(1 + \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{\sqrt{7}}{4}$

$S_{PMNQ} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{4}$

$S_{PMNQ} = \frac{3\sqrt{7}}{16}$.

Ответ:

Площадь сечения составляет $\frac{3\sqrt{7}}{16}$.